Négyzetgyök

Négyzetgyök függvény A négyzetgyök függvény görbéje .

Értékelés	${\ displaystyle {\ sqrt {x}}}$
Kölcsönös	$x ^ 2$
Derivált	${\ displaystyle {1 \ 2 felett {\ sqrt {x}}}}$
Primitívek	${\ displaystyle {2 \ over 3} x ^ {3 \ over 2} + C}$

Fő jellemzők

Definíciókészlet	${\ displaystyle \ left [0, + \ infty \ right [}$
Képkészlet	${\ displaystyle \ left [0, + \ infty \ right [}$

Különleges értékek

Nulla érték	0
Korlátozás a + ∞ mezőben	$+ \ infty$
Minimális	0

Sajátosságok

Nullák	0
Rögzített pontok	0 és 1

Az elemi matematika , a négyzetgyök egy pozitív valós szám $x$ az egyedi pozitív valós, amelyek ha szorozva önmagában ad $x$ , vagyis a pozitív szám, amelynek négyzet van egyenlő az $x$ . Jelöljük: $\sqrt x$ vagy $x 1/2$ . Ebben a kifejezésben $x-$ et radicand-nak , a jelet pedig radical-nek nevezzük . A függvényt, amely négyzetgyökét bármilyen pozitív valóshoz társítja, négyzetgyök függvénynek nevezzük . ${\ displaystyle {\ sqrt {\ quad}}}$

Az algebra és analízis , egy gyűrű , vagy egy mezőt $egy$ , hívjuk a négyzetgyöke az $egy$ , minden eleme $egy$ , amelynek négyzete egyenlő $a$ . Például a területén komplexek ℂ, azt fogja mondani az $i$ (vagy $- i$ ), hogy ez egy négyzetgyöke $- 1$ . Jellegétől függően a gyűrű, és az értéke $egy$ találunk 0, 1, 2 vagy több, mint 2 négyzetgyökei $egy$ .

Egy szám négyzetgyökének megkeresése vagy a négyzetgyök kibontása sok algoritmust eredményez. A természetes szám négyzetgyökének jellege , amely nem egy egész szám négyzete, az irracionális számok létezésének első tudatossága . A negatív számok négyzetgyökeinek keresése komplex számok feltalálásához vezetett .

Történelem

A legrégebbi ismert négyzetgyökér Kr.e. 1700 körül jelenik meg . AD az YBC 7289 tablettán . Ez egy olyan négyzet ábrázolása, amelynek egyik oldalán a 30 szám és az átló mentén hozzávetőleges értéke √ 2 .

A négyzetgyök geometriai felépítése

A következő geometriai építési végezzük egy vonalzóval , és egy iránytű , és lehetővé teszi, adott szegmens OB hosszúságú $egy$ , és egy szegmens hosszúsága 1, építésére egy szegmensét hosszúságú $\sqrt egy$ :

Szerkessze meg az $1 +$ $a$ hosszúságú [AB] szakaszt , amely tartalmazza az O pontot AO = 1 értékkel
Construct a kör $c$ az átmérő [AB].
Szerkessze meg a (OB) merőleges és O-n áthaladó $d$ egyeneset
Nevezze meg H a $c$ kör és a $d$ metszéspontját .

Az [OH] szakasz hossza $\sqrt a$ .

A bizonyítás abból áll, hogy észrevesszük, hogy az OAH és az OHB háromszögek hasonlóak , ahonnan arra következtetünk, hogy $OH 2 = AO \times OB = a$ , és ezért $OH = \sqrt a$ .

Ennek a konstrukciónak van jelentősége a konstruálható számok tanulmányozásában .

Tényleges funkció

A térkép egy bijekciót származó ℝ + on ℝ + akinek ellenkezője jegyezni . Ezt a függvényt négyzetgyökfüggvénynek hívjuk . Geometriailag, azt mondhatjuk, hogy a négyzetgyöke a területet a tér az euklideszi síkon a hossza az egyik oldala. $x \ mapsto x ^ {2}$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ sqrt {x}}}$

Figyelem: a területet az univerzális rendszer négyzetméterben, a hosszúság méterben fejezi ki. Ha egy négyzetméterben kifejezett mennyiség négyzetgyökét vesszük, akkor méterben kifejezett mennyiséget kapunk. A fizikusok különös jelentőséget tulajdonítanak az egységek elemzésének; ezt a szempontot kitörlik a matematikában. A valós számok egység nélküli állandók, a pozitív valós szám négyzetgyöke pedig pozitív valós szám.

