Durva topológia

A matematika , és különösen a topológia , a triviális topológia (vagy triviális topológia ) társított beállított X jelentése a topológia a X , amelynek egyetlen nyitott az üres halmaz és X .

Ez a topológia a legkevésbé finom az összes topológia közül, amelyet egy halmazon meg lehet határozni; intuitív módon az így létrehozott topológiai tér összes pontja "össze van csoportosítva", és nem különböztethető meg a topológiai szempontból.

Tulajdonságok

A durva topológia az a topológia, amelynek a legkevesebb nyílása van, és amely meghatározható egy X halmazon . A topológia meghatározása pontosan feltételezi, hogy X és az üres halmaz ezeknek a nyílásoknak a része.

Az ilyen topológiai X egyéb tulajdonságai között  :

• Az egyetlen zárt az üres halmaz, és X .
• Az durva topológia X-en való egyetlen lehetséges alapja : { X }.
• Ha X- nek legalább két eleme van, akkor az nem külön tér , és még Kolmogorov-tér sem . A fortiori, ez nem rendszeres .
• Másrészt kielégíti a T 3 1/2 (tehát T 3 is ) és a T 4 elválasztás axiómáit .
• Az X nem különválasztva sem sorrend topológia , sem mérhető .
• Az X szinte kompakt .
• Bármely függvény definiált egy topológiai tér és a értékek X jelentése folyamatos .
• X van csatlakoztatva .
• Bármely pontján X elismeri a megszámlálható alapján , X jelentése megszámlálható és elválasztható alapján .
• Bármilyen altér az X az a durva topológia.
• Bármilyen hányadosa helyet az X az a durva topológia.
• A topológiailag durva terek bármely derékszögű termékén a termék topológia a durva topológia.
• Bármilyen eredmény az X konvergál bármely pontjára X . Különösen minden szekvenciának konvergens szekvenciája van (maga a szekvencia), és ezért X szekvenciálisan kompakt .
• Az X bármely részhalmazának belseje , kivéve magát X , üres.
• A tapadást az összes nem-üres részhalmaza X jelentése X . Az X bármely nem üres részhalmaza tehát sűrű az X-ben , ez a tulajdonság topológiailag durva tereket jellemez.
• Ha S egy sor al- X legalább két pontot, minden eleme X egy tároló elem a S . Ha S egyetlen pontból áll, akkor annak felhalmozási pontjai pontosan X többi pontja .
• X egy Baire-tér .
• Két nagyjából topológiai tér akkor és csak akkor homeomorf, ha ugyanaz a kardinalitásuk .

Lásd is

Diszkrét topológia