Primitív
A matematika , a primitív egy valós függvény (vagy Holomorf ) f egy függvény F , amely F van származik :
. Ez tehát a bypass művelet előzménye .
F′=f{\ displaystyle F '= f}
Az antidivatív meghatározását először a folyamatos függvények integráljainak kiszámítására használják egy szegmensen, az elemzés alapvető tételének alkalmazásával .
∫nál nélbf(x)dx=F(b)-F(nál nél){\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \; \ mathrm {d} x = F (b) -F (a)}
Számos számítási módszer lehetővé teszi a primitív kifejezést a szokásos függvények bizonyos kombinációihoz, de a probléma általános kezelése két lényeges okból különbözik a származék számításától.
- A primitívnek nincs különlegessége egy adott függvény számára, ezért nincs formális jelölés (még akkor sem, ha egy kisbetűvel jegyzett függvény esetében egy primitívet gyakran társítanak a hozzá tartozó nagybetűvel).
- Bármi legyen is a megszokott függvények véges halmaza, amelyet az ember ad magának, e funkciók bizonyos kombinációi nem engednek meg olyan primitívet, amelyet a szokásos függvények kombinációjaként lehet kifejezni. A primitív kifejezés létezésének pontos feltételeit Liouville tétele határozza meg .
Bármely valós funkció egy intervallum alatt folytatódik , vagy akár darabonként is folytatódik , elismeri egy primitív. Másrészt, egy Holomorf funkciót egy nyitott a elismeri egy primitív, ha annak görbe vonalú szerves bármely perdület nulla (például, ha a nyitott a definíció egyszerűen csatlakoztatva szerint a szerves tétele Cauchy ).
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
Számítási módszerek
Forma
Az itt feltüntetett primitívek mindegyike lehetővé teszi az összes többi primitív meghatározását konstansok hozzáadásával (esetleg különböznek a domén egyik összekapcsolt komponensétől a másikig).
Elemi primitívek
f(x){\ displaystyle f (x)}
|
Df{\ displaystyle D_ {f}}
|
F(x){\ displaystyle F (x)}
|
---|
nál nél{\ displaystyle a}
|
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
|
nál nélx{\ displaystyle ax}
|
1/x{\ displaystyle 1 / x}
|
R∗{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}
|
ln|x|{\ displaystyle \ ln | x |}
|
xnál nél{\ displaystyle x ^ {a}} (a )
nál nél≠-1{\ displaystyle a \ neq -1} |
R ha nál nél∈NEM{\ displaystyle \ mathbb {R} {\ text {si}} a \ in \ mathbb {N}}, , R∗ ha nál nél∈Z∖NEM{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*} {\ text {si}} a \ in \ mathbb {Z} \ setminus \ mathbb {N}} R+∗ ha nem{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} {\ text {egyébként}}}
|
xnál nél+1nál nél+1{\ displaystyle {\ frac {x ^ {a + 1}} {a + 1}}}
|
nál nélx{\ displaystyle a ^ {x}} (a , -val )
nál nél>0{\ displaystyle a> 0}nál nél≠1{\ displaystyle a \ neq 1} |
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
|
nál nélxlnnál nél{\ displaystyle {\ frac {a ^ {x}} {\ ln a}}}
|
ln(x){\ displaystyle \ ln (x)}
|
R+∗{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}
|
x(ln(x)-1){\ displaystyle x (\ ln (x) -1)}
|
Különösen az exponenciális függvény önmagában primitív. Ez a táblázat a primitívek az inverz hatalmi funkciók a szabály , a négyzetgyök par , és általában a magasabb rendű gyökerek par .
