Vektor tér

A matematikában , pontosabban a lineáris algebrában , a vektortér egy objektumok halmaza, amelyeket vektoroknak nevezünk , és amelyeket összeadhatunk, és amelyeket meg lehet szorozni egy skalárral (nyújtáshoz vagy zsugorításhoz, megforduláshoz stb.). Más szavakkal, ez egy olyan struktúra , amely lineáris kombinációk végrehajtását teszi lehetővé . A skalárok általában valós számok vagy összetett számok , vagy bármilyen mezőből származnak .

Adott egy mező K , vektortérnek E felett K jelentése egy kommutatív csoport (amelynek joga jelöljük +) felruházva a „kompatibilis” akció a K (a meghatározás értelmében az alábbiakban).

Vektor tér

Definíciók

Hadd K legyen kommutatív területen, mint a kommutatív területén ℚ a racionális , hogy ℝ, a valós számok , illetve, hogy ℂ, a komplexek (fogunk beszélni ezekben az esetekben a racionális, valós vagy komplex vektortér).

A K , vagy a K-vektor tér vektorterülete egy E halmaz , amelynek elemeit vektoroknak (vagy - ritkábban - pontoknak) nevezzük, és két törvény rendelkezik:

• a belső összetétel törvénye „+”: E 2 → E , összeadásnak vagy vektorösszegnek nevezzük ,
• a törvény a készítmény külső balra „•”: K × E → E , az úgynevezett szorzás skalár ,

a következő tulajdonságok ellenőrzése.

1. ( E , +) egy abeli csoport , más szóval:

• a „+” törvény kommutatív ,
• ez asszociatív ,
• elfogad egy semleges elemet , amelyet 0 vagy 0 E jelölhet , nullvektornak nevezünk, és
• minden vektor v van egy ellenkező , jelöljük - v .

Azaz, az összes vektor u , v és w az E  :

u + v	=	v + u	u + ( v + w )	=	( u + v ) + w
0 E + v	=	v	u + (- u )	=	0 E

2. A „•” törvény a következő tulajdonságokat ellenőrzi:

• ez elosztó a bal oldalon, tekintettel a „+” törvénye E és a jobb képest hozzáadásával területén K ,
• vegyes asszociativitást igazol (összehasonlítva a K-ben történő szorzással ),
• a K mező multiplikatív semleges eleme , amelyet 1. megjegyezünk, a • számára semleges.

Azaz, az összes vektor u , v az E és az összes skalárisként Á, μ:

λ • ( u + v )	=	(λ • u ) + (λ • v )	(λ + µ) • u	=	(λ • u ) + (µ • u )
(λμ) • u	=	λ • (µ • u )	1 • u	=	u

Ezek axiómák jelenti azt, hogy az E nemüres és bármilyen vektor u a E és bármilyen skalár λ:

λ • u = 0 E

⇔

(λ = 0 K vagy u = 0 E )

(–Λ) • u = - (λ • u ) = λ • (- u )

Tüntetések

1. Az 1. axiómából következik, hogy E szükségszerűen nem üres. Valóban : 0 E tartozik E .
2. Az 1. és 2. axióma azt sugallja, hogy 0 E „jobb elnyeli” a törvény szempontjából ( azaz 0 E szorzata bármely skalárral egyenlő 0 E ), és hogy E bármely vektorának szorzata a 0 K skalárral (az adalék neutrális elem a test K ) is 0 E . Valóban :
   • λ • 0 E = λ • (0 E + 0 E ) = λ • 0 E + λ • 0 E , amely az 1. axióma szerint egyenértékű 0 E = λ • 0 E  ;
   • hasonlóan 0 K • u = (0 K + 0 K ) • u = 0 K • u + 0 K • u ezért 0 E = 0 K • u .
3. Fordítva, ha λ • u = 0 E és λ ≠ 0 K , akkor u = 1 • u = (λ −1 λ) • u = λ −1 • (λ • u) = λ −1 • 0 E = 0 E .
4. Végül az u vektor szorzata –λ skalárral és - u szorzatának λ szorzata egyaránt egyenlő - (λ • u ) (az λ • u ellentéte ). Valójában az előző 2. pont és a 2. axióma a következőket mondja:
   • λ • u + λ • (- u ) = λ • ( u - u ) = 0 E  ;
   • Hasonlóképpen, λ • u + (-λ) • u = (λ - λ) • u = 0 E .

