Remete tér

A matematika , a Hermitian tér egy vektortér a kommutatív területén a komplexek a véges dimenzióban és látva hermitikus skalárszorzat . Egy ilyen tér geometriája analóg az euklideszi tér geometriájával . Sok tulajdonság mindkét szerkezetben közös.

Emiatt az árrés, mint a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség és a háromszög egyenlőtlenség mindig érvényes, a létezését bizonyos bázisok , azt mondta, hogy ortonormált , biztosított, és a kanonikus összefüggés a teret és annak kettős ugyanolyan természetű hogy az euklideszi konfiguráció.

Az algebrai zárt jellegét , a mögöttes test teszi a diagonalizáció a endomorfizmusok kompatibilis a skalár szorzat általánosabb. A kompatibilis kifejezés itt normálisat jelent , vagyis ingázást annak kiegészítőjével .

Végül az n dimenzió hermetikus tere a 2 n dimenzió euklideszi tere is , következésképpen a topológiai tulajdonságok pontosan megegyeznek.

Ez a szerkezet Charles Hermite francia matematikusnak ( 1822 - 1901 ) köszönheti nevét .

Definíció és első tulajdonságok

Definíciók

A cél az euklideszi térszerkezet általánosítása komplex számokra, ami azt az előnyt kínálja, hogy algebrailag zárt mező. Másrészt a test működésével kompatibilis rendkapcsolat már nincs, és egy komplex négyzete néha negatív. Ennek a nehézségnek a leküzdésére a skaláris szorzat már nem egy bilináris forma, hanem egy hermita forma.

A hermita forma egy 〈⋅, ⋅〉térkép E × E és ℂ között, amely:

• az összes X a E , a térkép φ X az E a ℂ által meghatározott φ x ( y ) = < y , x >, egy lineáris formában , és
• minden x és y esetében E- ben (ahol a konjugáció ).⟨x,y⟩=⟨y,x⟩¯{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = {\ overline {\ langle y, x \ rangle}}}⋅¯{\ displaystyle {\ bar {\ cdot}}}

Különösen, < x , x > jelentése valós , és egy kvadratikus alak a E tekintik ℝ-vektor teret. x↦⟨x,x⟩{\ displaystyle x \ mapsto \ langle x, x \ rangle}

Vegye figyelembe azt is, hogy egy ilyen definícióval rendelkező hermita forma a jobb oldalon szeszkinilináris .

Ami a következő meghatározásokhoz vezet:

Definíció  -  Egy pont termék több mint egy komplex vektor tér egy hermitikus formában <⋅, ⋅> úgy, hogy a valós kvadratikus formában van pozitív határozott . x↦⟨x,x⟩{\ displaystyle x \ mapsto \ langle x, x \ rangle}

Ilyen körülmények között a 〈⋅, ⋅〉valós része egy euklideszi skaláris szorzat a korlátozással kapott valós vektortér-szerkezetre, a képzeletbeli rész pedig váltakozó bilináris, nem degenerált forma , más szóval szimplektikus forma . Re(⟨⋅,⋅⟩){\ displaystyle {\ mathfrak {Re}} \ bal (\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ right)}

A hermita termék kifejezés szinonimája a bonyolult vektortérben elhelyezkedő pontterméknek.

Meghatározás  -  A hermita tér egy véges dimenziójú komplex vektortér, amely egy pont szorzattal van ellátva.

A leképezés, amely egy vektor x társult a négyzetgyöke a dot termék x önmagában, egy norma úgynevezett Hermitian norma  ; a társított távolságot , amely két vektorral társítja különbségük normáját, Hermiti távolságnak nevezzük .

A cikk további részében E egy véges dimenziójú komplex vektorteret jelöl, complex a komplex számok testét, 〈⋅, ⋅〉 egy skaláris szorzatot E-n , amelyet az első változóhoz képest lineárisnak és fél-lineárisnak a per második. A normát megjegyezzük ║ ∙ ║.

