Ekvivalens szabvány

A matematikában és pontosabban a funkcionális elemzésben két ekvivalens szabvány két szabvány ugyanazon E vektortérben , amelyeknél az E-vel indukált topológiák megegyeznek. Ez az ekvivalencia-reláció az E normák halmazával a társított távolságok ekvivalenciáját fordítja le . A normákkal társított távolságok esetében a távolságok ekvivalenciájának különböző fogalmai egybeesnek. Így, ha a két szabványok egyenértékű, akkor a egyenletes folytonossága egy térkép E egy metrikus térben , vagy az a tény, hogy a szekvencia az Cauchy egy norma, azt jelenti, ez a tulajdonság a másik.

Definíciók

Vannak N 1 és N 2 két szabvány ugyanazon vektortér E nem nulla .

Fogalommeghatározások -

N 1 finomabb, mint N 2, ha létezik valós C szám , amely ${\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad N_ {2} (x) \ leq CN_ {1} (x)}$ .
N 1 és N 2 ekvivalens, ha mindegyik vékonyabb, mint a másik.

A „ N 1 finomabb, mint N 2 ” annyit jelent, hogy a lineáris identitás feltérképezése az E jelentése C -lipschitzian a ( E , d 1 ) a ( E , d 2 ), ahol a d k a távolságok társított az N k . Ebben a meghatározásban a valós C automatikusan szigorúan pozitív, ezért a két norma ekvivalenciája két szigorúan pozitív valós c és C létezését eredményezi, oly módon, hogy:

{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad cN_ {1} (x) \ leq N_ {2} (x) \ leq CN_ {1} (x)}

Triviálisan „finomabb, mint” határozza meg az normarendszert a E a előrendelésre , akinek jár ekvivalencia reláció ekvivalencia normák.

Tulajdonságok

A normák ekvivalenciája a fenti meghatározás szerint megfelel a kapcsolódó távolságok Lipschitz értelmében vett ekvivalenciájának. De a normákkal társított távolságok esetében ez a legegyenletesebb távolság-ekvivalencia-fogalom egyenértékű a leggyengébbel: a topológiai ekvivalenciával. Valóban :

1. javaslat -

N 1 finomabb, mint N 2 , ha (és csak akkor, ha) a topológia , hogy indukálja a E jelentése finomabb , mint az indukált N 2 .
N 1 és N 2 ekvivalens, ha (és csak akkor), ha ugyanazt a topológiát indukálják E-n .

Demonstráció

Jelöljük T k-vel a metrikus terek topológiáit ( E , d k ), és tegyük fel, hogy T 1 finomabb, mint T 2 . Ezután az N 2 nyitott egységgömbje tartalmaz egy N 1 - nyitott labdát, amelynek középpontja 0, R sugara 0 , más szavakkal:

{\ displaystyle \ forall y \ E, \ quad N_ {1} (y) <R \ Rightarrow N_ {2} (y) <1}

Ebből kifolyólag,

{\ displaystyle \ forall x \ E-ben, \ forall r> N_ {1} (x), \ quad N_ {2} \ bal ({\ frac {R} {r}} x \ jobb) <1}

amely egyszerűsödik ben

{\ displaystyle \ forall x \ E-ben, N_ {2} (x) \ leq {\ frac {1} {R}} N_ {1} (x)}

és igazoljuk, hogy N 1 finomabb, mint N 2 .

Mivel az egységes folytonosság köztes fogalom az egyszerű folytonosság és a Lipschitz-tulajdonság között, a távolságok egyenértékűsége közbenső fogalom a topológiai egyenértékűség és a Lipschitz-ekvivalencia között. Az 1. javaslatból azonnal következik, hogy a normákkal társított távolságok esetében az ekvivalencia e három fogalma egybeesik, pontosabban:

2. javaslat -

N 1 finomabb, mint N 2 , ha (és csak akkor, ha) a személyazonosító térképen, a ( E , d 1 ) a ( E , d 2 ), van egyenletesen folytonos.
N 1 és N 2 ekvivalens, ha (és csak akkor), ha azonos egyenletességet váltanak ki E-n .

Ezenkívül a definíció alapján közvetlenül arra következtethetünk, hogy ha két E-re vonatkozó norma egyenértékű:

ha az E szekvenciája az egyiknél Cauchy (vagy konvergens), akkor a másiké;
ha E jelentése komplett egy akkor teljes, a többi;
ha az E függvénye egy metrikus térben - vagy egy metrikus tér E-ben - az egyik számára egyenletesen folytonos (ill. Lipschitz-féle), akkor a másiké;
különösen, ha a két norma mindegyike Lipschitz-féle E- től ℝ-ig, amikor E fel van ruházva a másik normával.

Példák

A véges dimenziójú valós vektortér összes normája ekvivalens. Ezért az n véges dimenziónak csak egy normált vektortere van , az izomorfizmus kivételével : az n dimenzió euklideszi tere . Mivel az n dimenzió komplex normált vektortere a 2 n dimenzió valódi normált vektortere is , a véges dimenziójú komplex vektortér összes normája is ekvivalens.
Ha N 1 , ..., N n a félig-szabványok egy valós vektorteret E akkor, minden $p \in [1, + \infty]$ , tudjuk meg egy félig-norma M p on E beállításával: ${\ displaystyle M_ {p} (x) = \ | (N_ {1} (x), \ ldots, N_ {n} (x)) \ | _ {p}}$ ,ahol ║ ║ $p$ jelöli a norma p a ℝ n . Ha az M p félnormák egyike norma (például ha N 1 norma), akkor a többiek is, és az előző pontról következik, hogy ezek az M p normák ekvivalensek.
A Banach-Steinhaus-tétel szerint , ha egy valós vektortér teljes két összehasonlítható normához, akkor ezek a normák ekvivalensek.
Egy valós vektorteret végtelen dimenzió ℝ ( X ) , a különböző normák által indukált zárványok ℝ ( X ) a terek ℓ p ( X ) 1 ≤ p ≤ $\infty$ vannak kettesével nem ekvivalens .

Referencia

Haïm Brezis , Funkcionális elemzés: elmélet és alkalmazások [ a kiadások részletei ]

Kapcsolódó cikk

Banach-Mazur Compact