A vektorokat (az E elemei ) itt latin dőlt betűkkel írták, de néhány szerző félkövér betűkkel jegyzi meg őket, vagy nyíllal túllépi őket.

Példák

Íme néhány példa olyan vektorterekre, amelyeket többek között elemzésben vagy geometriában használnak:

• Az üresség egy K elem vektortere, amelynek egyetlen eleme van, ami szükségszerűen a nulla vektor. A null tér az eredeti objektum és a végső tárgy a kategóriában vektor terek  (a) a K .
• Bármilyen területen K kerül bemutatásra, mint a K , vektor teret. A K összeadása és szorzása biztosítja a vektor összeadását és a skalárral való szorzását.
• Általánosságban elmondható, hogy a K elemeinek n- többszörösének halmaza , a szokásos törvényekkel ellátva, a K n vektorteret alkotja .
• A mátrixok a n sorból és p oszlopok együtthatók K alkotják a tér M n , p ( K ) .
• Ha K kommutatív, bármilyen mezőkiterjesztések a K , azaz bármely beágyazása K egy test L , ruházza L vektor térszerkezet a K .
• A beállított C 0 ( X ) a valós vagy komplex folytonos függvények meghatározott topológiai tér X vektortér (valós vagy komplex).
• A homogén lineáris differenciálegyenlet megoldásainak (magjai) halmaza vektortér (valós vagy komplex).
• A lineáris megismétlődési relációt kielégítő digitális szekvenciák halmaza valós vektortér.

Vektor szóközök egy nem kommutatív mezőn

A fenti definíció a K-n maradt vektorterek meghatározása . A vektor terek közvetlenül K vannak vektor terek maradt a test ellenkező a K . Ha a K mező kommutatív, akkor a bal és a jobb oldali vektorterek fogalmai egybeesnek, és ezután balra vagy jobbra (kívánt esetben) feljegyezhetjük a skalárral való szorzást.

A vektorterek elméletének azon fogalmai, amelyek a szokásos meghatározások mellett csak akkor érvényesek, ha a mező kommutatív, különösen a multilinearitáshoz ( determináns , nyom , tenzor szorzatok , külső algebra , algebra a kommutatív mező fölött ) vagy a polinomhoz kapcsolódnak. funkciókat . Még ha nem is használja ezeket a fogalmakat, különféle részletekre kell figyelnie, ha az alapmezőt nem feltételezzük kommutatívnak. Például dilatációk csak akkor léteznek ( lineáris térképként ), ha a skalárfaktor központi a mezőben, és a skalárszorzást a lineáris térképek ellentétes oldalára kell írni (tehát a jobb skalárral, ha a lineáris térképeket megjegyezzük érveik bal oldalán).

Lineáris kombináció

A vektortéren végzett két művelet lehetővé teszi lineáris kombinációk definiálását , vagyis az együtthatók (skalárok) által érintett vektorok véges összegét. A ( v i ) i ∈ I vektorok családjának lineáris kombinációja, amelynek együtthatói ( λ i ) i ∈ I , az ∑ i ∈ I λ i v i vektorok . Amikor az indexelési beállított I van végtelen , meg kell feltételezni, hogy a család ( λ i ) i ∈ I van véges támogatja , vagyis azt, hogy csak egy véges halmaza indexek i , amelyekre : X- i értéke nem nulla.

Vektor altér

Altér vektor E egy része nem üres F az E stabil lineáris kombinációi. Az indukált törvényekkel felszerelve F ekkor vektortér. A vektoros altérek nem üres (véges vagy végtelen) családjának metszéspontja vektor altér, de az egyesülés , még a véges is , általában nem.