Példák

• A kanonikus skaláris szorzattal és a hozzá tartozó normával felruházott ℂ n vektortér x = ( x 1 ,…, x n ) és y = ( y 1 ,…, y n ) esetén⟨x,y⟩=x1y1¯+x2y2¯+...+xnemynem¯=∑én=1nemxényén¯ és ‖x‖=∑én=1nem|xén|2,{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = x_ {1} {\ overline {y_ {1}}} + x_ {2} {\ overline {y_ {2}}} + \ ldots + x_ {n} {\ overline {y_ {n}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} {\ overline {y_ {i}}} {\ text {and}} \ | x \ | = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {2}}},}egy hermitikus tér, amelyet az n dimenzió kanonikus hermetikus terének nevezünk .
• A vektor tér M n (ℂ) a négyzetes mátrixok a rend n , azonosították ℂ ( n 2 ) , a kanonikus skalár termék tehát újraírt:⟨NÁL NÉL,B⟩=∑én,j∈{1,...,nem}NÁL NÉLénjBénj¯=tr(NÁL NÉLB∗){\ displaystyle \ langle A, B \ rangle = \ sum _ {i, j \ in \ {1, \ ldots, n \}} A_ {ij} {\ overline {B_ {ij}}} = \ mathrm {tr } (AB ^ {*})}ahol tr jelöli a nyomkövetési és B * jelentése a segédanyag (vagy transconjugate) mátrixot a B (azaz a transzponáltja a mátrix, amelynek együtthatóit a konjugátumok a együtthatók B ). A társított normát „ Frobenius-normának  ” nevezzük  .
• Az n- nél kisebb vagy azzal egyenlő komplex polinomok vektortere ,
  • a skaláris szorzattal együtt⟨∑én=0nemnál nélénxén,∑én=0nembénxén⟩=∑én=0nemnál nélénbén¯{\ displaystyle \ left \ langle \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} X ^ {i}, \ sum _ {i = 0} ^ {n} b_ {i} X ^ {i} \ right \ rangle = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} {\ overline {b_ {i}}}}egy hermita tér, triviálisan izomorf az n + 1 dimenzió kanonikus hermetikus terével .
  • más skaláris szorzattal:⟨P,Q⟩=∫01P(t)Q(t)¯ dt{\ displaystyle \ langle P, Q \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} P (t) {\ overline {Q (t)}} \ {\ rm {d}} t}szintén remete tér. Ez a skaláris szorzat a Hilbert L 2 tér ([0, 1]) (végtelen dimenziójú) területe, amely az n- nél kisebb vagy azzal egyenlő fokú polinomiális funkciók (polinomként azonosított) alterére korlátozódik .
  • a skaláris szorzattal együtt (a két előzőtől eltérően):⟨P,Q⟩=∑én=0nemP(xén)Q(xén)¯{\ displaystyle \ langle P, Q \ rangle = \ sum _ {i = 0} ^ {n} P (x_ {i}) {\ overline {Q (x_ {i})}}}(ahol x 0 , ..., x n jelentése n + 1 különböző komplex) izomorf a kanonikus hermitikus tere dimenzió n + 1, a térkép P ↦ ( P ( x 0 ), ..., P ( x n )).

Egyenlőtlenségek és identitások

A következő tulajdonságokat minden komplex prehilberti térben ellenőrizzük , a méret nem feltétlenül véges. Némelyik csak a Re (〈⋅, ⋅〉) valódi ponttermék tulajdonságainak megismétlése , amelynek ugyanaz a társított normája, mint a 〈⋅, ⋅〉.

A valós helyzethez hasonlóan a két klasszikus pótdíjat is mindig ellenőrizzük. Ha x és y az E két vektorát jelöli  :

• a Cauchy-Schwarz  :  ;|⟨x,y⟩|≤‖x‖‖y‖{\ displaystyle | \ langle x, y \ rangle | \ leq \ | x \ | \ | y \ |}
• a háromszög egyenlőtlenség  : Ez utóbbi azt mutatja, hogy a szabvány definíciójának harmadik axiómáját, az említett szubadditivitást ellenőrizzük. A másik kettő (elválasztás és homogenitás) nyilvánvalóan így van.‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖.{\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |.}
  
• Az összeg normájának négyzetének alakulása,‖x+y‖2=‖x‖2+‖y‖2+2Re(⟨x,y⟩),{\ displaystyle \ | x + y \ | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} +2 {\ rm {Re}} \ balra (\ langle x, y \ rangle \ right),}lehetővé teszi számunkra, hogy létrehozza a Pitagorasz-tétel  : ha x és y olyan ortogonális , akkor ellentétben az euklideszi helyzet, az ellenkezője nem igaz, hiszen a skalár szorzat is itt egy nem nulla tiszta képzetes .‖x+y‖2=‖x‖2+‖y‖2.{\ displaystyle \ | x + y \ | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2}.}
  
