Intervallum (matematika)
A matematikában az intervallum (a latin intervallumból származik ) etimológiailag két érték közötti halmaz . Ez az első elképzelés aztán tovább fejlődött, amíg a következő definíciókat nem eredményezte.
ℝ intervallumai
Leltár
Kezdetben egy igazi intervallumot nevezzük egy sor a számok által határolt két valós számot alkotó alsó és egy felső határ . Egy intervallum tartalmazza a valós határokat a két határ között.
Ez a meghatározás a következő típusok intervallumait csoportosítja ( a és b valós és a < b értékekkel ):
-
{x∈R∣nál nél<x<b}=]nál nél,b[{\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} \ közepén a <x <b \} = \;] a, b [}( nyitott és nem zárt )
-
{x∈R∣nál nél≤x≤b}=[nál nél,b]{\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} \ közepén a \ leq x \ leq b \} = [a, b]} (zárt és nem nyitott)
-
{x∈R∣nál nél<x≤b}=]nál nél,b]{\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} \ közepén a <x \ leq b \} = \;] a, b]} (bal oldalon félig nyitott, jobb oldalon félig nyitott)
-
{x∈R∣nál nél≤x<b}=[nál nél,b[{\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} \ közepén a \ leq x <b \} = [a, b [} (bal oldalon félig zárt, jobb oldalon félig nyitott)
Az első típusú intervallumokat nyitott intervallumoknak nevezzük ; a második zárt intervallum és az utolsó két félig nyitott intervallum .
Egy másik (angol eredetű, de nagyon elterjedt) jelölés zárójel helyett zárójelet (fél) nyitott intervallumokra használ: zárójelet tartalmaz:
(nál nél,b),[nál nél,b](nál nél,b],[nál nél,b).{\ displaystyle (a, b), \ qquad [a, b] \ qquad (a, b], \ qquad [a, b).}Ezt a két jelölést az ISO 31 szabvány írja le (matematikára:
ISO 31-11 (en) ). Ezekhez az időközökhöz hozzáadódtak az értéknél kisebb vagy nagyobb értékek a valós halmazok. Ezért hozzáadjuk az ilyen típusú intervallumokat:
-
{x∈R∣x<nál nél}=]-∞,nál nél[=(-∞,nál nél){\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ x x a \ right \} = \;] {- \ infty}, a [\; = (- \ infty, a)} (nyitott és nem zárt)
-
{x∈R∣x≤nál nél}=]-∞,nál nél]=(-∞,nál nél]{\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ x x leq a \ right \} = \;] {- \ infty}, a] = (- \ infty, a]} (zárt és nem nyitott)
-
{x∈R∣x>nál nél}=]nál nél,+∞[=(nál nél,+∞){\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ x x> a \ right \} = \;] a, + \ infty [\; = (a, + \ infty)} (nyitott és nem zárt)
-
{x∈R∣x≥nál nél}=[nál nél,+∞[=[nál nél,+∞){\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ x x geq a \ right \} = [a, + \ infty [\; = [a, + \ infty)} (zárt és nem nyitott)
Amihez hozzáadódtak az intervallumok:
- az üres halmaz ∅ (nyitott és zárt egyaránt);
- a szingulettek { a } = [ a , a ] (zárt és nem nyitott);
- a valós számok halmaza (nyitott és zárt egyaránt).R=]-∞,+∞[=(-∞,+∞){\ displaystyle \ mathbb {R} = \;] {- \ infty}, + \ infty [\; = (- \ infty, + \ infty)}
Általános meghatározás
A interval intervallum a ℝ konvex része , azaz a valós tulajdonságok I halmaza, amely kielégíti a következő tulajdonságot:
∀(x,y)∈én2, (x≤y⇒[x,y]⊂én){\ displaystyle \ forall (x, y) \ in I ^ {2}, \ (x \ leq y \ Rightarrow [x, y] \ I részhalmaz)}más szavakkal :
∀(x,y)∈én2, ∀z∈R, (x≤z≤y⇒z∈én) .{\ displaystyle \ forall (x, y) \ in I ^ {2}, \ \ forall z \ in \ mathbb {R}, \ (x \ leq z \ leq y \ Rightarrow z \ in I) \.}Unió és kereszteződés
A ℝ intervallumok metszéspontja mindig intervallum. Például,
- [-3,5.[∩]-∞,2]=[-3,2]{\ displaystyle [-3,5 [\; \ cap \;] {- \ infty}, 2] = [- 3,2]}
- [-3,5.[∩[2,+∞[=[2,5.[{\ displaystyle [-3,5 [\; \ cap \; [2, + \ infty [\; = [2,5 [}
- [3,5.[∩]-∞,2]=∅{\ displaystyle [3,5 [\; \ cap \;] {- \ infty}, 2] = \ lakkozás}
A ℝ intervallumok egyesülése nem mindig intervallum. Intervallum lesz, ha a kapott halmaz domború marad (intuitív módon, ha nincs „lyuk”). Két intervallumú unió esetén elegendő, ha ezeknek az intervallumoknak a kereszteződése nem üres ahhoz, hogy egyesülésük domború legyen. Például,
- ]-∞,2]∪[-3,5.[=]-∞,5.[{\ displaystyle] {- \ infty}, 2] \; \ csésze [-3,5 [\; = \;] {- \ infty}, 5 [}
- [-3,5.[∪[2,+∞[=[-3,+∞[{\ displaystyle [-3,5 [\; \ cup \; [2, + \ infty [\; = [- 3, + \ infty [}
-
[3,5.[∪]-∞,2]=]-∞,2]∪[3,5.[{\ displaystyle [3,5 [\; \ csésze \;] {- \ infty}, 2] = \;] {- \ infty}, 2] \ csésze [3,5 [} (Megjegyzés: az intervallum két határát előnyösen növekvő sorrendben jegyezzük meg).
