Lineáris alkalmazás

A matematikában a lineáris térkép (más néven lineáris operátor vagy lineáris transzformáció ) egy test két vektortér közötti térkép, amely tiszteletben tartja a vektorok hozzáadását és a skaláris szorzást , és így általánosabban megőrzi a lineáris kombinációkat . A kifejezés is használható a morfizmus két modul egy gyűrű , egy hasonló bemutatót eltekintve alapvető fogalmakat és dimenzió .

Ez a fogalom kiterjeszti a valós elemzés során a lineáris függvény fogalmát az általánosabb vektorterekre.

Definíciók

Általános eset

Legyen $E$ és $F$ két vektortér a $K$ mező felett . A térkép $F : E \to F$ azt mondják, hogy $a K$ -linear (vagy „ morfizmus a $K$ , vektor terek”), ha kielégíti mind a

additivitás

{\ displaystyle \ forall (x, y) \ E ^ -ben {2}, \ quad f (x + y) = f (x) + f (y)}

homogenitás

{\ displaystyle \ forall \ lambda \ in \ mathbb {K} \ quad \ forall x \ E, \ quad f (\ lambda x) = \ lambda f (x)}

Ez a két tulajdonság egyszerre ellenőrizhető a következő jellemzéssel:

{\ displaystyle \ forall (x, y) \ in E ^ {2} \ quad \ forall \ lambda, \ mu \ in \ mathbf {K} \ quad f (\ lambda x + \ mu y) = \ lambda f ( x) + \ mu f (y)}

vagy egyszerűbben:

{\ displaystyle \ forall (x, y) \ in E ^ {2} \ quad \ forall \ mu \ in \ mathbf {K} \ quad f (x + \ mu y) = f (x) + \ mu f ( y)}

Ekvivalensen, egy alkalmazás $F : E \to F$ lineáris, ha, és csak akkor, ha a gráf egy altér az $E \times F$ .

Az $E-$ től $F-$ ig terjedő lineáris térképek halmazát általában $L ( E , F )$ vagy $L K ( E ; F )$ vagy akár $Hom K ( E , F )$ jelzéssel $látják el$ , egy indexet gyakran elhagynak és implicitek, ha könnyű levezetni a kontextus.

Különleges esetek

A vektorterek izomorfizmusa bijektív morfizmus . Jelölje $Isom ( E , F )$ a beállított izomorfizmusokat származó $E$ fölött $F$ ;
Az endomorfizmus olyan morfizmus, amelynek kezdő és befejező vektortere azonos. Jelölje $L ( E )$ a beállított $L ( E , E )$ a endomorfizmusok az E ;
Az automorfizmus egy bijektív endomorfizmus. Jelölje $GL ( E )$ a csoport automorfizmus $E$ (más néven a lineáris csoport az $E$ );
Ha az érkezési vektortér a $K$ mező , akkor lineáris formáról beszélünk . Jelölje $E *$ a készlet lineáris formák $E$ (más néven duális térben a $E$ ).

Példák és ellenpéldák

Adott egy vektortér $S$ egy mezőt $K$ , bármely család skaláris $(egy 1 , ..., a n) \in K n$ definiál egy lineáris leképezés a készlet $E$ $n$ a $n$ tuple a vektorok $E$ . ${\ displaystyle (x_ {1}, \ pontok, x_ {n}) \ mapsto \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} x_ {k}}$

Különösen tetszőleges vektor homotetika $x \mapsto a . x$ lineáris.

A készlet a valós függvények differenciálható Egy intervallumon $I$ , levezetését jelenti lineáris alkalmazás a készlet valós függvények. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {1} (I, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle u \ mapsto u '}$

A konjugáció a készlet $C$ a komplex számok egy $R$ -linear térképen, de nem egy $C$ -linear térképet. ${\ displaystyle z \ mapsto {\ overline {z}}}$

A jobb oldali $f \mapsto f \circ g$ kompozíció meghatároz egy lineáris térképet, de általában nem a bal $f \mapsto h \circ f$ kompozíciót .

A függvényintegráció , az adott pont kiértékelése, $f \mapsto f (a)$ és a lehetséges határértékek lineárisak azokon a függvényhalmazokon is, amelyekre ezek a műveletek meg vannak határozva.

