Dunford bomlás
A matematikában , pontosabban a lineáris algebrában , a Dunford-bontás (vagy Jordan-Chevalley-bontás ) illeszkedik az endomorfizmus-redukció kontextusába , és bebizonyítja, hogy minden u endomorfizmus a diagonalizálható d d és a nilpotens endomorfizmus n összege , a kettő d és n endomorfizmus ingázás és egyediség.
Ezt a bomlást először 1870-ben mutatta be Camille Jordan , majd az ötvenes években Claude Chevalley az algebrai csoportok elméletének összefüggésében. A francia nyelvterületen olykor tévesen Nelson Dunfordnak tulajdonítják , akinek munkája Chevalley munkáját követi.
Ez nem „redukció” abban az értelemben, hogy nem maximális: néha lehetséges a bomlást kisebb, stabil vektor-alterekbe tolni.
Feltételezi, hogy a vektortér véges dimenziójú és a minimális polinom fel van osztva , vagyis azt, hogy az első fokú polinomok szorzataként fejeződik ki. Ezt a második hipotézist mindig ellenőrizzük, ha a mező algebrailag bezárt , mint a komplex számoké . Abban az esetben, ha a tulajdonság nincs ellenőrizve, lehetőség van kiterjeszteni a mezőt annak algebrai bezárására és a vektortérre erre az új mezőre, és ebben az összefüggésben alkalmazni a Dunford-bontást. Például a valós számok mezője általában kiterjesztettnek tekinthető, hogy lehetővé tegye ennek a bontásnak az alkalmazását.
Ezt a bontást széles körben alkalmazzák. Gyakran gyors mátrixszámítást tesz lehetővé . Ezt azonban gyakran Jordánia csökkentésének formájában alkalmazzák.
Tétel
A diagonalizálhatósági tétel lehetővé teszi számunkra, hogy meghatározzuk az u szerkezetét, amikor megengedi az osztott törlésű , egyetlen gyökérű polinomot . Dunford bomlása általánosabb esetre vonatkozik.
Dunford a bomlási tétel - Egy endomorphism u véges dimenziós vektortér elismeri minimális osztott polinom akkor és csak akkor, ha ez lehet írott formában u = d + n és d egy diagonalizable endomorphism és n egy endomorphism nilpotens olyan, hogy d és n közlekedhetne (azaz dn = nd ). Sőt, d és n akkor u polinomok, és egyediek.
Alkalmazási esetek
Véges dimenzióban a Cayley-Hamilton tétel biztosítja, hogy ahol az u jellegzetes polinomját jelöli . Ha fel van osztva, akkor az u lebontható.
Különösen érvényes ez a véges dimenziós tér algebrai szempontból zárt mező fölötti esetleges endomorfizmusára ( különösen).
Jordánia csökkentése
A dunfordi bomlás a nilpotens endomorfizmusok Frobenius-bomlásával kombinálva lehetővé teszi a Jordán véges dimenziójának csökkenését . Valóban, d és n ezért változtassák Eigen al-terek d stabilak által n .
A korlátozás az n a megfelelő altér elismeri mátrixot kialakítva nilpotens Jordán blokkok amely, hozzáadásával λI p , Jordan tömbök d + n egy adaptált alapon. Így e bázisok uniójának felhasználásával kapunk egy átlós blokkmátrixot, amelyet Jordan-blokkok alkotnak.
Megjegyzések
- Lásd Matthieu Romagny videóelőadását az 5 perc Lebesgue weboldalán .
- Bemutatóért lásd például a Wikiverzió megfelelő fejezetét .