1xnem=x-nem{\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {n}}} = x ^ {- n}}x=x1/2{\ displaystyle {\ sqrt {x}} = x ^ {1/2}}xnem=x1/nem{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} = x ^ {1 / n}}
Trimonometrikus funkciójú primitívek
f(x){\ displaystyle f (x)}
|
Df{\ displaystyle D_ {f}}
|
F(x){\ displaystyle F (x)}
|
---|
kötözősaláta(x){\ displaystyle \ cos (x)}
|
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
|
bűn(x){\ displaystyle \ sin (x)}
|
bűn(x){\ displaystyle \ sin (x)}
|
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
|
-kötözősaláta(x){\ displaystyle - \ cos (x)}
|
1kötözősaláta2x{\ displaystyle {\ frac {1} {\ cos ^ {2} x}}}
|
R∖{π2+kπ∣k∈Z}{\ displaystyle \ mathbb {R} \ hátsó perjel \ bal \ {{\ tfrac {\ pi} {2}} + k \ pi \ közép k \ in \ mathbb {Z} \ jobb \}}
|
Cserx{\ displaystyle \ tan x}
|
-1bűn2x{\ displaystyle - {\ frac {1} {\ sin ^ {2} x}}}
|
R∖{kπ∣k∈Z}{\ displaystyle \ mathbb {R} \ hátsó perjel \ bal \ {k \ pi \ mid k \ in \ mathbb {Z} \ jobb \}}
|
költségx{\ displaystyle \ cot x}
|
Cserx{\ displaystyle \ tan x}
|
R∖{π2+kπ∣k∈Z}{\ displaystyle \ mathbb {R} \ hátsó perjel \ bal \ {{\ tfrac {\ pi} {2}} + k \ pi \ közép k \ in \ mathbb {Z} \ jobb \}}
|
-ln|kötözősalátax|{\ displaystyle - \ ln | \ cos x |}
|
költségx{\ displaystyle \ cot x}
|
R∖{kπ∣k∈Z}{\ displaystyle \ mathbb {R} \ hátsó perjel \ bal \ {k \ pi \ mid k \ in \ mathbb {Z} \ jobb \}}
|
ln|bűnx|{\ displaystyle \ ln | \ sin x |}
|
11-x2{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
|
]-1,1[{\ displaystyle \ bal] -1.1 \ jobb [}
|
arcsinx{\ displaystyle \ arcsin x}
|
11+x2{\ displaystyle {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}
|
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
|
arctanx{\ displaystyle \ arctan x}
|
Hiperbolikus funkciójú primitívek
f(x){\ displaystyle f (x)}
|
Df{\ displaystyle D_ {f}}
|
F(x){\ displaystyle F (x)}
|
---|
chx{\ displaystyle \ operátornév {ch} x}
|
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
|
SHx{\ displaystyle \ kezelőnév {sh} x}
|
SHx{\ displaystyle \ kezelőnév {sh} x}
|
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
|
chx{\ displaystyle \ operátornév {ch} x}
|
1ch2x{\ displaystyle {\ frac {1} {\ operátornév {ch} ^ {2} x}}}
|
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
|
thx{\ displaystyle \ kezelőnév {th} x}
|
1SH2x{\ displaystyle {\ frac {1} {\ kezelőnév {sh} ^ {2} x}}}
|
R∗{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}
|
-cothx{\ displaystyle - \ operátornév {coth} x}
|
1x2+1{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {x ^ {2} +1}}}}
|
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
|
argshx{\ displaystyle \ kezelőnév {argsh} x}
|
1x2-1{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}
|
R∖[-1,1]{\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ bal [-1,1 \ jobb]}
|
ln|x+x2-1|{\ displaystyle \ kezelőnév {ln} \ bal \ vert x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ jobb \ vert}
|
11-x2{\ displaystyle {\ frac {1} {1-x ^ {2}}}}
|
R∖{-1,1}{\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {- 1,1 \}}
|
ln|x-1|-ln|x+1|2{\ displaystyle {\ frac {\ ln \ left \ vert x-1 \ right \ vert - \ ln \ left \ vert x + 1 \ right \ vert} {2}}}
|
Kombinációk
A származtatási forma lehetővé teszi a primitívek kifejezésének megszerzését a szokásos függvények származékainak összes lineáris kombinációjára , különösen egy kibővített formájú polinomra . Például a polinom primitívje az .
