Riemann összeg
A matematika , különösen a analízis , a Riemann összegek vannak „újra kész közeledik teljes . A gyakorlatban lehetővé teszik a függvénygörbe alatti területek számszerű kiszámítását vagy az ívek hosszát , vagy fordítva, hogy értéket adjanak az összegek sorozatának. Használhatók az integráció fogalmának meghatározására is. Nevüket a német matematikustól, Bernhard Riemann- tól származik .
Az összegek felépítésének alapgondolata annyit jelent, hogy a görbét állandóan, darabonként függvényként közelítjük meg, az értékeket úgy választjuk meg, hogy minél jobban megközelítsük az eredeti függvényt, majd hozzáadjuk az így kialakított téglalapok területeit, és végül e téglalapok szélességének csökkentése. Ez a Riemann-integrál alkalmazása .
A leggyakoribb eset meghatározása
Hagy egy függvény definiált bármely pontján a szegmens [ a , b ] . Adunk magunkat jelentős felosztást σ = ( a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b ; t i ∈ [ x i - 1 , x i ] az i = 1, ..., n ) . A Riemann összege F felett [ a , b ] kapcsolatos σ határozza meg:
f:[nál nél,b]→R{\ displaystyle f: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R}}
S(f,σ)=∑én=1nem(xén-xén-1)f(tén).{\ displaystyle S (f, \ sigma) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) f (t_ {i}).}
Ha az σ felosztás lépése nulla, akkor az általános Riemann-összeg konvergál . Ez az eredeti definíciója Riemannnak az integráljának .
∫nál nélbf(t) dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) ~ \ mathrm {d} t}![\ int _ {a} ^ {b} f (t) ~ {\ mathrm d} t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1def5d1b5f9072005cce4c3f192c307a14c989d9)
Ha ahelyett, hogy azt kérnénk, hogy a Riemann összegek egy L határérték felé konvergáljanak, amikor a lépést nullára hajló δ számmal növeljük , azt kérjük, hogy a Riemann összegeket tetszőlegesen közelítsük L értékhez, amikor x i - x i - 1 ≤ δ ( t i ), t i ∈ [ x i - 1 , x i ] , δ szigorúan pozitív függvénnyel, eljutunk a Kurzweil-Henstock integrál fogalmához . Ez egy olyan általánosítás, amely lehetővé teszi több függvény integrálását, de ugyanolyan értéket ad az integrálnak, ha a függvény már integrálható Riemann értelmében.
Különleges esetek
A t i néhány választása gyakoribb:
- A t i = x i - 1 az összes i , beszélünk a bal téglalapok módszerrel
- mert t i = x i az összes i esetében a jobb oldali téglalap módszerről beszélünk
- mert t i =1/2( x i - 1 + x i ) minden i esetében a középpont módszerről beszélünk
- az F ( t i ) = sup { f ( t ), t i ∈ [ x i - 1 , x i ]} minden i , beszélünk nagyobb Riemann összeget , vagy nagyobb Darboux összege
- mert f ( t i ) = inf { f ( t ), t i ∈ [ x i - 1 , x i ]} minden i esetén alacsonyabb Riemann- összegről vagy alacsonyabb Darboux-összegről beszélünk
Ez utóbbi két eset képezi a Darboux integrál (en) alapját .
