Konvex készlet

A geometriai objektum azt mondják, hogy konvex , ha minden egyes alkalommal, hogy két pont A és B veszünk belőle , a szegmens [A, B] , amely csatlakozik hozzájuk teljesen bennük. Tehát egy szilárd kocka , egy korong vagy egy gömb domború, de egy üreges vagy rögös tárgy nem.

Meghatározás

Azt feltételezzük, hogy a munka egy olyan környezetben, ahol a szegmens [ x , y ] összekötő bármely két pont x és y jelentése van (például egy affin térben a - különösen egy affin helyet - vagy egy hiperbolikus térben ) .

Definíció  -  A beállított C azt mondják, hogy konvex , ha, az összes x és y a C , a szegmens [ x , y ] teljes mértékben tartalmazza, C , azaz:

.

Hacsak kifejezetten nincs megadva, a következők következnek a konvexek egyetlen kontextusáról egy rendezett mező affin (vagy vektor) terében .

Fogjuk hívni dimenziója egy nem üres konvex C dimenziója a affin hajótest által C .

Példák

Elemi tulajdonságok és alapvető eszközök

Konvex metszéspontjai

A kereszteződés két convexes (és még az olyan család az convexes) önmagában konvex (és ez nagyon általánosan, hiszen tudjuk meg konvexitás).

Stabilitás pozitív együtthatójú barycenterek által

A konvexitás meghatározása bármely két x és y pont megválasztása után az [ x , y ] szakasz pontjainak, vagyis a baryközpontoknak a két pont pozitív együtthatóival történő figyelembe vételén nyugszik . A barycenter asszociativitási tétel használatával kiterjeszthetjük azokat a barycentereket, amelyek tetszőleges számú pozitív együtthatóval rendelkeznek:

Javaslat  -  A részhalmaza C egy affin tér E konvex (ha és) csak akkor, ha minden konvex kombinációja egy véges család pont C maga a C .

Konvex boríték

Tekintettel az E környező tér bármely A részére (affin tér vagy általánosabb kontextus), létezik legalább egy E konvex részhalmaz, amely A-t tartalmaz , mégpedig magát E-t ; Ez lehetővé teszi, hogy megvizsgálja a kereszteződés minden konvex részhalmazát E tartalmazó A . Mi ezt a konvex burok az A és mi jelöljük CO ( A ) vagy a Konv ( A ) .

Mi azonnal ellenőrizheti, hogy CO ( A ) van, ezért a legkisebb konvex részhalmaza E tartalmazó A , abban az értelemben, a felvétel P ( E ) . Ha x és y az E két pontja , a co ({ x , y }) az [ x , y ] szakasz .

A vetítési tétel

Azzal a feltétellel, dolgozik egy euklideszi térben (vagy általában egy Hilbert-tér ), van egy figyelemre méltó eredmény: adott egy zárt konvex nem üres, bármely pont x a térben, létezik egy és csak egy pontot p ( x ) a domború az x minimális távolságánál . Ezt az eredményt különféle kiegészítő információk kísérik, különös tekintettel a konvex bármely m pontjának szögének tompa karakterére , vagy a térkép p 1-Lipschitz karakterére .

A konvexek és a határszerkezet elválasztása

Az egyik hasznos technika a két domború "elválasztása". Ebből áll, ha két domború, ugyanazon tér közös pontja nélkül, ezt a teret kettévágja egy hipersík (tehát egy sík, ha a dimenzió 3), amely elhagyja a konvexeket az elválasztó fal mindkét oldalán. Számos demonstráció létezik egy ilyen felosztás lehetőségéről, amely lehetővé teszi többé-kevésbé általános állítások megszerzését; egyesek a Hahn-Banach-tételt használják , a funkcionális elemzés eszközét, amely különösen releváns a végtelen dimenzióban végzett vizsgálat szempontjából.

