Jelentsen tételt

A valódi elemzés , az átlagos tétel egy klasszikus eredménye vonatkozó integrációja folytonos függvények egy valós változó , amely szerint az átlagos egy folytonos függvény, mint egy szegmens realizálódik a a függvény értékét.

Államok

Tétel  -  Bármely függvény f valódi értékekkel, meghatározott és folyamatos egy szegmens [ a , b ] , azzal a < b , létezik egy valós c közötti egy és b ( a és b kizárásával) kielégítő:

f(vs.)=1b-nál nél∫nál nélbf(x) dx.{\ displaystyle f (c) = {\ frac {1} {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) ~ \ mathrm {d} x.}

Az integrál itt meghatározott abban az értelemben, Riemann (de f alatt feltételezzük, hogy a folyamatos, egy egyszerűbb formája integráció, mint az által használt Cauchy , fel lehet használni); ha elismerjük az elemzés első alapvető tételét , az átlag tétele összeolvad a véges lépések tételével .

Gyakran csak a következő gyengébb következményt alkalmazzák, amelyet az átlag egyenlőtlenségének neveznek  :

Tétel  -  Ha f folytonos [ a , b ] felett , a ≤ b, és ha ennek az intervallumnak az egész x- jére vonatkozik, akkor:m≤f(x)≤M,{\ displaystyle m \ leq f (x) \ leq M,}ígym(b-nál nél)≤∫nál nélbf(x)dx≤M(b-nál nél).{\ displaystyle m \, (ba) \ leq \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x \ leq M \, (ba).}

(ez az utolsó eredmény továbbra is érvényes minden integrálható függvényre)

Megjegyzések

• Grafikusan ennek a tételnek az értelmezése az, hogy az f reprezentatív görbe alatti algebrai terület megegyezik az [ a , b ] alapú téglalap területével, a magasság pedig a görbe átlagos pontjával .
• Ez a tétel kiterjeszti a valós függvények több változó egy területen kompakt és csatlakozik a több integrálok .
• A c pont nem függ folyamatosan f-től . Az átlagtétel kimondja egy valós c létezését, de nem ad információt az f függvénytől való függőségéről .
• A folytonosság feltételezése elengedhetetlen. Például [ a , b ] = [0; 1] az f ( x ) = 1 beállításával, ha x <1/2, és f ( x ) = 0 különben, az f átlagértéke megegyezik 1/2, ezért nem valósul meg f értékeként .

Demonstráció

Az elemzés első alapvető tételének alkalmazásával , vagy a Riemann-integrál elméletének rövidzárlatával, és egy intervallumon belüli folytonos függvény integráljának definíciójaként bármelyik primitívjének ezen intervallumon belüli variációját figyelembe véve (tehát feltételezve, hogy van ilyen), az átlag tétele a véges növekmények tételének egyszerű újraformulálásává válik .

Valójában, ha F az antivezetõje az f-nek , akkor az F véges növekménytétele biztosítja a valós c létezését szigorúan a és b között oly módon, hogy

F′(vs.)=F(b)-F(nál nél)b-nál nél ,{\ displaystyle F '(c) = {\ frac {F (b) -F (a)} {ba}} \,}

ami a kívánt eredmény, mivel F ' = f ésF(b)-F(nál nél)=∫nál nélbf(x)dx.{\ displaystyle F (b) -F (a) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x.}

A "közvetlenebb" demonstrációhoz vö. lenti általánosítás g ( x ) = 1 beállításával .

Általánosítás

Ahogy az átlagtétel a véges inkrementum tétel integrált változata, a következő általánosítás az általánosított véges inkrementum tétel integrált változata  :

Minden funkciók egy valós változó f és g folytonos a szegmens [ a , b ] , azzal a < b , g protodeszulfonálás jel [ a , b ] , létezik egy valós c a ] egy , b [ az ilyen, mint a

∫nál nélbf(x)g(x) dx=f(vs.)∫nál nélbg(x) dx.{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} x = f (c) \ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ \ mathrm {d} x.} Demonstráció

Feltételezhetjük, hogy a g függvénynek pozitív vagy nulla értéke van (még akkor is, ha ez szükség esetén –g helyettesítését jelenti).

Ki lehet zárni azt a triviális esetet is, ahol fg valamilyen K állandó Kg alakja . Ez kizárja különösen azt, hogy g állandóan nulla vagy f állandó.

Szerint a Weierstrass-tétel , és a Bolzano-tétel , a kép alatt F a szegmens [ a , b ] egy szegmens [ m , M ] és m < M , és a kép a nyitott intervallum ] már , b [ jelentése ebben a szegmensben szereplő intervallum, amely legfeljebb két ponttal különbözik tőle ]m,M[⊂f(]nál nél,b[).{\ displaystyle] m, M [\ f (] a, b [) részhalmaz.}

Mivel g folytonos pozitív és nem állandóan nulla, az [ a , b ] fölötti integrálja szigorúan pozitív.

Ennek bizonyítására ∫nál nélbf(x)g(x) dx∫nál nélbg(x) dx∈f(]nál nél,b[),{\ displaystyle {\ frac {\ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} x} {\ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ \ mathrm {d} x}} \ in f (] a, b [),} ezért csak ellenőrizze m∫nál nélbg(x) dx<∫nál nélbf(x)g(x) dx<M∫nál nélbg(x) dx.{\ displaystyle m \ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ \ mathrm {d} x <\ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} x <M \ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ \ mathrm {d} x.}

Mutassuk meg például az első szigorú egyenlőtlenséget (a második érvelése analóg).

Az ( f - m ) g függvény folyamatosan pozitív, és nem állandóan nulla, az alkalmazás y↦∫nál nély(f(x)-m)g(x) dx{\ displaystyle y \ mapsto \ int _ {a} ^ {y} (f (x) -m) g (x) ~ \ mathrm {d} x} növekszik és nem állandó, így értéke b-ben szigorúan nagyobb, mint az a-ban . Így, m∫nál nélbg(x) dx<∫nál nélbf(x)g(x) dx,{\ displaystyle m \ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ \ mathrm {d} x <\ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} x,} amely befejezi a tüntetést.

jegyzet

Elengedhetetlen az a feltételezés, hogy g állandó előjelet tart: például [ a , b ] = [–1, 1] és f ( x ) = g ( x ) = x esetén nincs olyan c , hogy 2/3 = c × 0 .

Kapcsolódó cikkek

• Tétel átlaga megosztott különbségekre  (in)
• Stieltjes integrál  : az átlag első és második képlete

Külső hivatkozás

• Paul Mansion , „Az átlag második tételéről” (1885), online és kommentálta a BibNum-on .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">