Gyakran előforduló eset az állandó lépésfelosztás: n > 0 egész számra és egy szabályos felosztás esetén
xk=nál nél+kb-nál nélnemval vel0≤k≤nem,{\ displaystyle x_ {k} = a + k {\ frac {ba} {n}} \ quad {\ text {with}} \ quad 0 \ leq k \ leq n,}
az f- hez társított Riemann-összeg ( a leggyakrabban előforduló :
Snem(f)=b-nál nélnem∑k=1nemf(nál nél+kb-nál nélnem)=∑k=1nem(xk-xk-1)f(xk).{\ displaystyle S_ {n} (f) = {\ frac {ba} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} f \ balra (a + k {\ frac {ba} {n}} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} (x_ {k} -x_ {k-1}) f (x_ {k}).}
Ezek az egyenlő távolságra levő Riemann-összegek a téglalap módszer (a jobb oldalon) az integrálok kiszámításához; fő érdeke származik a következő „tétel”, amely tulajdonképpen egy speciális esete a meghatározása a Riemann-integrál: ha f az integrálható a Riemann értelemben ,
limnem→+∞Snem(f)=∫nál nélbf(t) dt.{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} S_ {n} (f) = \ int _ {a} ^ {b} f (t) ~ \ mathrm {d} t.}![{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} S_ {n} (f) = \ int _ {a} ^ {b} f (t) ~ \ mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3894791e12a07068de9a2e73938e3f4af006f2a)
"Bizonyítás" a folyamatos függvény konkrét esete esetén
A következő „bizonyítás” elismeri, hogy egy szegmens folyamatos funkciója integrálható, és az integrál következő tulajdonságait használja:
- konstans integráljának értéke: ∫nál nélbVS dx=(b-nál nél)VS,{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} C ~ \ mathrm {d} x = (ba) C,}
- a linearitás :∫nál nélbf(x)+VSg(x) dx=∫nál nélbf(x) dx+VS∫nál nélbg(x) dx,{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) + Cg (x) ~ \ mathrm {d} x = \ int _ {a} ^ {b} f (x) ~ \ mathrm {d} x + C \ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ \ mathrm {d} x,}
- a Chasles-reláció :∫nál nélbf(x) dx+∫bvs.f(x) dx=∫nál nélvs.f(x) dx{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) ~ \ mathrm {d} x + \ int _ {b} ^ {c} f (x) ~ \ mathrm {d} x = \ int _ {a} ^ {c} f (x) ~ \ mathrm {d} x}
- A pozitivitás az integrál: ha minden x intervallum [ a , b ] , van f ( x ) ≥ 0 , akkor∫nál nélbf(x) dx≥0.{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) ~ \ mathrm {d} x \ geq 0.}
Ezt észrevéve
(xk-xk-1)f(xk)=∫xk-1xkf(xk) dt,{\ displaystyle (x_ {k} -x_ {k-1}) f (x_ {k}) = \ int _ {x_ {k-1}} ^ {x_ {k}} f (x_ {k}) ~ \ mathrm {d} t,}
nekünk van
(xk-xk-1)f(xk)-∫xk-1xkf(t)dt=∫xk-1xk(f(xk)-f(t)) dt{\ displaystyle (x_ {k} -x_ {k-1}) f (x_ {k}) - \ int _ {x_ {k-1}} ^ {x_ {k}} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {x_ {k-1}} ^ {x_ {k}} (f (x_ {k}) - f (t)) ~ \ mathrm {d} t}
azután
Snem(f)-∫nál nélbf(t) dt=∑k=1nem∫xk-1xk(f(xk)-f(t)) dt.{\ displaystyle S_ {n} (f) - \ int _ {a} ^ {b} f (t) ~ \ mathrm {d} t = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ int _ {x_ {k-1}} ^ {x_ {k}} (f (x_ {k}) - f (t)) ~ \ mathrm {d} t.}
Állítsunk minden δ > 0 értékre :
ω(δ)=sup{|f(u)-f(t)|,nál nél≤u,t≤b,|u-t|≤δ}.{\ displaystyle \ omega (\ delta) = \ sup \ {| f (u) -f (t) | \;, a \ leq u, t \ leq b, | ut | \ leq \ delta \}.}
Így rendelkezünk:
|Snem(f)-∫nál nélbf(t)dt|≤∑k=1nem∫xk-1xkω(b-nál nélnem) dt=(b-nál nél)ω(b-nál nélnem).{\ displaystyle \ left | S_ {n} (f) - \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ int _ {x_ {k-1}} ^ {x_ {k}} \ omega \ balra ({\ frac {ba} {n}} \ jobbra) ~ \ mathrm {d} t = (ba) \ omega \ balra ({\ frac {ba} {n}} \ jobbra).}
A Heine tétel azt mondja, hogy f egyenletesen folytonos az [ a , b ] szakaszban , ami egyenértékű annak mondásával . S n ( f ) konvergenciája az eredmények felé .
limδ→0+ω(δ)=0{\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 0 ^ {+}} \ omega (\ delta) = 0}
∫nál nélbf(t) dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) ~ \ mathrm {d} t}![\ int _ {a} ^ {b} f (t) ~ {\ mathrm d} t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1def5d1b5f9072005cce4c3f192c307a14c989d9)
Példa: az x ↦ √ 1 - x 2 függvényhez társított Riemann-összeg a [0; 1] konvergál a π / 4-re :
π4=∫011-x2 dx=limnem→∞1nem∑k=1nem1-(knem)2=limnem→∞1nem2∑k=1nemnem2-k2.{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} ~ {\ rm {d}} x = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {k} {n}} \ jobbra) ^ {2}}} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ sqrt {n ^ {2} -k ^ {2}}}.}
A numerikus számítás szempontjából előnyösebb az összegeket figyelembe venni ( trapéz alakú módszer ):
Tnem=b-nál nélnem(12f(nál nél)+f(nál nél+b-nál nélnem)+⋯+f(nál nél+(nem-1)b-nál nélnem)+12f(b)),{\ displaystyle T_ {n} = {\ frac {ba} {n}} \ bal ({\ frac {1} {2}} f (a) + f \ bal (a + {\ frac {ba} {n }} \ jobb) + \ pontok + f \ bal (a + (n-1) {\ frac {ba} {n}} \ jobb) + {\ frac {1} {2}} f (b) \ jobb ),}
amelyeket a bal és a jobb oldali téglalapok módszereinek átlagolásával kapunk.
