Az összekapcsolhatóság a topológia fogalma, amely formalizálja az "egy darabban lévő tárgy" fogalmát. Azt mondják, hogy egy tárgy összekapcsolódik, ha egyetlen "darabból" készül. Egyébként mindegyik darab a vizsgált objektum összekapcsolt alkotóeleme .
Legyen E topológiai tér . A következő négy tétel egyenértékű:
Ha ezek közül azonos feltételek valamelyike teljesül, akkor azt mondjuk, hogy a tér E van csatlakoztatva .
E négy jellemzés közül az utolsó gyakran a legkényelmesebb a kapcsolati eredmény bemutatására.
Azt mondják, hogy az E topológiai tér X része akkor csatlakozik, ha összekapcsolt tér, amikor az indukált topológiával van ellátva .
A ℝ összekapcsolt részei az intervallumok .
Ha X és Y egy topológiai tér két összekapcsolt része, akkor az X és Y egyesülése, metszése általában nem kapcsolódik egymáshoz.
Másrészt a két összekapcsolt rész egyesülése összekapcsolódik, amint van egy közös pontjuk (még az is elég, hogy a kettő egyike megfeleljen a másik tapadásának ). Általánosabban :
Alkalmazási példák:
Ha A jelentése egy csatlakoztatott része E akkor a tapadást Egy van csatlakoztatva, mert általában minden olyan része B az E olyan, hogy A ⊂ B ⊂ Egy van csatlakoztatva.
Tétel elszámolási vám: egy topologikus tér bármely kapcsolódó része, amely megfelel mind egy részét C és kiegészítő feltétlenül egyezik meg a határt a C .
A nem üres terek szorzata akkor kapcsolódik (és csak akkor), ha mindegyik tényező. Általánosabban elmondható, hogy az alapköteg és a kapcsolódó szál teljes területe össze van kötve.
Adott egy E topológiai tér x pontja , és az összes összekapcsolt, x- et tartalmazó rész egyesül. Ez az összes összekapcsolt, x-et tartalmazó rész közül a legnagyobb (az inklúziós reláció szempontjából) . Jelöli a C x és az úgynevezett csatlakoztatott komponens az X az E . Az E pontok összekapcsolt alkotóelemei tehát a maximálisan összekapcsolt részek a beépítéshez (csak egy van, ha a tér össze van kötve). Az E partícióját alkotják ; azaz: ezek az E ekvivalencia reláció osztálya . Két E pontot állítólag összekapcsolnak, ha ugyanabban a csatlakoztatott komponensben vannak.
Legalább C x = { x } van; Ez azt jelenti, { x } az egyetlen csatlakoztatott részhalmaza E tartalmazó x , de nem feltétlenül, hogy x egy izolált pont (lásd a példákat). Ha a C X = { x } bármely pontja x a E , azt mondjuk, hogy E jelentése teljesen folytonos . Legfeljebb C x = E van ; ez az eset, amikor E csatlakozik.
Az összekapcsolt alkatrészek mindig zárva vannak, de nem mindig nyitottak (akkor és csak akkor vannak, ha a tér a topológiai összegük ); azonban:
A definíció szerint egy tér akkor kapcsolódik össze, ha a folytonos térkép képe soha nem a diszkrét tér {0, 1}. Ez utóbbi azonban ( a fortiori ) nincs kapcsolatban. Általánosabban :
A rokonok bármely folyamatos képe összefügg.
Vagyis ha E összekapcsolt tér és f folytonos E leképezése az F térben , akkor f ( E ) az F összekapcsolt részhalmaza . Valójában, ha g folytonos f ( E ) térkép a diszkrét térben {0, 1}, akkor g ∘ f - folytonos a csatlakoztatott E-n - állandó, ezért g állandó. Különösen :
Definíció - A térkép f egy topologikus tér X egy halmaz Y azt mondják, hogy lokálisan konstans (en) az X , ha bármely pontján X egy környéken , amelyre f konstans.
Az X felett lokálisan állandó függvény nem feltétlenül állandó az X felett , de akkor van, ha az X tér össze van kapcsolva, amint azt a következő tétel mutatja.
Tétel - Ha f lokálisan konstans X amikor állandó minden csatlakoztatott eleme X .
Ennek a tételnek a fordítottja általában hamis (vegye X = ℚ), de igaz, ha X lokálisan kapcsolódik.
Annak bemutatására, hogy egy tulajdonság igaz egy alkatrész minden olyan pontjára, amelyről tudjuk, hogy összekapcsoltuk, megmutatjuk, hogy az azt kielégítő pontkészlet nyitott és zárt.
Ez történik a differenciálegyenlet globális megoldásainak egyediségi tételéért és az analitikai kiterjesztés elvéért .
Az alkalmazások számosak. A ℝ egyenes és a ℝ 2 sík nem homeomorf: ha ez lenne a helyzet, akkor a ponttól megfosztott vonal homeomorf lenne a ponttól megfosztott síkkal szemben. De a második tér össze van kötve, az első nem.
Ugyanez az érv azt mutatja, hogy az S 1 kör nem homeomorf egy intervallumra.
Ez az érv nem terjed ki a magasabb dimenziókra. Ha ugyanazokkal az ötletekkel szeretnénk megmutatni, hogy a ℝ 2 és ℝ 3 nem homeomorfak, akkor egyszerű összekapcsoltságot (azaz a csipke tér ívjeivel való összekapcsolást) kell bevinnünk . Az eredmény még mindig igaz a magasabb dimenziókra , de erősebb eszközöket igényel, például a homológiát a demonstrációhoz .
Idézhetjük a kapcsolódás alkalmazásaként a három ház rejtélyének elemzését is . Ennek a rejtvénynek az a célja, hogy a házakkal azonosított terv három pontját összekapcsolja a szállítókkal azonosított három másik ponttal (víz, gáz és áram). Minden háznak kapcsolódnia kell a három szolgáltatóhoz, és a kapcsolatok nem léphetnek át. A felbontás lehetetlenségének igazolása Jordan tételén alapul , amelyet a kapcsolatokban fejeznek ki.
A G topológiai csoportban az identitás összekapcsolt komponense, amelyet semleges komponensnek (en) nevezünk, és amelyet G 0 megjegyez , megkülönböztetett alcsoport . Mint bármely csatlakoztatott komponens , G 0 zárva van a G , és a sőt nyissa, ha a G helyileg van csatlakoztatva (különösen akkor, ha a G helyileg van csatlakoztatva a ívek, különösen akkor, ha G jelentése Lie csoport ). A hányados csoport G / G 0 (ellátva a hányados topológia ) van teljesen folytonos ; ez diszkrét , ha, és csak akkor, ha a G 0 nyitva.
A következő tulajdonság nagyon hasznos a csatlakozási eredmények megjelenítéséhez:
Legyen G topológiai csoport, H pedig alcsoport. Ha a H csoport és a G / H tér össze van kötve, akkor maga G is összekapcsolódik.