Átlósítás

A matematikában az átlósítás egy lineáris algebra folyamata, amely lehetővé teszi a vektortér egyes endomorfizmusainak , különösen egyes négyzetmátrixok leírásának egyszerűsítését . Abban áll, hogy megtalálja és tisztázza a sajátvektorokból álló vektortér alapját , ha van ilyen. A véges dimenzióban , diagonalizáció összege leírja ezt endomorphism egy diagonális mátrix .

Ez a folyamat tehát az endomorfizmus maximális csökkenéséhez vezet, vagyis a vektortérnek az endomorfizmus által stabil vektorvonalak közvetlen összegévé történő bomlásához . Minden ezeket a sorokat, a endomorphism csökken a homothety . Az endomorfizmus átlósítása lehetővé teszi az erőinek és az exponenciájának gyors és egyszerű kiszámítását , ami lehetővé teszi bizonyos lineáris dinamikus rendszerek számszerűsítését , iterációval vagy differenciálegyenletekkel .

Módszer

• Néha szükséges kiszámítani a karakterisztikus polinomja a mátrix, annak érdekében, hogy meghatározza annak sajátértékek és a kapcsolódó Eigen altér :
  A , karakterisztikus polinomja van , ahol a határozatlan és I n jelentése az azonosító mátrix a . A sajátértékek: X- i a gyökerei , így ott van a legtöbb n sajátértékei multiplicitás m i . Ezután minden sajátértéknél meghatározzuk a hozzá társuló saját alteret:M∈Mn(K){\displaystyle M\in M_{n}(K)}χM(X)=det(XIn−M){\displaystyle \chi _{M}(X)={\rm {det}}(XI_{n}-M)}X{\displaystyle X}Mn(K){\displaystyle M_{n}(K)}
  χM{\displaystyle \chi _{M}}
  Eλi=Ker(M−λiIn).{\displaystyle E_{\lambda _{i}}={\rm {Ker}}(M-\lambda _{i}I_{n}).}A mátrix csak akkor lehet diagonalizálható , ha az E λ i egyes saját alterületek dimenziója megegyezik a λ i sajátérték m i sokaságával , ami azt jelenti, hogy mindegyikre megvan a m i sajátvektor alapja, amelyet l ' X i-vel jelölünk , j , 1 ≤ j ≤ m i . Ekkor létezik egy invertálható U mátrix úgy, hogy U −1 MU megegyezik egy D átlós mátrixszal, amelynek átlós együtthatói a m i- szer megismételt λ i és U az a mátrix, amelynek oszlopai az X i, j vektorok (l 'sorrend nem nem számít, de ha van a vektor X i, j a k -edik oszlopa U , akkor megvan a sajátérték λ i a k -edik oszlopa D ).Eλi{\textstyle E_{\lambda _{i}}}
  
• Arra is lehetőség van, hogy közvetlenül meghatározzuk a társított saját alterületek sajátértékeit és bázisait. Az M mátrix akkor és csak akkor lehet átlósítható, ha a különféle saját részterek dimenzióinak összege egyenlő n-vel . Ha a mátrix átlósítható, akkor létezik egy invertálható P mátrix, amelyet úgy kapunk, hogy egymás mellé helyezzük a megfelelő oszlopokat, amelyek mindegyik altér alapját képezik, és a D = P -1 MP mátrix átlós. A sajátértékhez társított sajáttér dimenziója megegyezik azzal, hogy hányszor ismételjük meg az utóbbit a D átlós mátrix átlóján, hasonlóan az M mátrixhoz .
• Egy endomorphism u amelynek csak véges számú sajátértékek (ami mindig a helyzet véges dimenzióban) van diagonalizable akkor és csak akkor, ha törölte a hasított polinom az egyszerű gyökerek . Sőt, a kivetítők a megfelelő altereinek majd fejezzük polinomok u (lásd Lemma sejtmagok ).