A négyzetgyök függvény ellenőrzi a következő alapvető tulajdonságokat, amelyek érvényesek az összes pozitív x és y valós számra :

{\ displaystyle {\ sqrt {x}} = x ^ {\ frac {1} {2}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {x \ times y}} = {\ sqrt {x}} \ times {\ sqrt {y}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {x} {y}}} = {\ frac {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}}}}

(

y > 0

feltétel mellett )

{\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2}}} = | x |}

Szigorúan növekszik , mivel a ℝ + -ra növekvő bijekció reciprokja .
Ő az $1 / 2$ -Höldérienne tehát egységesen folytonos .
Ez differenciálható minden szigorúan pozitív valós $x$ , de nem differenciálható $x = 0$ . Ezen a ponton a reprezentatív görbe függőleges fél tangentust enged meg . A derivált függvény adja meg: ${\ frac {{\ mathrm d}} {{\ mathrm d} x}} {\ sqrt {x}} = {1 \ 2 felett {\ sqrt {x}}}$ .
Ez az osztály $C \infty$ on ℝ + *: ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} {\ sqrt {x}} = {(-1)} ^ {n + 1} {(2n)! \ over n! 2 ^ {2n} (2n-1)} {\ frac {1} {x ^ {n-1/2}}}.}$
A Taylor-sorozatban az 1. pontban történő fejlődése tehát bármely valós $h$ számra olyan, hogy | $h$ | ≤ 1: ${\ sqrt {1-h}} = 1- \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} a_ {n} h ^ {n} {\ text {}} a_ {n} = {( 2n)! \ over (n!) ^ {2} 2 ^ {{2n}} (2n-1)}> 0,$ A normál konvergencia a [-1, 1] (lásd a § „Development integer sorozat” a cikk „Gyökér számos” ). Az együtthatók fejezzük hányadosként katalán számok által hatásköre 2 : $a_ {n} = {\ frac {C _ {{n-1}}} {2 ^ {{2n-1}}}}.$ Az első értékek $a_ {1} = {\ frac 12}, a_ {2} = {\ frac 18}, a_ {3} = {\ frac 1 {16}}, a_ {4} = {\ frac 5 {128}}.$

Szögletes gyökér kivonása

A pozitív szám négyzetgyökének kiszámítása nem mindig egyszerű, különösen nagy számok esetén. Így a történelem során számos algoritmust fejlesztettek ki ennek a számnak a megszerzésére. A négyzetgyökű extrakciós módszerek közül megemlíthetjük különösen a Heron-módszert , amely egy olyan történelmi módszer, amely modern szempontból Newton-módszerének speciális eseteként tekinthető . Más módszerek szomszédos szekvenciákon , folyamatos frakciókon vagy a dichotómia elvén alapulnak .

Különleges négyzetgyökerek

Arany szám

Ha p egy szigorúan pozitív valós szám ,

{\ displaystyle {\ sqrt {p + {\ sqrt {p + {\ sqrt {p + {\ sqrt {p + \ cdots}}}}}}}}}} = {\ frac {1 + {\ sqrt {4p + 1}}} {2}}}

A p = 1, megkapjuk a arany arány :

\ varphi = {\ sqrt {1 + {\ sqrt {1 + {\ sqrt {1 + {\ sqrt {1+ \ cdots}}}}}}}}}}

1-nél nagyobb egész számok négyzetgyökként

Ramanujan a következő képleteket fedezte fel:

{\ displaystyle {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {1 + 3 {\ sqrt {1+ \ dots}}}}}}} = 3}

és .

{\ displaystyle {\ sqrt {6 + 2 {\ sqrt {7 + 3 {\ sqrt {8+ \ dots}}}}}}} = 4}

Ezek a formulák általánosított, ami különösen bármely valós : $n \ geq 0$

{\ displaystyle n + 2 = {\ sqrt {1+ (n + 1) {\ sqrt {1+ (n + 2) {\ sqrt {1+ (n + 3) {\ sqrt {\ dots}}}} }}}}}

és .

{\ displaystyle n + 3 = {\ sqrt {n + 5 + (n + 1) {\ sqrt {n + 6 + (n + 2) {\ sqrt {n + 7 + \ pontok}}}}}}}

Pi

A π számot a négyzetgyök végtelen iterációjaként fejezzük ki:

\ pi = \ lim _ {{k \ to \ infty}} \ balra (2 ^ {{k}} \ cdot {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + \ cdots {\ sqrt {2 + {\ sqrt 2}}}}}}}}}}}}} \ jobbra)

, ahol k a beágyazott négyzetgyökök száma

Vagy:

\ pi = \ lim _ {{k \ to \ infty}} \ balra (3 \ cdot 2 ^ {{k-1}} \ cdot {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2+ {\ sqrt {2+ \ cdots {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt 3}}}}}}}}}}}}}}}} jobbra)

(olyan képletek, amelyeket közvetlen trigonometrikus számítások mutatnak be: például az első jobb oldali kifejezése érdemes ). $2 ^ {k} \ sin (\ pi / 2 ^ {k})$

Általános algebrai koncepció

A négyzetgyök algebrai meghatározása

Legyen $x$ , és $egy lehet$ két eleme egy gyűrű $Egy$ , úgy, hogy $x 2 = a$ . Az elem $X$ ezután négyzetgyöke $egy$ . A $\sqrt a$ jelölést ennek ellenére gyakran nem ajánljuk, mert több ilyen elem lehet $x$ .