Vektor család és dimenzió

Lineáris függetlenség

Az E vektorok ( v i ) i ∈ I családját szabadnak mondják ( K-n ), vagy ennek a családnak a vektorait lineárisan függetlennek mondják , ha a v i egyetlen , a nulla vektorral egyenlő kombinációja az , hogy amelynek az összes együtthatója nulla. Ellenkező esetben azt mondják, hogy a család összekapcsolódik, és a v i- t lineárisan függenek.

Az egyetlen vektorból álló család akkor és csak akkor szabad, ha ez a vektor nem nulla. Pár vektor csak akkor kapcsolódik egymáshoz, ha a két vektor kollineáris . Ha ( u , v ) egy lineárisan független vektorpár, akkor ( u , v ), ( u + v , v ) és ( u , u + v ) szintén nem kollináris vektorok, de az ( u , v , u + v ) mindig kapcsolódik.

Generált vektor altér

A vektorok családjának ( v i ) i ∈ I által generált , Vect (( v i ) i ∈ I ) vektoraltere a legkisebb (a befogadás szempontjából) altér, amely tartalmazza a család összes vektorát. Ezzel egyenértékűen a v i vektorok lineáris kombinációinak halmaza . A család generál E-t , vagy egyben generátor is , ha az általa generált altér teljes egészében E.

A család B vektor E egy bázis a E , ha ez szabad és a generátor, vagy ami ezzel egyenértékű, ha vektor E egyedileg kifejezett lineáris kombinációja az elemek B . A létezése alapját bármilyen K , vektor tér E levezethető a hiányos alapján tétel .

A dimenzió meghatározása

Adott egy vektortér E egy mezőt K , az összes alapjait én ugyanolyan számosságú , az úgynevezett dimenzió E .

• A dimenziója tér K n jelentése n .
• Bármely 1-dimenziós vektortér hívják vektor sor . Bármilyen tér dimenziója 2 hívják vektor síkja .

Két vektor terek K izomorf (azaz összekötve egy izomorfizmus ) akkor és csak akkor, ha azok azonos méretű.

Lineáris alkalmazás

Legyen E és F két vektortér ugyanazon K test felett . A térkép f re E és F azt mondják, hogy a lineáris , ha az adalékanyag és ingázik a szorzás a skalár: ∀x,y∈Ef(x+y)=f(x)+f(y),∀x∈E∀λ∈Kf(λx)=λf(x).{\ displaystyle {\ begin {mátrix} \ forall x, y \ E & f (x + y) & = & f (x) + f (y), \\\ forall x \ in E \ quad \ forall \ lambda \ K & f-ben (\ lambda x) & = & \ lambda f (x). \ End {mátrix}}} Más szóval, f megőrzi a lineáris kombinációkat .

Az E- től F- ig terjedő lineáris térképek halmazát gyakran L ( E , F ) jelöli . Ha K kommutatív, L ( E , F ) egy lineáris altér a tér funkcióinak E a F . A lineáris térképek bármely összetétele lineáris. A beállított L ( E , E ) a endomorfizmusok az E L jelöli ( E ). A vektorterek izomorfizmusa lineáris bijektív . Az automorfizmus egy bijektív endomorfizmus. A készlet automorfizmusaira E jelentése a lineáris csoport GL ( E ).

Mag és kép

Bármely lineáris f térkép esetén , E- től F-ig ,

• vektorok x az E olyan, hogy az f ( x ) = 0 formában egy vektor altér E , az úgynevezett kernel az F és jelöljük Ker ( F );
• A vektorok F ( x ) az x a E alkotnak vektor altér F , az úgynevezett kép a F és jelöljük Im ( F );
• f van
  • akkor és csak akkor injekciós, ha Ker ( f ) = {0 E },
  • szurjektív akkor és csak akkor, ha Im ( f ) = F ;
• A dimenzió Im ( f ), az úgynevezett rang az f értéke kisebb vagy egyenlő a E és F . E és Ker ( f ) értékeivel áll kapcsolatban a rangtétel: Nap⁡(E)=Nap⁡ Ker(f){\ displaystyle \ dim (E) = \ dim \ {\ rm {Ker}} (f)} + Nap⁡ énm(f).{\ displaystyle \ dim \ {\ rm {Im}} (f).}

A grafikon az f egy vektor altér E × F , akinek keresztezi E × {0} Ker ( f ) × {0}.