Példák

Első példa

Tekintsük a mátrixot:

A=(1200302−42).{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{pmatrix}}.}

Ez a mátrix sajátértékként ismeri el  :

λ1=3,λ2=2,λ3=1.{\displaystyle \lambda _{1}=3,\quad \lambda _{2}=2,\quad \lambda _{3}=1.}

Így A 3-as méretű A-nak 3 különböző sajátértéke van, ezért átlósítható.

Ha azt akarjuk, hogy diagonalize A , meg kell határoznunk a megfelelő sajátvektor . Ilyenek például:

v1=(11−2),v2=(001),v3=(10−2).{\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}},\quad v_{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad v_{3}={\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}}.}

Ezt könnyen ellenőrizhetjük . Avk=λkvk{\displaystyle Av_{k}=\lambda _{k}v_{k}}

Most legyen P az a mátrix, amelynek oszlopai ezek a sajátvektorok:

P=(101100−21−2).{\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&0\\-2&1&-2\end{pmatrix}}.}

Ezután "  P átlósítja A-t  ", amint egy egyszerű számítás mutatja:

P−1AP=(0102011−10)(1200302−42)(101100−21−2)=(300020001).{\displaystyle P^{-1}AP={\begin{pmatrix}0&1&0\\2&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&0\\-2&1&-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}

Ne feledje, hogy a λ k értékek ugyanabban a sorrendben jelennek meg a mátrix átlóján, mint ahány konkrét oszlopot helyeztünk el a P alakításához .

Második példa

Is A=(03−12−11002)∈M3(R){\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&3&-1\\2&-1&1\\0&0&2\end{pmatrix}}\in M_{3}(\mathbb {R} )}

χA(T)=det⁡(TI3−A)=|T−31−2T+1−100T−2|=(T−2)2(T+3){\displaystyle \chi _{A}(T)=\operatorname {det} (TI_{3}-A)={\begin{vmatrix}T&-3&1\\-2&T+1&-1\\0&0&T-2\end{vmatrix}}=(T-2)^{2}(T+3)}(lásd a meghatározó számítását )

Tehát a sajátértékek a következők:

• 2 a sokaságból 2,
• –3 sokaság 1.

Az igen részterek kiszámítása:

Az E 2 kiszámítása  : Olyat keresünk , amely:X=(x1x2x3){\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}}(A−2I3)X=0{\textstyle (A-2I_{3})X=0}

Arany :

(A−2I3)X=0⇔(−23−12−31000)(x1x2x3)=0⇔−2x1+3x2−x3=0{\displaystyle (A-2I_{3})X=0\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}-2&3&-1\\2&-3&1\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=0\Leftrightarrow -2x_{1}+3x_{2}-x_{3}=0}

Ebből kifolyólag E2=Vect⁡{(320),(10−2)}{\displaystyle E_{2}=\operatorname {Vect} \left\{{\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}}\right\}}

Ugyanígy járunk el az E –3 esetében, és megkapjuk:

E−3=Vect⁡{(1−10)}{\displaystyle E_{-3}=\operatorname {Vect} \left\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\right\}}

Megvan: és ezért ez a mátrix átlósítható. dim⁡(E2)=2{\displaystyle \operatorname {dim} (E_{2})=2\,}dim⁡(E−3)=1{\displaystyle \operatorname {dim} (E_{-3})=1\,}

Lehetséges átlósítás : , -velB=U−1AU=(20002000−3){\displaystyle B=U^{-1}AU={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&{-3}\end{pmatrix}}}U=(31120−10−20).{\displaystyle U={\begin{pmatrix}3&1&1\\2&0&-1\\0&-2&0\end{pmatrix}}.}

Vetítő

Legyen (bármely méret) p lehet egy projektor , azaz egy idempotens endomorphism  : p 2 = p . Az X 2 - X = ( X - 1) X polinom törli , amely hasított és egyetlen gyökerű. Ezért diagonalizable, sajátértékek 1 és 0. A kivetítők a két megfelelő Eigen al-terek ( további egyet a másik) között p és id - p . Ha a tér normalizáljuk (vagy általánosabban, ha ez egy topológiai vektor helyet ), és ha p jelentése a folyamatos , ez a két altér ezért még további topológiai .