Általában (ha a gyűrű nem integrál, vagy ha nem kommutatív), egy elemnek kettőnél több négyzetgyöke lehet. Például a gyűrű ℤ / 9ℤ , a tér gyökerei 0 olyan 0 , 3 és - 3 , és a bal oldali mező a négyes , minden szigorúan negatív valós végtelenített négyzetes gyökerek.

Abban az esetben, valós számok, egy szerző beszélt a négyzetgyök 2, foglalkozik a két elem √ 2 vagy - √ 2 . Másrészt, a kifejezés a négyzetgyök kettő mindig idézi pozitív megoldás. Mivel a kifejezés √ 2 mindig pozitív, és a rövid gyökér függvény definiált pozitív valós számok mindig jelöli a pozitív érték azt Mindezek elkerülése érdekében a kissé elemi tanításai matematika csak kihasználva a kifejezést: a négyzetgyök, akkor mindig pozitív.

Komplex számok négyzetgyökei

A ℝ feletti négyzetgyököt csak a pozitív számokhoz adjuk meg. A polinomegyenletek hatékony megoldásában egy negatív szám formális négyzetgyökének bevezetése a közbenső számításokba pontos eredményeket ad. Így vezették be a komplex számok mezőjét

Bármely zérustól eltérő $z = a + i b$ komplex számra ( $a$ és $b$ valós értékekkel) pontosan két $w$ komplex szám van, így $w 2 = z$ . Szemben állnak egymással.

Ha $b$ nem nulla, akkor ezeket adja meg: ${\ displaystyle w = \ pm \ left ({\ sqrt {\ frac {{\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} + a} {2}}} + \ mathrm {i} \ \ operátor neve {sign} (b) {\ sqrt {\ frac {{\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} - a} {2}}} \ right)}$ ,
a . ${\ displaystyle \ kezelőnév {jel} (b) = {\ frac {b} {| b |}}}$
Ha $b$ értéke nulla és $a$ negatív, ez a képlet a következőkre egyszerűsödik: ${\ displaystyle w = \ pm \ mathrm {i} {\ sqrt {| a |}}}$ .
Másrészt, ha $z$ nem negatív valós ( azaz, ha $b$ értéke nem nulla, vagy ha $a$ pozitív), ${\ displaystyle w = \ pm {\ frac {z + | z |} {\ sqrt {2 (a + | z |)}}}}}$ .

Z

=

a

+ i

b

komplex szám

w

négyzetgyökének kiszámításának módszere

Ahhoz, hogy $w = x + i y$ olyat találjunk , hogy $w 2 = a + i b$ , a következő rendszert állítjuk be:

{\ elején {esetek} w ^ {2} = z \\ | w | ^ {2} = | z | \ vége {esetek}}

{\ displaystyle {\ begin {esetben} (x + \ mathrm {i} y) ^ {2} = a + \ mathrm {i} b \\ x ^ {2} + y ^ {2} = {\ sqrt { a ^ {2} + b ^ {2}}} \ end {esetek}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x ^ {2} -y ^ {2} + \ mathrm {i} 2xy = a + \ mathrm {i} b \\ x ^ {2} + y ^ {2} = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ end {eset}}}

A valós és képzelt rész azonosításával megkapjuk:

{\ displaystyle {\ begin {cases} x ^ {2} -y ^ {2} = a \\ 2xy = b \\ x ^ {2} + y ^ {2} = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}. \ end {esetek}}}

Ezután az első és a harmadik egyenlet összeadásával és kivonásával levezetjük $x 2$ és $y 2$ értékét. A jel a termék $xy$ az, hogy a $b$ , így az első kifejezés a két pár megoldás $x$ és $y$ .

De ennek a rendszernek egy kevésbé hagyományos megoldási módja az, hogy először meg kell tenni az első és a harmadik egyenlet összegét:

{\ displaystyle 2x = \ pm {\ sqrt {2 (a + | z |)}}}

amely ha z nem negatív valós, az utolsó képlethez vezet.

Példa:

A két négyzetgyökei $i$ vannak

1 + i / \sqrt 2

= ≈

0,707 + 0,707 i

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ frac {\ mathrm {i} \ pi} {4}} = \ cos {\ frac {\ pi} {4}} + \ mathrm {i} \ sin {\ frac {\ pi} {4}}}

és ennek ellentéte.

