Involution (matematika)
A matematikában az involúció egy bijektív alkalmazás, amely a saját reciproka , vagyis az, hogy minden elem képének képe. Ez a helyzet például a változás jele a készlet valós számok , illetve a szimmetriák a sík vagy a tér az euklideszi geometria . A lineáris algebra , visszafejlődéses endomorfizmusok is nevezik szimmetriák.
A matematika számos területén, különösen a kombinatorikában és a topológiában mutatkoznak szerepvállalások . Az involúció társítható a kettősség jelenségével is .
Formális meghatározás
Azt mondjuk, hogy egy alkalmazás a leépülési (vagy hogy ez egy sorvadást E ), ha mindent . Más szavakkal : a kompozit az f és maga az identitás térkép az E .
Tulajdonságok
Egy térkép f az E önmagába egy involúció, ha, és csak akkor, ha bijektív és olyan, hogy az F -1 = f (a képet, és a előzménye bármely elemének E egybeesik).
A vegyületet g ∘ f két involutions f és g a E jelentése leépülési, ha, és csak akkor, ha f és g közlekedhetne , azaz, ha az f ∘ g = g ∘ f .
Legyen f E invúziója :
- ha g jelentése bijekciót a E -ra F , reciprok bijekciót g -1 , majd g ∘ f ∘ g -1 egy sorvadást F ;
- ha g jelentése feltérképezése E az E , mint g ∘ f ∘ g = f , majd f ∘ g és g ∘ f vannak involutions az E .
Példák
A lineáris algebra , ha K egy mezőt , és E a K , vektor tér:
- A szimmetriák a E a endomorfizmusok háruló származó E .
- különösen, a vektor tér M n ( K ) négyzet mátrixok érdekében n a koefficiensek K , a átültetés egy leépülési endomorphism.
- ha E jelentése a véges dimenzióban N , hozzárendeljük az egyes endomorphism az E annak mátrix A (eleme M n ( K )) egy rögzített alapot ; ez a mátrix akkor és csak akkor szimmetrikus, ha A × A egyenlő az I n azonossági mátrixszal .
Az algebrában egy olyan csoport alkalmazása önmagában, amely x egyes elemekhez társítja szimmetrikus x −1 szimbólumait, invutív: ( x −1 ) −1 = x .
A elemzés , az összes valós számok b ≠ 0 és egy , a térképek definiált ℝ \ { a } , és meghatározni ℝ, vannak involutions.
A komplex ragozás a inv involúciója . Általánosabban :
- az n sorrendű , komplex együtthatójú négyzetmátrixok halmazán az a térkép, amely bármelyik mátrixhoz hozzárendeli az adjunktumát , egy involúció.
- a másodfokú kiterjesztése , az alkalmazás, amely bármely elemét összekapcsolja a konjugált van leépülési.
A klasszikus logika szerint a tagadás invutív: a "nem nem A" egyenértékű az "A" -val; de az intuíciós logikában ez nem így van .
A permutáció akkor és csak akkor jelent megoldást, ha 2-nél kisebb vagy azzal egyenlő hosszúságú diszjunkt ciklusokra bomlik. Így kizárólag rögzített pontokból és transzpozíciókból áll.
Általánosítás
A koncepció involúció lehet terjeszteni más matematikai objektumok: sőt, ha figyelembe vesszük a monoid ( M , ✻, e ), akkor azt mondjuk, hogy egy elem egy az M egy involúció (a törvény ✻), vagy leépülési (az M ) ha a ✻ a = e .
Ekkor bármely természetes k számra : a 2 k = e k = e, tehát a 2 k + 1 = e ✻ a = a .
A monoid semleges eleme ennek a monoidnak az involúziója.
Gyakori eset a gyűrűben való involúció a második törvény vonatkozásában.