Komplett Kurzweil-Henstock

A matematikában , pontosabban elemzésben , a Kurzweil-Henstock vagy Henstock-Kurzweil integrált (vagy KH-integrált , vagy nyomtáv- integrált vagy teljes Riemann-integrált ) az 1950-es években önállóan fejlesztették ki Jaroslav Kurzweil és Ralph Henstock (in) annak érdekében, hogy bemutassa az integráció elméletét, amelyet a Riemann- integrálnál csak bonyolultabban lehet megmagyarázni , de legalább olyan erős, mint a Lebesgue-integrál . Ez egyenértékű az 1910-es évekbeli Denjoy vagy Perron integráljaival , amelyek előadása meglehetősen nehéz volt, és amelyek az 1940-es években használhatatlanná váltak.

A Lebesgue-integrálhoz képest a KH-integrál előnye, hogy bármely származtatott függvény integrálható, és hogy nem szükséges bevezetni a helytelen integrál fogalmát . Lehetővé teszi a felsőoktatás első éveitől egy olyan integrál bevezetését, amely hatalmas tételekkel van felruházva, és nagyon közel áll a Lebesgue-integrálhoz (amelyet később különleges esetként könnyű bevezetni).

Definíciók

Legyen $[ a , b ] legyen$ egy igazi szegmens . Az $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ bármely véges pontcsalád $($ $x$ $0$ $,$ $x$ $1$ $,\dots,$ $x$ $n$ $)$ és $($ $t$ $1$ $,$ $t$ $2$ $,\dots,$ $t$ $n$ $)$ jelölt (vagy pontozott) felosztását hívjuk úgy, hogy $a = x_ {0} <x_ {1} <... <x_ {n} = b \ quad {\ mbox {és}} \ quad \ forall i \ in \ {1, \ dots, n \}, ~ x _ {{i-1}} \ leqslant t_ {i} \ leqslant x_ {i}.$ Azt mondjuk, hogy $t i$ jelöli (vagy rámutat) a szegmensre $[ x i -1 , x i ]$ .
Ha $δ$ egy $[ a , b ]$ -en definiált függvény , szigorúan pozitív értékekkel, akkor azt mondjuk, hogy $δ$ egy szelvény (az $[ a , b ]$ -en ), és a felosztást $δ$ -finomnak mondjuk, ha

{\ displaystyle \ all i \ in \ {1, \ dots, n \}, ~ x_ {i} -x_ {i-1} \ leqslant \ delta (t_ {i}).}

Egy fontos tételt, Cousin lemmáját gyakran használják a KH-integráció elméletében; megerősíti, hogy a választott nyomtávtól függetlenül vannak ennél a nyomtávnál finomabb megjelölt alosztályok.

Egy függvény $f$ korlátos, vagy nem egy szegmens $[ a , b ]$ , valós vagy komplex értékek, van integrálható abban az értelemben, Kurzweil-Henstock (vagy KH-integrálható) , az integrál $A$ , ha: az összes $ε > 0$ , ott egy nyomtávú $δ$ olyan, hogy az összes jelölt egysége $(( x i ) ( t i ))$ $δ$ -Jól, van: . A szám $egy$ tehát egyedi, és az úgynevezett integráljával $F$ felett $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ . Ezután megjegyezzük
${\ displaystyle \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) f (t_ {i}) - A \ jobb | \ leqslant \ varepsilon}$ $\ int _ {a} ^ {b} f (t) {\ mathrm d} t.$
Az összeg az úgynevezett Riemann összege az $f$ tekintetében a megjelölt kiválasztott egysége. ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) f (t_ {i})}$

Észrevesszük, hogy ha állandó $δ$ mérőszámokat veszünk, akkor megtaláljuk a Riemann-integrál definícióját . A KH-integrál ezen állandó szelvények változó szelvényekkel való helyettesítését jelenti.

Abban az esetben, ha $az f$ van definiálva egy intervallum $I$ , amely nem egy szegmens, azt mondjuk, hogy $az f$ jelentése KH-integrálható beépített $A$ , ha minden $ε > 0$ , létezik egy szelvény $δ$ a $I$ és egy szegmens $[ a , b ]$ szerepel az $I-ben$ oly módon, hogy az $I-$ ben $szereplő$ és $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ -t tartalmazó szegmens bármely jelölt $(( x i ), ( t i ))$ $δ-$ fin felosztásához :
${\ displaystyle \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) f (t_ {i}) - A \ jobb | \ leqslant \ varepsilon.}$