Szimmetria

Mindig minden dimenzióban, legyen s legyen a szimmetria , vagyis egy leépülési endomorphism  : s 2 = id. Ez törli a polinom X 2 - 1 = ( X - 1) ( X + 1), amely osztott, és egyszerű gyökerek, amint a területén a skaláris van egy jellemző eltér 2. Ezért ebben az esetben átlósítható, két sajátértéke (az 1. és –1. sajátértékre) ráadásul a kivetítő p (( s + id) / 2 ) értéke (1. és 0. sajátértékére ).

Például a térben ℒ ( H ) a szolgáltatók korlátos egy Hilbert H a K = ℝ vagy ℂ , a szimmetria, amely minden egyes gazdasági szereplő társítja annak kiegészítéseként mindig ℝ-lineáris, és a diagonalizable mint ilyen  : a szereplők Hermitians és antihermitians formában két további valós vektor altér (topológiai). (Ha a H jelentése a véges dimenzióban n fölött K , egy mátrix írásban mutatja, hogy a méreteiket rendre megegyezik, hogy n ( n + 1) / 2, és n ( n - 1) / 2, ha H jelentése euklideszi , és mindkét egyenlő n 2 ha H jelentése hermitikus .)

Korlátok és általánosság

Nem minden endomorfizmus átlósítható. Azonban:

• az endomorfizmus polinomjellemzője akkor és csak akkor oszlik meg , ha minimális polinomja fel van osztva , és egy algebrailag zárt mezőben, mint a ℂ , mindig azok. Ebben az esetben Dunford bomlása biztosítja, hogy az endomorfizmus egy átlósítható endomorfizmus és egy ingázó nilpotens összegeként bomlik le, ami megkönnyíti ereje és exponenciálisjának kiszámítását  ;
• a készlet négyzet mátrixok rögzített méretű komplex együtthatók (amelyek mind trigonalisable on ℂ), a készlet diagonalizable mátrixok sűrű (a szokásos topológia );
• a ℝ-n trigonalizálható valós együtthatókkal rendelkező, rögzített méretű négyzetmátrixok halmazában (vagyis amelyek mindegyik sajátértéke - a priori komplexum valós), az átlósítható mátrixok halmaza sűrű.

Egyidejű átlósítás

Ha egy család a endomorfizmusok egy tér E jelentése egyidejűleg diagonalizable , azaz ha létezik megfelelő alapja E minden , egyértelmű, hogy ingázik kettesével . (ui)i∈I{\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}ui{\displaystyle u_{i}}ui{\displaystyle u_{i}}

Csak részleges ellentmondásunk van: ha E véges dimenziójú, vagy ha véges, akkor az E bármelyik diagonalizálható endomorfizmus- családja , amely kettesével ingázik, egyszerre átlósítható. I{\displaystyle I}(ui)i∈I{\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}

Megjegyzések és hivatkozások

1. Yoann Gelineau ( Université Claude-Bernard Lyon 1 ), Átlósítható mátrixok sűrűsége ℳ n (ℂ) -ben, Rombaldi után Thèmes pour l ' aggregation de mathematics , p.  51 .
2. Javított gyakorlatok A Wikiverzitás diagonalizációja és stabil alterei .

Bibliográfia

(en) Richard S. Varga, Matrix Iterative Analysis , Springer, 2010 ( ISBN  978-3-64205154-8 )

Kapcsolódó cikkek

• Főkomponens analízis
• Nilpotens mátrix ( trigonalizálható, de nem átlósítható mátrixok példái ); Átlósítható mátrix (beleértve az átlósítható mátrixokat is )
• Mátrixcsökkentés
• Az endomorfizmus csökkentése