Lineáris forma

A lineáris formában egy K , vektor tér E lineáris feltérképezése E a K . Ha K kommutatív, a lineáris formák E alkotnak K , vektor teret az úgynevezett duális tér az E és a jelölt E *. A magok nem nulla a lineáris formákat a E a hipersíkokat az E .

Termékek és közvetlen összegek

A összege F + G két vektor altér F és G , által meghatározott  F+G={x+y∣(x,y)∈F×G},{\ displaystyle \ F + G = \ bal \ {x + y \ közepe (x, y) \ F \ szorzatban G \ jobb \},} egybeesik a sub-vektortér kifeszített által F ⋃ G . Ez a konstrukció általánosítja a vektor alterek bármely (nem üres) családját.

A Grassmann képlet összeköti az F és G dimenziókat, mint az összegüket és metszéspontjukat:

Nap⁡(F+G)+Nap⁡(F∩G)=Nap⁡F+Nap⁡G.{\ displaystyle \ dim (F + G) + \ dim (F \ cap G) = \ dim F + \ dim G.}

A két altér F és G az E akkor mondjuk, hogy „  a közvetlen összege  ”, amikor a bomlás bármilyen vektor összegük F + G egy összege két vektor, az egyik tartozó F és a másik, hogy a G , egyedülálló (ez ehhez elegendő, hogy 0 E bomlása egyedi legyen, azaz F ∩ G = {0 E }). Ez a definíció egy tetszőleges (nem üres) család ( F i ) i ∈ I alterek összegére általánosít . Ha ez az összeg a közvetlen, akkor a F i nulla kereszteződés kettesével, de ennek az ellenkezője igaz.

Az F + G összeget , ha közvetlen, F ⊕ G- vel jelöljük . Az F és G alterületeket E-ben további (egymásnak) nevezzük, ha közvetlen összegben vannak, sőt, ez az összeg egyenlő E-vel . A Hiányos alaptétel garantálja, hogy bármely vektor altérnek legyen legalább egy további.

Hagy egy család ( E i ) i ∈ I A K , vektor terek. Az ∏ i ∈ I E i derékszögű szorzat természetesen a K -vektor tér szerkezetéből , úgynevezett szorzat-vektor térből öröklődik .

A véges támogatottságú családok egy ∏ i ∈ I E i vektoralteret képeznek , amelyet az E i terek közvetlen összegének nevezünk és ⊕ i ∈ I E i-nek jelölünk .

Amikor az összes E i vannak egyenlő K , ezt a terméket, és ezt az összeget rendre jelöljük K I (a teret a funkciók I a K ) és K ( I ) (a szubtéri funkciók véges támogatást, amelynek mérete megegyezik a kardinalitása I ). Az I = N , mi így megépíteni a teret K N A szekvenciák K és a altér K ( N ) a szekvenciák véges támogatást.

Mennyiségi vektor tér

Legyen F az E altérvektora . Az E / F hányados (vagyis az E ekvivalenciaosztályok halmaza az "  u ~ v akkor és csak akkor, ha u - v tartozik F-hez  ", felruházva az osztályban természetesen definiált műveletekkel) vektortér oly módon, hogy az E → E / F vetület (amely u egyenértékűségi osztályát társítja ) az F lineáris mag .

Minden altereinek további of F figyelembe E izomorfak az E / F . Ezek közös dimenziót, amikor elkészült, az úgynevezett codimension az F a E .

A véges dimenziós vektorterek tulajdonságai

Legyen E egy vektortér, amelyet véges számú m elem generál .