A topológiai okokból, lehetetlen, hogy meghosszabbítja a négyzetgyök függvény, a ℝ + be ℝ + , egy folytonos függvény ellenőrzése $f$ $($ $Z$ $)$ $2$ $=$ $z$ . ${\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}}$

A négyzetgyök meghatározását continuous nyitott U- ján bármilyen folyamatos függvénynek kielégítőnek nevezzük . ${\ displaystyle f: U \ rightarrow \ mathbb {C}}$ $f (z) ^ {2} = z$

A fő meghatározása négyzetgyökével a funkciója a ℂ a ℂ így meghatározott: ha Z van írva trigonometrikus formában $z = r e i φ$ a $-π < φ \leq az ¸$ , akkor sor $f ( Z ) = \sqrt r e i φ / 2$ . Ez az alapmeghatározás nem folytonos a szigorúan negatív valósok félegyenesének egyetlen pontján sem, és komplementerében holomorf.

Amikor a szám algebrai formában van, $z = a + i b$ , ez a meghatározás a következőket jelenti:

{\ displaystyle f (a + ib) = {\ sqrt {\ frac {\ left | a + \ mathrm {i} b \ right | + a} {2}}} \ pm \ mathrm {i} {\ sqrt { \ frac {\ left | a + \ mathrm {i} b \ right | -a} {2}}}}

ahol a gyök képzeletbeli részének jele van

ha $b \neq 0$ : $b$ jele
ha $b = 0$ és $a <0$ : a + jel
ha $b = 0$ és $a \geq 0$ : nincs előjel (a szám nulla).

Megjegyezzük, hogy a négyzetgyök komplex síkban történő elsődleges meghatározásának folytonossága miatt a kapcsolat általában hamissá válik . ${\ displaystyle {\ sqrt {zz '}} = {\ sqrt {z}} {\ sqrt {z'}}}$

Mátrixok és operátorok négyzetgyöke

Ha A jelentése egy pozitív önadjungált mátrix , vagy egy önadjungált operátor pozitív dimenziója véges, akkor van pontosan a pozitív önadjungált mátrix vagy pozitív önadjungált operátor B úgy, hogy a B 2 = A . Ekkor felmerül: $\sqrt A$ = B .

Általánosabban, hogy minden normális mátrix vagy normális üzemben véges dimenzióban A , léteznek normál üzemeltetők B úgy, hogy a B 2 = A . Ez a tulajdonság általánosítja a Hilbert-tér bármely normál korlátozott operátorát .

Általában mindegyik A-hez több ilyen B operátor létezik, és a négyzetgyök függvény nem határozható meg kielégítő módon a normál operátorok számára (például folyamatos). A pozitív operátorok a pozitív valós számokkal, a normál operátorok a komplex számokkal vannak összefüggésben. Az operátorelméletről szóló cikkek tovább fejlesztik ezeket a szempontokat.

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia " Négyzetgyök " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

Mistral Collection, Matematika 3 th , 1985, p. 20
Elemi bizonyítékért lásd például a "Négyzetgyök függvény" részt a Wikiverzióban .
Egy demonstráció, lásd például a következő fejezetet: „A szokásos származékai” leckét „Származtatott funkció” on Wikiversity .
A megoldás az egyenlet a harmadik fokozat , Kardántengely módszert alkalmazzák és hivatalosan ad valós eredményt, ha elfogadjuk, hogy vezessenek be bizonyos esetekben „képzeletbeli” négyzetgyökei negatív valós számok. További részletekért lásd a komplex számok előzményeit , valamint Bombelli eredményeinek leírását .
Suite A010503 A OEIS-ben .
A " Riemann felület " című cikkben találni azonban módot ennek a nehézségnek a megkerülésére.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Külső hivatkozás

(hu) szekvenciák vonatkozó négyzetgyöke az online enciklopédia szekvenciák egészek (többek között: tizedes kiterjedései négyzetgyökei egészek 2-99)

Bibliográfia

(en) David Eugene Smith , Matematikatörténet , vol. 2
(in) George Gheverghese József címer a páva: A nem-európai gyökerei matematika , 2 th ed. Penguin Books , London, 2000 ( ISBN 0-691-00659-8 ) 3 e . kibővítve : Princeton University Press , 2010 ( ISBN 978-0-691-13526-7 )
en) PAJ Lewis, alapvető matematika , Ratna-Sagar,2008, 440 p. ( ISBN 978-81-8332-367-3 , online olvasás ) , fejezet. 3 ("irracionális számok") (ez a fejezet a címe ellenére négyzetgyökről szól)
(en) AV Vijaya, a matematika kitalálása , Dorling Kindersley ,2007( ISBN 978-81-317-0359-5 , online olvasás ) , p. 15