Ez az unió nem képez intervallumot, mivel 2 és 3 között van egy rés.
Csatlakoztathatóság és tömörség
A connected összekapcsolt részei (a szokásos topológia esetében) pontosan az intervallumok.
A korlátozott, azaz korlátjaikat tartalmazó, zárt intervallumokat szegmenseknek nevezzük . Ez az egyetlen kompakt intervallum . Ez az eredmény a Borel-Lebesgue-tétel speciális esete .
A ℝ nyílásainak bomlása
A ℝ bármely nyitása a nyitott intervallumok megszámlálható egyesülése kettőtől kettőig diszjunkt: összekapcsolt komponensei .
Az intervallumok a interesting legérdekesebb részei, amikor a folytonosságról és a differenciálhatóságról beszélünk .
A valós intervallum nem triviális, ha nem üres, és nem csökken egy pontra.
Ezután megtaláljuk (többek között) a valódi változó valós funkcióinak a tulajdonságait, például:
- A kép egy function intervallum folyamatos függvényével ℝ intervallum ( a köztes értékek tétele ).
- Egy intervallumon belül azonos nulla származékkal rendelkező differenciálható függvény állandó ebben az intervallumban.
- A differenciálható függvény akkor és csak akkor növekszik (tág értelemben) egy nem triviális intervallumon keresztül, ha származéka pozitív (tág értelemben) pozitív marad ezen intervallum alatt.
Megjegyzés : Az f : ℝ * → ℝ függvényt f ( x ) = x / | határozza meg x | differenciálható a ℝ * -on, és származéka azonos nulla; de f nem állandó. Ez azért van, mert a ℝ * = ℝ \ {0} nem intervallum.
Általánosítás
Bármely teljesen rendezett halmazban ( S , ≤) definiálhatjuk az intervallumokat, ugyanúgy, mint a ℝ-ben, mint a konvex halmazokat (a fentebb említett általános definíció értelmében). Közülük a következő típusokat találjuk (de nem csak ők):
-
{z∈S∣nál nél<z<b}{\ displaystyle \ left \ {z \ in S \ mid a <z <b \ right \}}, , ,{z∈S∣nál nél≤z≤b}{\ displaystyle \ left \ {z \ in S \ mid a \ leq z \ leq b \ right \}}{z∈S∣nál nél<z≤b}{\ displaystyle \ left \ {z \ in S \ mid a <z \ leq b \ right \}}{z∈S∣nál nél≤z<b}{\ displaystyle \ left \ {z \ in S \ mid a \ leq z <b \ right \}}
-
{z∈S∣z<nál nél}{\ displaystyle \ left \ {z \ in S \ mid z <a \ right \}}, , ,{z∈S∣z≤nál nél}{\ displaystyle \ left \ {z \ in S \ mid z \ leq a \ right \}}{z∈S∣z>nál nél}{\ displaystyle \ left \ {z \ in S \ mid z> a \ jobb \}}{z∈S∣z≥nál nél}{\ displaystyle \ left \ {z \ in S \ mid z \ geq a \ right \}}
-
∅{\ displaystyle \ lakkozás}, S{\ displaystyle \ quad S}
Az első négy jelölés általánosítja a nyitott intervallumot, a zárt intervallumot, a félig nyitott intervallumot a bal oldalon és a félig nyitott intervallumot a jobb oldalon. Az ötödik jelölés a nyitott kezdetű szakasz speciális esete ; A következő három a zárt kiindulási részén , a nyitott vége szakasz , és a zárt végződő szakasz határozza meg egy , ill.
Ezért elképzelhető, hogy meghatározza a ℤ intervallumban relatív egész -5 és 3, de veszélyes lenne leírni [5, 3] előzetes figyelmeztetés nélkül, mert az összetévesztés kockázatának vannak megjelölve az időközönként. A ℝ. Néha a fehér zárójeles ⟦– 5, 3⟧ jelölést, néha a dupla zárójeles jelölést használjuk (valószínűség szerint széles körben használják).
Az intervallumok metszéspontja továbbra is intervallum.
Megjegyzések és hivatkozások
-
Lásd például: Nawfal El Hage Hassan, Általános topológia és szabványosított terek: Javított tanfolyamok és gyakorlatok , Dunod ,2018, 2 nd ed. ( 1 st szerk. 2011) ( olvas online ) , p. 10 és 246Vagy ez a korrigált gyakorlat a leckét „Általános topológia” a Wikiversity .
-
További részletek: lásd a monoton funkciókról szóló cikk monotonitását és származékának jeleit .
-
D. Guinin és B. Joppin, algebra és geometria MPSI , Breal 2003
( ISBN 9782749502182 ) , Meghatározás 27 o. 176 .
-
Ez csak egy speciális eset, mert létezhetnek olyan nyitott kezdő szakaszok, amelyeknek a nem a felső határa - ez különösen a Dedekind-vágásokra vonatkozik, amelyek valós számot határoznak meg, és nem feltétlenül rendelkeznek felső határral a ℚ-ban .
-
Analóg : a befejező szakasznak nem feltétlenül van alsó határa.
-
J.-M. Arnaudiès és H. Fraysse, Matematika-1 Algebra tanfolyam , Dunod, 1987
( ISBN 2040164502 ) , p. 52 .
Kapcsolódó cikk
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">