A matematikában az üres halmaz az a halmaz , amely nem tartalmaz elemeket.
Az üres halmaz jelölhető áthúzott O-val , nevezetesen ∅-vel vagy egyszerűen {}, amely egy csak egy szóközt tartalmazó zárójel-pár, amely semmit sem tartalmazó halmazt jelent. A ∅ minősítést André Weil vezette be , a Bourbaki csoport minősítései intézményének részeként . Neumann című cikkében 1923-ban, amely az egyik legkorábbi utalást a címek, jegyzetek O .
Bármilyen készlet A :
A ∅ által indexelt halmazcsalád egyesülése egyenlő ∅ -vel.
A ∅- vel indexelt halmazcsalád metszéspontja nincs megadva anélkül, hogy hivatkoznánk egy halmazra, amely mindet tartalmazza . Ebben az esetben egyenlő az utóbbival.
∅ véges ; annak számosságú jelentése 0: kártya (∅) = 0.
∅ egy egyedülálló topológiát ismer el , amely {∅}. Ez mind durva (tehát ez a topológiai tér van csatlakoztatva ), és diszkrét (tehát ez a tér a kompakt , mint bármely diszkrét véges térben).
∅ elismer egy egyedülálló törzset , amely {∅} ( durva és diszkrét ).
Két halmaz egyenlő, ha ugyanazokat az elemeket tartalmazzák; ez a extenzionalitási axióma a halmazelmélet . Ezért csak egy halmaz lehet, amely nem tartalmaz elemeket, tehát csak egy üres halmaz.
A halmazelmélet egyes változataiban bevihetjük az ur-elemeknek nevezett "objektumokat" , amelyeknek szintén nincsenek elemei, és halmazelemek is lehetnek, de amelyek az üres halmazgal ellentétben nem halmazok.
Az üres halmaz nem tartalmaz semmit , de mivel halmaz, nem is semmi . Ez az az alap, amelyre vonatkozik von Neumann egész számok és ordinálisok felépítésében .
A {∅} jelölés jelentése nem azonos a meaning jelöléssel; valójában a designated által kijelölt halmaznak nincs eleme (mert ez az üres halmaz), míg a {∅} által kijelölt halmaznak van egy (ez az elem az üres halmaz). Ezenkívül von Neumann a 0-t ∅-ként, az 1-et {∅} -ként definiálja.
Emlékezzünk ( lásd fent ), hogy az üres halmaz egy részhalmaza bármely csoportja A , azaz bármely elem x a ∅, X tartozik egy , amely formálisan írva: (∀ x ∈ ∅) x ∈ A . Általánosabban elmondható, hogy a (∀ x ∈ ∅) P ( x ) (en) alakú állítás , amely az ∀ x ( x ∈ ∅ ⇒ P ( x )) rövidítése, mindig igaz , pl . Falso quodlibet .
Az alapozás axióma azt állítja, hogy minden szekvencia véget ér, ezért léteznek olyanok, hogy ebben a szekvenciában .
Az üres halmaz elengedhetetlen a beállított elmélet vagy ZFC elmélet , létezését biztosítja axiómája az üres halmaz . Egyedisége az extenzivitás axiómájából ered .
Ezenkívül a megértés axiómáinak sémáját felhasználva bizonyíthatjuk , hogy bármely halmaz megléte az üres halmaz axiómáját jelenti, ami elkerüli, hogy amikor a halmazok elméletét az első rend logikájában formalizáljuk, egy adott axiómához folyamodjunk. az üres halmaz létezésére (lásd az üres halmaz axiómáját ).
Azt mondják, definíció szerint egy halmaz lakott (be), ha van legalább egy.
Ebből kifolyólag :
egy lakott készlet nem üres,A kölcsönös a következőképpen szól:
egy nem üres halmaz lakott,és megfogalmazható:
egy nem ∅ halmaznak van legalább egy eleme.A lakott halmazzal való egyenértékűségének érvényesítéséhez nem szükséges a kizárt harmadik fél , ezért az intuíciós logikában nem érvényes .
Megvan a tétel is:
Az üres halmaz lehet jellemezni nagyon egyszerű, mint egy tárgy a kategóriában halmazok . Valóban ez az egyetlen objektum, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
Bármely E halmaz esetében létezik egy és egyetlen nyíl from-től E-ig.
Ennél a kategóriánál a nyíl alkalmazást jelent . Általánosabban: egy objektumot, amelynek egy kategóriában ez a tulajdonsága van, kezdeti objektumnak nevezzük .
Roger Godement , I. matematikai elemzés: konvergencia, elemi függvények , Springer ,2001, 2 nd ed. ( 1 st szerk. 1998) ( olvasható online ) , p. 9-11
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">