:x↦3x+x2{\ displaystyle: x \ mapsto 3x + x ^ {2}}x↦32x2+13x3{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {3} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {3}} x ^ {3}}
A racionális frakcióhoz lehetséges antidivatívum megszerzése egyszerű elemekre bontása révén , de ez a nevező faktorizációjára támaszkodik , amely általában nem egyértelmű.
A készítmény a jobb oldalon egy lineáris függvény meghosszabbíthatja ezt az űrlapot: ha F egy primitív a F , és ha egy és b két valós és egy ≠ 0 , akkor a függvény elismeri primitív . Különösen periodikus jelprimitíveket kapunk, amelyek például az RLC áramkörben jelennek meg :
x↦f(nál nélx+b){\ displaystyle x \ mapsto f (ax + b)}x↦1nál nélF(nál nélx+b){\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {a}} F (ax + b)}
Szinuszos jel primitívek
f(x){\ displaystyle f (x)}
|
Df{\ displaystyle D_ {f}}
|
F(x){\ displaystyle F (x)}
|
---|
kötözősaláta(ωx+φ){\ displaystyle \ cos (\ omega x + \ varphi)}
|
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
|
1ωbűn(ωx+φ)+VS{\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega}} \ sin (\ omega x + \ varphi) + C}
|
bűn(ωx+φ){\ displaystyle \ sin (\ omega x + \ varphi)}
|
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
|
-1ωkötözősaláta(ωx+φ)+VS{\ displaystyle - {\ frac {1} {\ omega}} \ cos (\ omega x + \ varphi) + C}
|
Általánosságban elmondható, hogy ha u levezethető függvény, akkor a fenti táblázatokban szereplő primitívek összesített baloldali része a primitív keresésben standard formákat biztosít, mint az alábbi táblázat.
Primitívek a referencia alakzatokhoz
f(x){\ displaystyle f (x)}
|
F(x){\ displaystyle F (x)}
|
---|
(unál nél)×u′{\ displaystyle (u ^ {a}) \ szor u ^ {\ prime}}
|
unál nél+1nál nél+1{\ displaystyle {\ frac {u ^ {a + 1}} {a + 1}}}
|
u′u{\ displaystyle {\ frac {u ^ {\ prime}} {u}}}
|
ln|u|{\ displaystyle \ ln {| u |}}
|
eu×u′{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {u} \ szor u ^ {\ prime}}
|
eu{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {u}}
|
(bűnu)×u′{\ displaystyle (\ sin u) \ alkalommal u ^ {\ prime}}
|
-kötözősalátau{\ displaystyle - \ cos u}
|
(kötözősalátau)×u′{\ displaystyle (\ cos u) \ szorozva u ^ {\ prime}}
|
bűnu{\ displaystyle \ sin u}
|
Integráció
Az integrációs módszerek lehetővé teszik további primitívek megszerzését, különösen a változó megváltoztatásával vagy a részek általi integrációval . Így könnyen megtalálhatjuk a logaritmus vagy az ívtangens függvények antidivatívumait.
∫1xln(t)dt=[tln(t)]1x-∫1xttdt=xln(x)-(x-1){\ displaystyle \ int _ {1} ^ {x} \ ln (t) \ mathrm {d} t = \ bal [t \ ln (t) \ jobb] _ {1} ^ {x} - \ int _ { 1} ^ {x} {\ frac {t} {t}} \ mathrm {d} t = x \ ln (x) - (x-1)}
∫0xarctan(t)dt=[tarctan(t)]0x-∫0xt1+t2dt=xarctan(x)-[12ln(1+t2)]0x=xarctan(x)-ln(1+x2)2{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} \ arctan (t) \ mathrm {d} t = \ left [t \ arctan (t) \ right] _ {0} ^ {x} - \ int _ { 0} ^ {x} {\ frac {t} {1 + t ^ {2}}} \ mathrm {d} t = x \ arctan (x) - \ left [{\ frac {1} {2}} \ ln (1 + t ^ {2}) \ right] _ {0} ^ {x} = x \ arctan (x) - {\ frac {\ ln (1 + x ^ {2})} {2}}}
Hasonlóképpen, a Bioche szabályai lehetővé teszik a trigonometrikus polinomok hányadosának antiantivatív meghatározását.
