Komplett Stieltjes

A Stieltjes integrálja a teljes közönség, vagyis a Riemann-integrál általánosítása . Tekintsünk két függvényt, amelyek tényleges határolt $f$ és $g$ értékeket határoznak meg egy zárt $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ intervallumon $,$ és ennek az intervallumnak az $a = x$ $0$ $<$ $x$ $1$ $<$ $x$ $2$ $<... <$ $x$ $n$ $= b$ felosztását . Ha a Riemann-összeg

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (\ xi _ {i}) {\ bigl (} g (x_ {i}) - g (x_ {i-1}) {\ bigr) },}

a $ξ i \in [ x i -1 , x i ]$ , hajlamos arra, hogy egy korlátot $S$ amikor a $max$ lépés $($ $x$ $i$ $-$ $x$ $i$ $- 1$ $)$ tart 0, akkor $S$ nevezik Stieltjes integrál (vagy néha a Riemann-Stieltjes szerves ) függvény $f$ tekintetében $g$ . Megjegyezzük

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g (x)}

vagy egyszerűen $\int b a f d g$ .

Tulajdonságok

Ha az $f$ és $g$ függvényeknek közös a folytonosság pontja , akkor az integrál nem létezik.

Azonban, ha $f$ folytonos, és $g$ korlátozott variációval rendelkezik , ez az integrál jól definiálható. Ez akkor is érvényes, ha $az f$ csak Riemann-integrálható, de $g$ jelentése abszolút folytonos , és ez ekkor egybeesik az integrálját $fg „$ abban az értelemben, a Lebesgue (vagy Riemann, ha egyébként $g”$ jelentése Riemann-integrálható):

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g \, \! (x) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g '( x) \, \ mathrm {d} x.}

Ezenfelül ezekben az elégséges létfeltételekben $f$ és $g$ felcserélhetők. Valóban :

Részleges integrációs tétel - Ha a két Stieltjes-integrál közül az egyik létezik vagy létezik, akkor a másik is, és összegük megegyezik ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f \, \ mathrm {d} g}$ ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g \, \ mathrm {d} f}$ ${\ displaystyle \ left [fg \ right] _ {a} ^ {b}: = f (b) g (b) -f (a) g (a).}$

Demonstráció

Tegyük fel például, hogy a második létezik. A pontok hozzáadásával és a fenti „megjelölt felosztáshoz” a következőket találjuk: ${\ displaystyle \ xi _ {n + 1} = b}$ ${\ displaystyle \ xi _ {0} = a}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (\ xi _ {i}) {\ bigl (} g (x_ {i}) - g (x_ {i-1}) {\ bigr) } = f (b) g (b) -f (a) g (a) + \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ bigl (} f (\ xi _ {i}) - f (\ xi _ {i + 1}) {\ bigr)} g (x_ {i}).}$ Arra a következtetésre jutunk, hogy $max ( ξ j - ξ j - 1 ) \leq 2 max ( x i - x i - 1 )$ .

Képletek az átlagos - Ha $f$ jelentése folyamatos át $[ a , b ]$ és ha $g$ jelentése monoton , létezik egy valós $c$ a $[ a , b ]$ oly módon, hogy

Első képlet :

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f ~ \ mathrm {d} g = f (c) {\ bigl (} g (b) -g (a) {\ bigr)}.}

Második képlet :

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g ~ \ mathrm {d} f = g (a) \ int _ {a} ^ {c} \ mathrm {d} f + g (b) \ int _ {c} ^ {b} \ mathrm {d} f.}

Az első képletet úgy mutatjuk be, mint abban az esetben, amikor $g$ folyamatosan differenciálható . A másodikat a részek tételbe történő integrálásának köszönhetően vezetjük le. Ennek a második képletnek a következménye: ha $h$ integrálható az $[ a , b ]$ -be, és ha $g$ monoton, akkor létezik olyan $c \in [ a , b ]$ , amely

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (x) h (x) ~ \ mathrm {d} x = g (a) \ int _ {a} ^ {c} h (x) ~ \ mathrm {d} x + g (b) \ int _ {c} ^ {b} h (x) \ mathrm {d} x.}

Ha $g$ nemcsak monoton, de csökkenő mértékben pozitív, akkor nullává tehetjük $b-ben,$ mielőtt ezt a következményt alkalmaznánk rá (ez nem változtatja meg a $\int$ értékét $b a g ( x ) h ( x ) d x$ ).

Megjegyzések és hivatkozások

(in) Einar Hille és Ralph S. Phillips (in) , Funkcionális elemzés és félcsoportok , vol. 1, AMS ,1996( 1 st szerk. 1957) ( olvasott sort ) , p. 62.
(in) Jie Xiao, Integral és funkcionális analízise , Nova Science Publishers ,2008, 287 o. ( ISBN 978-1-60021-784-5 , online olvasás ) , p. 54..
(in) Hugh L. Montgomery és RC Vaughan , multiplikatív számelmélet I: klasszikus elmélet , Cambridge (UK), CUP,2007, 552 p. ( ISBN 978-0-521-84903-6 , online olvasás ) , „A. függelék: A Riemann - Stieltjes integrál” , p. 486.
(in) Norman B. Haaser és Joseph A. Sullivan, a Real elemzés , Dover ,1991( online olvasható ) , p. 255.
Hille és Phillips 1996 , p. 63.
Xiao 2008 , p. 60.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

(en) H. Jeffreys és BS Jeffreys, Matematikai Fizikai Módszerek , CUP ,1988, 3 e . , 718 p. ( ISBN 978-0-521-66402-8 , online olvasás ) , fejezet. 1. §10 („Integráció: Riemann, Stieltjes”) , p. 26-36
(en) H. Kestelman, Riemann-Stieltjes integráció , az integráció modern elméletei, New York, Dover Publications , 1960, fejezet. 11. o. 247–269