Ez a módszer egészen különösképpen lehetővé teszi egy "támasztó hipersík" konvexének létezésének igazolását a határ minden pontján: egy olyan hipersík, amely ezen a ponton halad át, és az egész konvexet a két fél egyikében hagyja. Ez az eredmény viszont alapvető fontosságú a konvexek határának felépítésének részletesebb tanulmányozásában (felosztások arcokra, élekre stb.) És különösen a domború poliéderekre . Így különböző pontkategóriák (végpontok, csúcsok) megkülönböztetésére irányulunk, amelyek központi szerepet játszanak a konvex optimalizálási problémáiban, például a lineáris optimalizálásban .

Konvex halmazhoz tartozó konvex függvények

A konvex halmazok tanulmányozása hasznos lehet a konvex funkciók elemzésének eredményeiből . Számos ilyen tulajdonság tulajdonképpen társulhat egy nem üres domború C-vel .

Ebben a szakaszban feltételezzük a geometriai felépítésével kompatibilis topológiával felruházott környezeti teret (ez véges dimenziós terekben mindig így van; ha végtelen dimenziójú vektortérben vagyunk, ez azt jelenti, hogy meg kell követelni, hogy ez egy topológiai vektortér ).

Markolat, belső tér, szegély

A tapadás és a belső kezelők megőrzik a konvexitást. Sőt, ha a figyelembe vett konvex nem üres belső tér (és könnyen visszatérhetünk ehhez az esethez, ha affin borítékának és nem a globális térnek tekintjük ), akkor a domborúnak, a belsejének és a tapadásának mindhárom ugyanaz a határ.

Nagyon könnyen megmutathatjuk, hogy a kompakt konvex határának domború burkolata (a 0 dimenzió degenerált esete kivételével).

Kapcsolódás

A valódi (vagy komplex) affin tér konvex részét ívek kötik össze , mert a két pontot összekötő bármely szakasz egy utat képez a két pont között. Különösen ezért kapcsolódik .

Bármely tér konvex része nem feltétlenül kapcsolódik össze. Ellenpéldát ad a 0 és 1 közötti racionális számok zárt intervalluma: ez egy ve konvex halmaz, amely teljesen szakaszos .

Egy konvex zárt boríték

Ha egy olyan része, a tér, mi jelöljük konvex zárt burát a A , és mi jelöljük CO ( A ) , a tapadást CO ( A ) annak domború borítékot. Könnyen, hogy be van jelölve CO ( A ) a kereszteződés a zárt konvex tartalmazó A ( „kisebb” zárt konvex halmaz tartalmazó A ), és A jelentése azonos konvex zárt burát, hogy CO ( A ) és egy .

A geometriai forma a Hahn-Banach tétel lehetővé teszi, hogy azt mutatják, hogy egy lokálisan konvex teret , CO ( A ) a metszéspontja a zárt félig terek tartalmazó A , ami azt bizonyítja, hogy bármely zárt konvex van gyengén zárva.

Egy Banach-ban - vagy általánosabban egy Fréchet-térben - a kompakt domborúan zárt burkolata kompakt.

Leírás egészen homeomorfizmusig véges dimenzióban

Az r ≥ 0 , mi jelöljük B r egy zárt labdát középpontú 0 és nullától sugara egy külön vektortér véges dimenzióban R (bármilyen norma - mind egyenértékűek ).

A konvex tömörítések egyszerű szerkezettel rendelkeznek:

Tétel  -  Bármely nem üres kompakt konvex a dimenzió d jelentése homeomorf a B d .

Demonstráció

Helyezzük magunkat a C által generált affin F altérbe , amely rendelkezik kanonikus topológiájával . Ebben a térben a C belseje nem üres . Lefordítással tehát feltételezhetjük, hogy C tartalmaz egy r > 0 sugarú B d labdát . Jelölje S a környező gömböt. A bármilyen vektor u a S , metszéspontjában C a fél-line ℝ + u egy kompakt konvex a ℝ + u tartalmazó 0 , azaz a szegmens a forma [0, g ( u )] . Ezen túlmenően, a végén g ( u ) tartozik a határ C (ezért g ( u ) ║ ≥ R ), noha bármely más pont a szegmens belső, hogy a C (mert belső a konvex borítékot a B d ∪ { g ( u )} ).