A készlet $K N$ A szekvenciák az értékek egy olyan területen $K$ , a sebességváltó $(u n) \mapsto (u n +1 )$ , a lehetséges határt , és az építőiparban a kapcsolódó sorozat is lineáris. ${\ displaystyle (u_ {n}) \ mapsto \ balra (\ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} \ jobbra)}$

A mátrixok halmazán a bal és / vagy a jobb oldali szorzás, az átültetés és a nyomvonal lineáris.

Az elvárás egy lineáris térképet határoz meg a valós véletlenszerű változók halmazán, amelyek egyet elfogadnak.

A homológiában egy mezőben indukált bármely alkalmazás lineáris ebben a mezőben.

Tulajdonságok

Bármilyen lineáris leképezés megőrzi lineáris kombinációi: bármilyen véges család $( x i ) i \in I$ a vektorok és bármely család $(λ i ) i \in I$ a skaláris (azaz elemeit $K$ ), ${\ displaystyle f \ left (\ sum _ {i \ in I} \ lambda _ {i} x_ {i} \ right) = \ sum _ {i \ in I} \ lambda _ {i} f (x_ {i })}$ .

Hagyja, $E$ és $F$ két vektor terek (ill. Két modul) maradt a test (ill. A gyűrű) $K$ . A beállított $L ( E , F )$ lineáris leképezéseket $E$ , hogy $F$ vektortér (ill. A modul) a központja a $K$ .

Demonstráció

Igazoljuk, hogy $az L ( E , F )$ egy lineáris altér (ill. A sub-modul) a vektor tér (ill. A modul) alkalmazások $E$ a $F$ a közepén $C$ a $K$ . Nem üres, mert a null alkalmazást tartalmazza. Ha $a$ és $b$ két lineáris térkép, akkor az összegük továbbra is lineáris. Végül, ha a $λ$ egy eleme $a C$ , a térkép $λ egy$ szintén lineáris, mert nyilvánvalóan adalékanyag és az összes $α \in K$ és az összes $X \in E$ ,

{\ displaystyle (\ lambda a) (\ alpha x) = \ lambda \ alfa a (x) = \ alpha \ lambda (a (x) = \ alpha (\ lambda a) (x)}

A vegyület két lineáris térképek lineáris. Pontosabban : ${\ displaystyle \ forall f \ in \ operátornév {L} (E, F) \ quad \ forall g \ in \ operatorname {L} (F, G) \ quad g \ circ f \ in \ operátornév {L} (E , G)}$ .Különösen a $\circ$ az $L ($ $E$ $)$ $-re$ vonatkozó belső összetételi törvény .
Az izomorfizmus fordítottja szintén lineáris.
Ha $E$ jelentése $K$ , vektor teret (ill. A $K$ -module szabad), egy lineáris leképezés $f \in L ( E , F )$ teljes mértékben határozza meg a kép alapján $f$ egy bázis a $E$ . Pontosabban: A bázisok bármelyike $B$ , hogy $az E$ , bármely alkalmazás a $B$ az $F$ terjed, így csak egy lineáris leképezés az $E$ a $F$ . Annak eldöntéséhez, hogy egy alapot $B$ az $E$ tehát bijekciót . ${\ displaystyle \ kezelőnév {L} (E, F) \ - F ^ {B}, f \ mapsto f_ {| B}}$

Mag és kép

Ha $f$ egy lineáris térkép $E-$ től $F-ig$ , akkor a $Ker ($ $f$ $)$ jelű magját és az $Im ($ $f$ $)$ jelölésű képet a következő határozza meg:

{\ displaystyle \ kezelőnév {Ker} (f) = \ {x \ E-ben \ f f (x) = 0 \} = f ^ {- 1} (\ {0 \})}

;

{\ displaystyle \ operátornév {Im} (f) = \ {f (x) \ x x közepe \ -ban E \} = f (E)}

$Ker$ származik Kern , fordítása „kernel” német . $Im venni$ származó képet .

A lineáris térkép injektív akkor és csak akkor a kernel nulla tér (ez egy általános tulajdonsága csoport morfizmusok ). Egy alkalmazás (lineáris vagy nem) akkor és csak akkor szurjektív, ha képe megegyezik a teljes célkészlettel .