• Két vektor összege normájának négyzetének alakulása megmutatja a paralelogramma szabályt , amely a pont szorzatból származó normákat jellemzi  :‖x+y‖2+‖x-y‖2=2‖x‖2+2‖y‖2,{\ displaystyle \ | x + y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ | x \ | ^ {2} +2 \ | y \ | ^ {2},}
• valamint a sarki azonosság: ‖x+y‖2-‖x-y‖2=2⟨x,y⟩+2⟨y,x⟩.{\ displaystyle \ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ langle x, y \ rangle +2 \ langle y, x \ rangle.}
• A polarizációs azonosság (amelyet itt egy jobb szeszkvilináris formára fogalmaztunk meg ) azt mutatja, hogy a skaláris szorzatot teljes mértékben a norma határozza meg:⟨x,y⟩=14∑k=03énk‖x+énky‖2.{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = {\ frac {1} {4}} \ sum _ {k = 0} ^ {3} {\ rm {i}} ^ {k} \ | x + {\ rm {i}} ^ {k} y \ | ^ {2}.}

Tulajdonságok

Orthonormális alapon

Pontosan ugyanaz a helyzet, mint egy euklideszi térben:

• bármely ortonormális család ingyenes  ;
• ha E jelentése Hermite tere dimenzió n és B egy ortonormáiis alapján E ezután, az összes vektor u és v az E , a koordinátái x és y a B , a skaláris termék < u , v > egyenlő a skalár szorzat < x , y〉 az n dimenzió kanonikus hermita terében . Más szavakkal, az E-től ℂ n- ig terjedő lineáris bijekció , amely bármely vektorhoz társítja a B- koordinátáit, tiszteletben tartja a két skaláris szorzatot, és így a hermita terek izomorfizmusát alkotja;
• a bizonyítéka Bessel-egyenlőtlenség mutatja, hogy ha ( f i ) egy ortonormáiis bázis a vektor altér F az E , bármilyen vektor x az E elismeri egy merőleges vetülete a F , amelynek koordinátái a ( f i ), az úgynevezett Fourier-együtthatók, amelyek a 〈X , f i〉 és ellenőrizze∑|⟨x,fén⟩|2≤‖x‖2 ;{\ displaystyle \ sum | \ langle x, f_ {i} \ rangle | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2} ~;}
• levezetjük a Gram-Schmidt algoritmust , amely biztosítja az ortonormális bázis létezését.

Kettős, kiegészítő és tenzor termék

Emlékezzünk vissza arra, hogy ebben a cikkben a hermetikus alak jobb oldali szekvilináris forma, hermetikus szimmetriával.

A konfiguráció ismét analóg az euklideszi terekkel. A ponttermék az E kanonikus térképét adja kettős E * -jében:

∀x,y∈Eφx:E→VSy↦φx(y)=⟨y,x⟩.{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad \ varphi _ {x}: E \ rightarrow \ mathbb {C} \ quad y \ mapsto \ varphi _ {x} (y) = \ langle y, x \ rangle .}

A sorrend itt megfordult az euklideszi térről szóló cikkben kiválasztott konvencióhoz képest. Valóban, φ x lenne félig lineáris különben és mi azt kapjuk lineáris bijekciót a E annak duális (vektortér félig-lineáris formák).

A választott sorrenddel fél-lineáris bijekciónk van E- től E-ig a kettős E * -be . Ha az E * kettős normával rendelkezik , akkor ez a bijekció még egy izometria is (a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség szerint ), ami azt bizonyítja, hogy ez a norma hermit, vagyis skaláris szorzathoz kapcsolódik: a by φ által meghatározott ( x ), φ ( y )〉 = 〈y , x〉.

Mi levezetni φ két bijekciókat ¥ 1 és ψ 2 , a tér L ( E ) endomorfizmusok az E térben L 3/2 ( E ) a sesquilinear formák a jobb oldalon:

∀nál nél∈L(E) ∀x,y∈Eψ1(nál nél)(x,y)=⟨nál nél(x),y⟩ és ψ2(nál nél)(x,y)=⟨x,nál nél(y)⟩.{\ displaystyle \ forall a \ in {\ rm {L}} (E) ~ \ forall x, y \ in E \ quad \ psi _ {1} (a) (x, y) = \ langle a (x) , y \ rangle {\ text {és}} \ psi _ {2} (a) (x, y) = \ langle x, a (y) \ rangle.}

ψ 1 jelentése lineáris és ψ 2 félig lineáris, így a vegyületet bijekciót ψ 2 -1 ∘ψ 1 félig lineáris. Ahhoz, hogy egy endomorphism egy társítja a endomorphism a * úgynevezett járulékos és határozta meg a következő egyenlőség:

∀x,y∈E⟨nál nél(x),y⟩=⟨x,nál nél∗(y)⟩.{\ displaystyle \ forall x, y \ E \ quad \ langle a (x), y \ rangle = \ langle x, a ^ {*} (y) \ rangle.}

A járulékukkal egyenlő (ill. Szemben álló) entomorfizmusokról azt mondják, hogy hermiták vagy önmaga társai (ill. Antihermiták vagy önellenes társak).