Alkalmazások
A Riemann Sums alkalmazása az Euler-MacLaurin összegzési képlet , amely különösen a lassan konvergáló sorok határszámításának felgyorsítását teszi lehetővé.
A változó lépésekkel rendelkező összegek a matematikában is hasznosak, már középiskolai szinttől kezdve, amint azt Wallis módszere mutatja az f ( x ) = x α hatványfüggvények négyzetes felosztásához . Legyen b > a > 0 és N ≥ 1 . Írja b = a ω N , és vegye fel az [ a , b ] szakasz felosztására, amelyet x k = a ω k határoz meg . Az értékelés rámutat ξ k = x k -1 , megkapjuk az összeget
SNEM=∑k=0NEM-1nál nélωk(ω-1)nál nélαωkα=nál nélα+1(ω-1)(ωNEM(α+1)-1)ωα+1-1=ω-1ωα+1-1(bα+1-nál nélα+1){\ displaystyle S_ {N} = \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} a \ omega ^ {k} (\ omega -1) a ^ {\ alpha} \ omega ^ {k \ alpha} = a ^ {\ alpha +1} {\ frac {(\ omega -1) (\ omega ^ {N (\ alpha +1)} - 1)} {\ omega ^ {\ alpha +1} -1}} = {\ frac {\ omega -1} {\ omega ^ {\ alpha +1} -1}} (b ^ {\ alpha +1} -a ^ {\ alfa +1})}![S_ {N} = \ összeg _ {{k = 0}} ^ {{N-1}} a \ omega ^ {{k}} (\ omega -1) a ^ {\ alpha} \ omega ^ {{k \ alpha}} = a ^ {{\ alpha +1}} {\ frac {(\ omega -1) (\ omega ^ {{N (\ alpha +1)}} - 1)} {\ omega ^ {{ \ alpha +1}} - 1}} = {\ frac {\ omega -1} {\ omega ^ {{\ alpha +1}} - 1}} (b ^ {{\ alpha +1}} - a ^ {{\ alpha +1}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff89365d04d65b90778313db8853002f916a6f9b)
Ha N → ∞ , akkor van ω → 1 (sőt, ha ω = 1 + h , akkor b / a ≥ 1 + Nh > 1 ) és , (könnyű, ha α egész szám, mivel a hányados ekkor 1 + ω + ω 2 + ... + ω α és általában igaz). Honnan
ωα+1-1ω-1→α+1{\ displaystyle {\ frac {\ omega ^ {\ alpha +1} -1} {\ omega -1}} \ to {\ alpha +1}}![{\ frac {\ omega ^ {{\ alpha +1}} - 1} {\ omega -1}} \ - {\ alpha +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23091a4a7b27aa7673f5cef894b652f5548a3adc)
limSNEM=bα+1-nál nélα+1α+1{\ displaystyle \ lim S_ {N} = {\ frac {b ^ {\ alpha +1} -a ^ {\ alpha +1}} {\ alpha +1}}}![\ lim S_ {N} = {\ frac {b ^ {{\ alpha +1}} - a ^ {{\ alpha +1}}} {\ alpha +1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72707c5b0b2408ce60ad0658f881abc0d0f78fb2)
Az a lépés, a térfelosztási δ = b - b / ω és hajlamos nulla felé, mivel, mint már jeleztük ω → 1 az N → ∞ (konkrétan δ = bh / ω < BH ≤1/nem b ( b / a –1), ahol ismét ω = 1 + h ). Tehát megtaláljuk vagy megtaláljuk
∫nál nélbxαdx=bα+1-nál nélα+1α+1{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} x ^ {\ alpha} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {b ^ {\ alpha +1} -a ^ {\ alfa +1}} {\ alpha +1}}}![{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} x ^ {\ alpha} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {b ^ {\ alpha +1} -a ^ {\ alfa +1}} {\ alpha +1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b5a81350408782fbdc234d7c47a154e47adf42)
Az α = –1 (a hiperbola kvadratúrája ) esetet kizártuk a fenti számításból, és valóban különleges. Folytatnunk kell az S N számítását, amely most megéri S N = N ( ω - 1) . A következő összefüggést kapjuk:
limNEM((b/nál nél)1NEM-1)=∫nál nélbdtt(=ln(b/nál nél)){\ displaystyle \ lim N ((b / a) ^ {\ frac {1} {N}} - 1) = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {{\ rm {d}} t} {t}} \ quad (= \ ln (b / a))}![{\ displaystyle \ lim N ((b / a) ^ {\ frac {1} {N}} - 1) = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {{\ rm {d}} t} {t}} \ quad (= \ ln (b / a))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e45d44078161003b7e40d3f3180b91f0b041a5)
Egy jól ismert összefüggés, amely illeszkedik a logaritmus és az exponenciális függvények általános elméletéhez, valamint ezek kapcsolatához a hatalmi függvényekkel. Ha ezek a függvények és azok tulajdonságai ismertek, akkor írásban valóban megtalálhatjuk a fenti határt
NEM((b/nál nél)1NEM-1)=e1NEMnapló(b/nál nél)-11NEM{\ displaystyle N ((b / a) ^ {\ frac {1} {N}} - 1) = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ frac {1} {N}} \ log (b / a)} - 1} {\ frac {1} {N}}}}![N ((b / a) ^ {{{\ \ frac 1N}}} - 1) = {\ frac {{{\ \ rm {e}}} ^ {{{\ frac 1N} \ log (b / a)} } -1} {{\ frac 1N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f367e4045d3c130a313af12b5097893b1c341a4)
és emlékeztetve arra, hogy mivel ez a függvény t = 0 pontjában a derivált kiszámításával jár .limϵ→0eϵx-1ϵ=x{\ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {\ epsilon x} -1} {\ epsilon}} = x}
t↦etx{\ displaystyle t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {tx}}
Animációk
A felső dimenziók meghatározása
A Riemann-integrál általános elképzelése az, hogy felosztja az integrációs tartományt aldomainekre, meghatározza az egyes aldomainek mértékét és súlyozza az integrálandó függvény értékével az aldomain belsejében egy ponton, és összesíti ezeket az értékeket. Látjuk, hogy ez az elképzelés egyszerűen többdimenziós integrálok eseteire vagy a (szokásos) Lebesgue-mértéktől eltérő mértékkel általánosítható.
2-nél nagyobb méret
A domén Ω dimenzió n van osztva egy véges számú sejtek {Ω 1 , Ω 2 , ..., Ω p } , a megfelelő térfogatú {ΔΩ 1 , ΔΩ 2 , ..., ΔΩ o } diszjunkt kettesével , amelynek uniója Ω .
Ezután felírjuk az f függvény Riemann összegét, amelynek valós értéke Ω- on definiált :
S=∑k=1of(tk)×ΔΩk,{\ displaystyle S = \ sum _ {k = 1} ^ {p} f (t_ {k}) \ szor \ Delta \ Omega _ {k},}![{\ displaystyle S = \ sum _ {k = 1} ^ {p} f (t_ {k}) \ szor \ Delta \ Omega _ {k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66df6acc7370f1d90f64e113052583f856768e42)
a t k , bármely pontján Ω k .
A térfogatok tehát megfelelnek az 1. dimenzió intervallumainak hosszának, a 2. dimenzióban lévő cellák felületének, a 3. dimenzióban lévő cellák térfogatának stb.
Más méréshez
Formálisan más mérést alkalmazhatunk, mint a térfogat. Pozitív μ mérést vezetünk be . A Riemann-összeget ezután írják:
S=∑k=1of(tk)μ(Ωk).{\ displaystyle S = \ sum _ {k = 1} ^ {p} f (t_ {k}) \ mu (\ Omega _ {k}).}![{\ displaystyle S = \ sum _ {k = 1} ^ {p} f (t_ {k}) \ mu (\ Omega _ {k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be90232c7335fba11d694b55e62972c87149a44b)
Megjegyzések és hivatkozások
-
Megjegyzések egy tanfolyamról, amely Riemann szövegét reprodukálja.
-
Jean-Pierre Demailly , numerikus elemzés és differenciálegyenletek [ a kiadások részlete ]
Kapcsolódó cikkek
Külső linkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">