• A dimenziója n az E véges, kevesebb vagy egyenlő, mint m .
• Bármely szabad E családnak legfeljebb n vektora van, és bármelyik generáló családnak legalább n . Ahhoz, hogy egy pontosan n vektorból álló család alapul szolgáljon, elegendő, ha szabad vagy generátor: akkor mindkettő.
• Az egyetlen altér S dimenzió n jelentése E .
• Ha K kommutatív, a duális tér E * az E szintén dimenzió n szerint a kettős alapon tétel .
• Ha K kommutatív és ha n ≠ 0, akkor az E- n váltakozó n- lineáris alakok halmaza az 1. dimenzió vektortere. Ez az eredmény a determináns elméletének alapja .
• Mi levezetni rangot tétel, hogy bármely lineáris leképezés f az E térben azonos méretű n ,f szurjektív ⇔ f injektív ⇔ f bijektív.
• Ha K kommutatív, akkor a térkép a M m , n ( K ) L ( K N , K m ), amely, bármely mátrix Egy , társítja a lineáris leképezés X ↦ AX , egy izomorfizmus vektor terek. Általánosságban elmondható, hogy két, a véges bázissal ellátott tér közötti bármely lineáris térképet ábrázolhatunk egy mátrixszal .

Kapcsolódó struktúrák

Relatív struktúrák

• Egy vektortér pár egy vektortér és annak egy alterületének adata.
• Általánosabban vektortér szűrhető egy növekvő vagy csökkenő altér- szekvencia adataival .
• A zászló egy vektortér E véges dimenzióban egy szigorúan monoton növekvő sorozat al-terek, a üres tér az E .
• A véges dimenziójú valós vektortér úgy orientálható , hogy az alapjain orientációt választunk.
• Egy beosztással vektortér egy családi vektor terek, általában indexelt ℕ, ℤ vagy ℤ / 2ℤ. Két ilyen fokozatos vektortér közötti morfizmus ekkor lineáris térképcsalád, amely tiszteletben tartja az osztást.

Algebrai struktúrák

• A modulus M egy gyűrű Egy olyan adalékanyag-csoport, feltéve, egy külső törvény M a koefficiensek A , összhangban azzal a kiegészítéssel, M , és a műveletek A . Általában nincs sem alapja, sem pedig további. A vektortér egyszerűen egy test fölötti modulus.
• Az algebra egy vektortér, amely az összeadás tekintetében disztributív szorzással van ellátva, és kompatibilis a külső összetétel törvényével.
• A Lie algebra egy olyan vektortér, amely a külső összetétel törvényével kompatibilis Lie konzollal van ellátva .

• Az affin tér egy halmaz, amely egy vektortér szabad és tranzitív hatásával rendelkezik.
• Az euklideszi vektortér egy véges dimenziójú valódi vektortér, egy pont szorzattal .
• Azt mondják, hogy egy valós vagy komplex vektortér normalizálódik, ha normával van ellátva . Például a Banach-terek , beleértve az euklideszi vektortér fogalmát általánosító Hilbert-tereket is, normalizált vektorterek.
• Ha K egy mezőt felruházva egy topológia, egy topológiai vektor helyet a K egy K , vektor teret felruházva egy kompatibilis topológia, azaz az adagolás, és a szorzás egy skalár folyamatosnak kell lennie. Ez a helyzet többek között a szabványosított vektorterek és a Fréchet-terek esetében.
• A vektor köteg egy surjection egyik topologikus tér egy másik, oly módon, hogy a előképe minden pont van ellátva vektortérnek szerkezet, amely folyamatosan összeegyeztethető a struktúrák a preimages szomszédos pontokat.

Történelmi

A vektortér fogalma fogalmilag az affin geometriából származik , a koordináták bevezetésével a referenciakeretbe a síkban vagy a szokásos térben. 1636 körül Descartes és Fermat megadták az analitikai geometria alapjait azzal, hogy két ismeretlennel egyenlet felbontását társították a sík görbéjének grafikus meghatározásához .