A féllináris - tehát ℝ-lineáris - L ( E ) → L ( E ) térkép , a ↦ a * nemcsak bijektív (félizomorfizmus), hanem invutív (( a *) * = a ). Az ℝ-vektor térnek tekintett L ( E ) -ben tehát a hermetikus endomorfizmusok ℝ -területéhez viszonyított szimmetria , a további antihermitákhoz viszonyítva.

A tenzor szorzat , különösen az L ( E ) ≃ E * ⊗ E hermita skaláris szorzatát az euklideszi esethez hasonlóan határozzuk meg. Azt kapjuk

⟨nál nél,b⟩=Tr(nál nél∘b∗).{\ displaystyle \ langle a, b \ rangle = \ mathrm {Tr} (a \ circ b ^ {*}).}

Az a ↦ a * félig lineáris szimmetria megőrzi a kapcsolódó normát, ezért a társított euklideszi skaláris Re (〈⋅, ⋅〉) szorzatot is (vö. § „Definíciók” ).

Példák

• Megvan ( i a ) * = - i ( a *). Ha a remete , akkor i a antihermita.
• Ha A jelentése a mátrix egy képest egy ortonormáiis bázis, hogy a kísérő a segédanyag mátrix A *.
• Amikor az endomorfizmusokat rögzített ortonormális alapon mátrixok képviselik , akkor az M n (ℂ) -en találjuk meg a kanonikus hermita szorzatot .

Euklideszi tér, remete tér

• Legyen E egy remete tér. A valódi E ℝ vektortér , amelyet a skalárok  (en) korlátozásával vonnak le belőle, természetesen egy euklideszi skaláris szorzattal ruházzák fel ⋅, ⋅〉ℝ = Re (〈⋅, ⋅〉). Ha B = ( e 1 ,…, e n ) E alapja, és ha i a képzeletbeli egységet jelöli , akkor B ℝ = ( e 1 ,…, e n , i e 1 ,…, i e n ) egy E ℝ alapja , ami tehát 2 n dimenziójú . Sőt, ha B ortonormális a 〈⋅, ⋅〉 esetében, akkor B ℝ ortonormális a 〈⋅, ⋅〉ℝ esetében .
• Megfordítva, legyen F legyen egy euklideszi térben a dimenzió n , lehetséges, hogy ne merítse F egy Hermite terében dimenzió n  : a complexified F ℂ  : = ℂ⊗ F a F , felruházva a Hermite-skaláris kapott termék tensorizing , hogy a ℂ az F euklideszi skaláris szorzata  :∀λ⊗x,μ⊗y∈FVS⟨λ⊗x,μ⊗y⟩FVS=λμ¯⟨x,y⟩F.{\ displaystyle \ forall \ lambda \ otimes x, \ mu \ otimes y \ in F _ {\ mathbb {C}} \ quad \ langle \ lambda \ otimes x, \ mu \ otimes y \ rangle _ {F _ {\ mathbb {C}}} = \ lambda {\ overline {\ mu}} \ langle x, y \ rangle _ {F}.}Ha ( f 1 , ..., f n ) az F ortonormális alapja, akkor (1⊗ f 1 ,…, 1⊗ f n ) az F or ortonormális alapja . Gyakori az f i és 1⊗ f i vektorok azonosítása .

Ez a két konstrukció a prehilberti dimenzióterek kereteire terjed ki, amelyek nem feltétlenül végesek.

Megjegyzések

1. A két egyezmény (bal és jobb) együtt létezik. Ez a cikk megfelelő egyezményt hoz; az összetett szeszkvilináris forma és a polarizáció azonossága című cikkek a baloldalnak kedveznek.
2. Az itt bemutatott módszert gyakran alkalmazzák, amikor egy mű szerzője formálisan szigorú kíván lenni. A fizika felé orientált formalizációt C. Semay és B. Silvestre-Brac, Introduction au calcul tensoriel, application à la physique , Dunod, 2007 ( ISBN  978-2-10-050552-4 ) ismerteti .

Lásd is

Külső linkek

• Az ℂ n fölötti pont szorzat , a Gram-Schmidt-módszer, a hermetikus mátrixok, az egységes és az átlósítás Véronique Hussin és Alina Stancu, a Montreali Egyetem részéről
• Remete terek , C. Antonini et al. , 2001, a les-mathematiques.net oldalon

Bibliográfia

Serge Lang , Algebra [ a kiadások részlete ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">