Tulajdonságok

A KH-val integrálható függvények halmaza rendezett vektorteret (de) alkot, és az integrál pozitív lineáris forma ezen a téren.
Egy szegmensben bármely Riemann-integrálható funkció KH-integrálható (és ugyanúgy integrál).
A helytelen integrál fogalma haszontalan a KH-integrál szempontjából. Hake tétele szerint valóban :Egy függvény $f$ meghatározott Egy intervallumon $I = ( a , b )$ (nem feltétlenül korlátos, és nem feltétlenül tartalmaz $egy$ , sem $b$ ) a KH-integrálható fölött $I$ , ha, és csak akkor, ha több mint bármely szegmens $[ c , d ]$ tartalmazza $] a , b [$ és ha a határ létezik, és véges. Az $I$ feletti integrálja ekkor egyenlő ezzel a határértékkel. ${\ displaystyle \ lim _ {c \ to a ^ {+}, d \ to b ^ {-}} \ int _ {c} ^ {d} f (t) \, \ mathrm {d} t}$ Például (az előző pont felhasználásával) következtetünk:
- a $[0, 1]$ szakaszon az $x \mapsto 1 / \sqrt x függvény,$ ha $x \neq 0$ és $0 \mapsto 0$ (nem Riemann-integrálható, mert nincs korlátozva) KH-integrálható;
- be $] 0, + \infty [$ , az $x$ $\mapsto$ függvény $bűn x / x$ KH-val integrálható (integrál $π / 2$ : ez a Dirichlet-integrál ), abszolút értéke pedig nem.
Az elemzés második alapvető tételét a következőképpen fejezzük ki:Ha $F$ egy általánosított antiderivált a $F$ felett $[ a , b ]$ , akkor $F$ jelentése KH-integrálható és ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t = F (b) -F (a).}$
Az elemzés első alapvető tételét a következőképpen fejezzük ki:Ha $F$ jelentése KH-integrálható át $[ a , b ]$ , akkor a függvény a folytonos és majdnem mindenütt elismeri származéka egyenlő $f$ . ${\ displaystyle F: x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, \ mathrm {d} t}$ Ebből következik, hogy $az f$ jelentése Lebesgue - mérhető , mint a határérték szinte mindenütt a szekvencia folyamatos függvények $x \mapsto n ( F ( x + 1 / n ) - F ( X ))$ .
A függvény f jelentése Lebesgue-integrálható akkor és csak akkor, ha f és | f | KH-integrálhatók, és az f két integrálja (Lebesgue és Kurzweil-Henstock értelmében) ekkor egyenlő. Különösen a pozitív függvények esetében a Lebesgue-integrálhatóság és a KH-integrálhatóság egyenértékű. A ℝ része tehát Lebesgue-mérhető, és véges Lebesgue- mérték akkor és csak akkor, ha jellemző funkciója KH-integrálható. Például :
- a Dirichlet függvény (egyenlő 1-vel a racionálisakon és 0-val az irracionálisakon , és amely nem lokálisan Riemann-integrálható) Lebesgue-integrálható és ezért KH-integrálható (nulla integrállal).
- ha V egy nem mérhető részét a $[0, 1]$ , karakterisztikus függvénye $1 V$ , pozitív és nem Lebesgue-mérhető, nem KH-integrálható (tehát $1 V - 1 [0, 1] \ V = 2 1 V - 1 [0, 1]$ sem).
A monoton konvergencia tétel és az uralkodó konvergencia tétel igaz a KH-integrálra. Ez az utolsó a bekeretezett konvergencia tételéből következik, amely erősebb, mert lehetővé teszi olyan függvények esetének kezelését, amelyek abszolút értéke nem integrálható.

Megjegyzések és hivatkozások

Jean-Pierre Demailly , Az integráció alapelmélete: Kurzweil-Henstock integrál ,2011( olvasható online [PDF] ).
Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , All-in-one Matematika engedélyes 3 , Dunod ,2015( online olvasható ) , p. 195-259.
J.-P. Ramis, A. Warusfel et al., All-in-one Mathematics for License 2 , Dunod ,2014, 2 nd ed. ( online olvasható ) , p. 547-549.
Elolvashatjuk például a Demailly 2011 előadását , amelyet tanfolyam-támogatásként használnak a Grenoble-I Egyetemen .
Demailly 2011 , p. 11., def. 2,5; Ramis, Warusfel és mtsai. 2015 , p. 198, def. 16; Ramis, Warusfel és mtsai. 2014 , p. 591, def. 10.
A következő variáció megtalálható a Lee Peng Yee és Rudolf Výborný, The Integral: Könnyű megközelítés után Kurzweil és Henstock , Cambridge University Press ,2000, 311 p. ( ISBN 978-0-521-77968-5 , online előadás ) , p. 23. : $t i - δ ( t i ) < x i -1 \leq t i \leq x i < t i + δ ( t i )$ .
Ramis, Warusfel és mtsai. 2015 , p. 202.
Ramis, Warusfel és mtsai. 2015 , p. 224.
Ramis, Warusfel és mtsai. 2015 , p. 204.
(in) " Heinrich Hake " , a Matematika Genealógiai Projekt honlapján , (a) " dolgozat " a DDB-n ,1921.
Ramis, Warusfel és mtsai. 2015 , p. 227–229.
Lásd a Cousin lemmájáról szóló cikk megfelelő bekezdését .
Vagyis egy folytonos térkép, amely egy megszámlálható halmaz komplementerén az $f$ deriváltra vonatkozik .
Ramis, Warusfel és mtsai. 2015 , p. 232 és 236.
(a) Russell A. Gordon, integráljainak Lebesgue, Denjoy, Perron, és Henstock , AMS ,1994( online olvasható ) , p. 145.
(in) Charles Swartz, Bevezetés állapithatod integrálok , World Scientific ,2001( online olvasható ) , p. 136.
Ramis, Warusfel és mtsai. 2015 , p. 283.
Ramis, Warusfel és mtsai. 2015 , p. 249-250 és 269.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

Jean-Yves Briend, Kis integrációs szerződés , EDP Sciences , 2014 [ online előadás ]
Roger Cuculière: „ Mi a 2000-es év szerves része? », Repères IREM , n o 31,1998 április
Clément Kesselmark és Laurent Moonens, " Az integrálszámítás alapvető tételei ", Gazette des mathématiciens , n o 141,2014. július, P. 49-67
Jean Mawhin , elemzés. Alapítványok, technikák, evolúció , Access Sciences, De Boeck Egyetem, Brüsszel, 1993