A geometriai felbontás elérése érdekében a koordináták fogalma nélkül Bolzano 1804-ben bevezette a pontok, vonalak és síkok műveleteit, amelyek a vektorok előfutárai. Ez a munka találja visszhangot koncepciójának baricentrikus koordináták által Möbius 1827-ben Az alapító szakaszában a meghatározása vektorok meghatározása volt által Bellavitis a bipoint, amely orientált szegmens (egyik végén van egy eredete és a másik a cél. ). Az equipollence reláció, amely két bipont egyenértékűvé teszi a paralelogramma meghatározásakor, így kiegészíti a vektorok meghatározását.

A fogalom a vektort felvesszük a bemutatása komplex számok által Argand és Hamilton , majd, hogy a négyes az utóbbi által, mint az elemek a megfelelő térrészek ℝ 2 és ℝ 4 . A lineáris kombinációval történő kezelés megtalálható a lineáris egyenletrendszerekben , amelyeket Laguerre már 1867-ben meghatározott.

Cayley 1857-ben bevezette a mátrix jelölését , amely harmonizálta a jelöléseket és leegyszerűsítette a vektorterek közötti lineáris leképezések írását . Ezekkel a tárgyakkal végzett műveleteket is felvázolta.

Körülbelül ugyanebben az időben Grassmann folytatta a Möbius által kezdeményezett baricentrikus számítást, absztrakt objektumok halmazának figyelembevételével, amelyek műveletekkel voltak felszerelve. Munkája túllépett a vektorterek keretein, mert a szorzás meghatározásával is az algebra fogalmához kötött . Mindazonáltal ott találjuk a dimenzió és a lineáris függetlenség fogalmát, valamint az 1844-ben megjelent skaláris szorzatot . E felfedezések elsőbbségét Cauchy vitatja, amikor a Sur les clefs algebrique megjelent a Comptes Rendus-ban .

Peano , jelentős hozzájárulás volt a szigorú axiomatizálás, a meglévő fogalmak - ideértve a hagyományos halmazok felépítését is - az elsők között adták meg a vektortér fogalmának korabeli definícióját a XIX .  Század végén.

Fontos ezen elképzelés annak köszönhető, hogy az építési terek funkciók által Lebesgue , építkezés hivatalos során XX th  században Hilbert és Banach , a doktori értekezését 1920-ban.

Ebben az időben éreztette hatását a kialakulóban lévő funkcionális elemzés és az algebra közötti kölcsönhatás , különösen olyan kulcsfogalmak bevezetésével, mint a p- integrálható függvények terei vagy akár a Hilbert-terek . Ekkor jelentek meg az első vizsgálatok a végtelen dimenziós vektorterekről.

Fordítások

A vektorterek meghatározása nélkül a síkgeometriának egy lehetséges megközelítése egy affin sík, Desargues P vizsgálatán alapul . Pontokból és vonalakból áll, incidenciának nevezett tagsági relációval, amelyek tulajdonságai értelmet adnak a pontok igazodásának és a vonalak párhuzamosságának. Egy hívás homothety-fordítását bármely átalakítása P megőrzése igazítás és a küldő bármely egyenes vonal párhuzamos vonal. Az identitáson kívül (amelyet mind homotétának, mind fordításnak tekintenek) egy ilyen transzformáció legfeljebb egy pontot rögzít; akkor hívjuk homotetikának, ha rögzít egy O pontot, amely ekkor a középpontja; fordításnak hívják egyébként. A rögzített középpontú homotetikák O halmaza az összetétel törvényéhez abeli csoportot alkot, függetlenül a közeli O izomorfizmustól , amelyet K * -nak jelölnek . Lehetséges 0 elem hozzáadása egy K test kialakításához , az összeadási törvényt P- ből határozzuk tovább . Bármely nem nulla skalár megfelel az O középpontú egyedi homotetikának, és azt mondjuk, hogy ez az aránya. A P fordításainak halmaza K- vektor teret alkot , törvényei a következők: λ{\ displaystyle \ lambda}λ{\ displaystyle \ lambda}

• Két t és t ' fordítás vektorösszege az összetettük, amely egy fordítás;t∘t′=t′∘t{\ displaystyle t \ circ t '= t' \ circ t}
• A t transzláció szorzata K nulla nulla skalárjával λ a t konjugációja bármely középpont homotetikájával h és a λ arány , vagyis transzformáció , amely transzláció.hth-1{\ displaystyle hth ^ {- 1}}

A nulla vektor az azonosság. A t transzlációval ábrázolt vektor ellentéte a t −1 által definiált vektor .