Minden $Ker ( f )$ $E$ lineáris altere , az $Im ( f )$ halmaz pedig $F$ lineáris altere . Általánosabban,

A inverz kép által $f$ egy vektor altér az $F$ egy vektor altér $E$ ;
A közvetlen kép által $f$ vektor altér $E$ egy altér $F$ .

A generáló család $( e i ) i \in I$ a $E$ , $Im ( f )$ a alterét $F$ által generált a család $( f ( E i )) i \in I$ .

A hányados vektortérnek $F / Im ( f ) van$ úgynevezett cokernel az $F$ .

A faktorizációs tétel azt állítja, hogy $f$ az $E / Ker ( f )$ hányados izomorfizmusát indukálja az $Im ( f )$ képen .

Mindezek érvényesek maradnak, ha a „vektorteret” a „modulus”, a „testet” pedig a „gyűrű” váltja fel. A következők viszont specifikusak a test vektortereire:

Véges dimenzióban

Ha $E$ jelentése a véges dimenzióban , és ha a mező $K$ kommutatív, akkor a dimenziója $L ( E , F )$ képlet adja meg: ${\ displaystyle \ dim (\ operátor neve {L} (E, F)) = \ dim (E) \ times \ dim (F)}$ .Különösen, ha $F$ is véges dimenziójú, akkor $L ( E , F )$ is véges .
Ha $E$ és $F$ véges dimenziós vektort terek (ill. Szabad moduluszát a véges típus) a jobb oldalon egy mezőt (ill. A gyűrű) $K$ , lineáris térképét $F$ a $E$ , hogy $F$ van mátrixa képviseli a bázisok rögzített $E$ és $F$ . Ez a mátrix ábrázolás kényelmes kiszámításához a kernel és a kép az $f$ .

Két azonos dimenziójú izomorf tér, a fenti izomorfizmusból következik a következő összefüggés ( véges vagy végtelen dimenziók $E$ és $F esetében$ érvényes ), amelyet rangtételnek nevezünk :

{\ displaystyle \ dim (\ operátor neve {Ker} (f)) + \ dim (\ operátor neve {Im} (f)) = \ dim (E)}

A méret $Im ( f )$ is nevezik rang az $f$ és jelöljük $rg ( f )$ .

Megjegyzések

A funkcionális terek között az operátor kifejezés előnyösebb .
Lay 2004 , p. 77. és azt követő.
Sok szerző (pl. Bourbaki, Histoire , 164. o. ) Az " átalakítás " használatát fenntartja azokra, amelyek bijektívek .
Bourbaki, Algebra , p. A-II-4, (5) egyenlet.
Artin, Algebra , p. 109. (1.2) képlet.
Artin, Algebra , fej. 4.
Bourbaki, Algebra , p. A-II-4, 4. meghatározás.
Bourbaki, Algebra , p. A-II-5.
Artin, Algebra , p. 87. meghatározás (2.13.).
Bemutatóért lásd például a Wikiverzió lineáris alkalmazásainak leckéjét a „Bázis képe” szakaszban .
Artin, Algebra , p. 110, (1.5) képlet.
(in) Jeff Miller " A matematika egyes szavainak legkorábbi ismert felhasználása " : " Úgy tűnik, hogy a kernel használata az algebrában nincs összefüggésben az integrált egyenletek ict használatával és a Fourier elemzéssel. Az OED a következő idézetet adja Pontrjagin topológiai csoportjaitól, i. 11 (fordította: E. Lehmer 1946) "A G csoport összes elemének azon halmazát, amely a g * homomorfizmus alatt a G * csoport azonosságába megy, ennek a homomorfizmusnak a magját nevezzük." " .
Bourbaki, Algebra , p. A-II-7.
Bemutatóért lásd például a Wikiverzió lineáris térképeiről szóló lecke „ L ( E , F ) tulajdonságai” című fejezetét .

Hivatkozások

(en) Michael Artin , Algebra, Prentice Hall Inc.,1991( ISBN 0-13-004763-5 ).
Nicolas Bourbaki , Algebra: 1-3. Fejezet , Springer,2007( ISBN 978-3-540-33849-9 ).
Nicolas Bourbaki , A matematika történetének elemei , Springer,2007[ a kiadások részlete ].
David C. Lay , Lineáris algebra: elmélet, gyakorlatok és alkalmazások , De Boeck,2004, 576 p. ( ISBN 978-2-8041-4408-1 , online olvasás ).