Használ
A primitívek lehetővé teszik az integrálok kiszámítását az elemzés alaptétele alapján : ha F egy valós intervallumon definiált f függvény antiantivatívuma , akkor az f függvény integrálható ezen az intervallumon .
[nál nél,b]{\ displaystyle [a, b]}∫nál nélbf(x)dx=F(b)-F(nál nél){\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x = F (b) -F (a)}
Ez az egyenlőség biztosítja a következő egyenértékűséget: egy valós intervallum alatt meghatározott és folytonos függvény akkor és csak akkor integrálható, ha primitívjei véges határértékeket engednek meg az intervallum határain.
Bizonyos differenciálegyenletek felbontása a primitívek meghatározásán alapul. Például, hogy egy első sorrendű egyenlet megoldható formában , illetve adja meg az F primitív , azt érjük el, hogy a funkciók oldatai formájában , amely egy részleges kölcsönös az F .
y′=g(y){\ displaystyle y '= g (y)}1g{\ displaystyle {\ frac {1} {g}}}x↦F-1(x+VS){\ displaystyle x \ mapsto F ^ {- 1} (x + C)}F-1{\ displaystyle F ^ {- 1}}
Egy igazi véletlen sűrűsége változó , a eloszlásfüggvény egy primitív a sűrűségfüggvény.
Automatikus számítás
Az olyan szoftverek, mint a Maxima , a SageMath , a Maple vagy a Mathematica évek óta lehetővé teszik bizonyos primitívek interaktív kiszámítását szimbolikus formában. Az első szoftver, amely szimbolikus formában hajtotta végre a számítógéppel segített integrációt, a FORMAC nyelv volt , amelyet a fizikusok használtak az 1970-es években .
Általában azonban nem lehet az elemi függvények primitívjeit (például a függvényét ) csak az elemi függvényekkel kifejezni (ezért szükség van olyan " speciális funkciók " bevezetésére , mint a függvény integrál logaritmus , li); Egy explicit "elemi" primitív létezésének pontos feltételeit Liouville tétele adja meg, sőt az ilyen primitívek keresését teljesen automatizálni lehet Risch algoritmusának köszönhetően .
x↦1/lnx{\ displaystyle x \ mapsto 1 / \ ln x}
Általánosított primitív
A generalizált primitív egy térkép f : I → E , ahol én egy igazi intervallum és E egy normalizált vektortér , egy folyamatos térkép F : I → E olyan, hogy a komplement egy megszámlálható halmaz , F „= f .
Például, ha F a nullfüggvény és f a valós számok D megszámlálható halmazának indikátorfüggvénye , akkor F általánosított antidivatív f, mivel minden valós x ∉ D esetén F ' ( x ) = 0 = f ( x ) .
Ha az F függvény az f függvény általánosított primitívje, akkor:
Az első alapvető tétel az elemzés biztosít részleges fordítottja : ha f : I → ℝ van szabályozva (ezért lokálisan Riemann-integrálható ), a térkép F által meghatározott
F(x)=∫nál nélxf(t)dt{\ displaystyle F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, \ mathrm {d} t}(ahol a az I tetszőleges pontja ) az f általánosított primitívje .
Megjegyzések és hivatkozások
-
Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , All-in-one Matematika License 2 , Dunod ,2014, 2 nd ed. ( online olvasható ) , p. 605, def. 16.
-
(in) Robert G. Bartle (in) , Az integráció modern elmélete , AMS ,2001( online olvasható ) , p. 57, ezt a példát adja a Dirichlet függvény (a racionális számok indikátorfüggvényének) konkrét esetére .
-
Ramis, Warusfel és mtsai. 2014 , p. 605, prop. 92.
-
Különösen, ha f jelentése szakaszonként folytonos vagy szakaszonként monoton .
Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">