Mindez általánosítja a affin incidencia (vagy szintetikus) dimenziók (véges vagy végtelen) területeit, amelyek nagyobbak vagy egyenlőek 3-mal (ezek Desargues-ból származnak). De ebben az esetben, ha a vonalak elemeinek száma egyenlő 2-vel, a vonalak közötti párhuzamosság viszonyát bele kell foglalni az affin terek meghatározásába. Tehát van egy „mögöttes” vektortér minden affin Desargues síkhoz és minden affin incidencia térhez.

Ezek a megfontolások lehetővé teszik a kapcsolat felépítését a lineáris algebrán alapuló modern geometria-megközelítés és az axiomatikus megközelítés között.

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

1. hipotézise kommutativitás a „+” tulajdonképpen redundáns: ez levezethető az egyéb tulajdonságok, a fejlődő kétféleképpen (1 + 1) • ( u + v ): vö hasonló megjegyzések a " Unit ring  " és a "  Modulus on a ring  " cikkekben  .
2. Erre a feltételre szükség van, amint azt a következő ellenpélda mutatja. Ha vesszük például az E = K , és a külső törvény definíciója mindig nulla művelet (λ • u = 0 minden λ a K és az összes u az E ), akkor az összes többi axiómák teljesülnek, kivéve ezt. Ezt .

Hivatkozások

1. (en) Serge Lang, Algebra ,1965[ a kiadások részlete ] : a II. fejezetben meghatározott mező, a III. fejezetben a vektortér. A testek elmélete a VII – XII. Fejezet tárgya, az algebra egyéb elképzeléseit a XIII – XVIII.
2. Roger Godement , Cours d'Algebre , 1966: A 8. fejezet a gyűrűkkel és testekkel, a 10. fejezet pedig a modulusokkal és a vektorterekkel foglalkozik.
3. (in) Michael Artin , algebra [ kiadói részletek ] : A vektortereknek szentelt 3. fejezet először a vector n vektortereket mutatja be, mielőtt meghatározná a test szerkezetét.
4. Dieudonné 1964 , p.  31.
5. Serge Lang , Linear Algebra , vol.  1., Interéditions, fejezet.  1. és 2..
6. Stéphane Balac és Frédéric Sturm, Algebra és elemzés: első éves matematika tanfolyam korrigált gyakorlatokkal , PPUR ,2003( online olvasható ) , p.  302, prop. 8.1.3.
7. Lang 1965 , p.  85.
8. (De) B. Bolzano, Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie , 1804.
9. (től) A. Möbius, Der barycentrische Calcül , 1827.
10. (De) H. Grassmann, Die Ausdehnungslehre .
11. (It) G. Peano, Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operatsioni della logica deduttiva , 1888.

Lásd is

Bibliográfia

• de) Helmut Boseck, Einführung in die Theorie der linearen Vektorräume , 1967
• Jean Dieudonné , Lineáris algebra és elemi geometria , Hermann ,1964
• (en) Leon Mirsky  (en) , Bevezetés a lineáris algebrába , 1955, nád. 1990 [ online ]

Külső hivatkozás

(hu) John J. O'Connor és Edmund F. Robertson , „absztrakt lineáris terek” , a MacTutor History of Mathematics archiválni , University of St Andrews ( olvasható online ).

Kapcsolódó cikkek

• Endomorfizmus csökkentése és átlósítása (módszertan az operátorok normális alakjának meghatározására)
• Tenzor (hasznos tárgy a geometriában és a fizikában)