Általánosabban véve egy adott d véges dimenzió zárt konvexei homeomorfak az egyszerű modellek korlátozott számának ( d + 2 ) egyikére vagy másikára :

Tétel  -  Legyen d ≥ 1, és C legyen a d dimenzió nem üres konvexe , zárt a környező térben. Így :

Minden esetben homeomorfizmus küldi a relatív határ a C és a relatív határ a modell.

Ahhoz, hogy ezt a tételt egy tanulságos példán olvashassuk el, a 3. dimenzió tételéhez a 3. dimenzió zárt konvexei homeomorfak a következő öt modell egyikére: ℝ 3 egész, a területet két párhuzamos sík, egy henger, egy gömb határolja ℝ 3-ban. vagy egy fél hely.

Az előző tételben felsorolt ​​összes modell relatív belső terei homeomorfak egymással, azaz homeomorfak ℝ d-vel . Az előző tétel relatív belső tereket cserélő homeomorfizmusa tehát arra a következtetésre juthat, hogy a d dimenzió összes domború nyílása egymással homeomorf (ami a valóságban a bizonyítás egyik állomása volt). Valójában jobbá válhatunk , mégpedig egy diffeomorfizmus .

Tétel  -  Legyen d ≥ 0, és C legyen a d dimenzió nem üres konvexe , amely nyitva van a környező térben. Ekkor C diffeomorf ic d-re .

Nem szabad reménykedni a konvex ilyen egyszerű topológiai feltétel nélküli besorolásában: vegyük figyelembe, hogy a ℝ 2 bármely része, amely tartalmazza a nyitott egység lemezét és benne van a zárt egység lemezben, domború.

Konvex halmazok és kombinatorikus geometria

A konvex halmazok központi szerepet játszanak a kombinatorikus geometriában , már csak azért is, mert egy affin térben véges számú ponttal szembesülve a legkézenfekvőbb geometriai művelet, amely rájuk alkalmazható, az, hogy megvizsgálják a domború burkukat: az úgynevezett politopot .

A konvex kombinatorikus geometria alapvető objektuma a politóp , amelyet véges számú pont konvex burkolataként határozhatunk meg .

Csak a példa kétségtelenül a kombinatorikus geometria leghíresebb eredménye, a 3. dimenzióban a politop csúcsainak, éleinek és felületeinek számát Euler képlete kapcsolja össze (lásd ezt a témát az Euler jellemzői című cikkben ):

Radon, Helly és Carathéodory tételei

Tekintsünk egy sor a d + 2 pontot affin tér dimenziója d .

Radon tétele szerint:

Tétel ( Radon )  -  Az A két részből álló A 1 , A 2 partíciót enged be , amelynek konvex borítékjai Conv ( A 1 ) és Conv ( A 2 ) találkoznak.

Helly és Carathéodory tételeinek párhuzamos megadásához bevezetünk egy jelölést: minden i index esetében, amely 1 és d + 2 között változik , jelöljüka konvex borítékot a pontok Egy eltérő ponton egy i . A 2. dimenzió, az egyes Δ i lenne egy háromszög (és nem lenne négy); a 3. dimenzióban öt tetraéder gyűjteményével foglalkoznánk, és így tovább.

A következő két állítás a Helly és Carathéodory tételek leggyakoribb állításainak speciális esete, amelyek azonban lényegében az összes információt tartalmazzák: az egyik könnyen feloldja az alábbiakban megadott verziókból kiinduló általános állításokat.

Tétel ( Helly )  -  Van egy közös pont a d + 2 szimplexeknek Δ i .

Tétel ( Carathéodory )  -  A d + 2 szimplexek delta i kiterjed az egész konvex politóp borítékot A .

Ezek a tételek szorosan összefüggenek egymással: a Helly leggyakoribb bizonyítása Radonon alapszik, míg az egyik könnyen igazolja a Carathéodory-t függetlenül, de lehetséges például Helly levezetése a Carathéodory-ból vagy ennek ellenkezője.

Számtalan változat meghatározza vagy általánosítja őket.

Megjegyzések és hivatkozások

  1. Jean Dieudonné , Lineáris algebra és elemi geometria , Hermann ,1964, P.  50.
  2. (in) HG Eggleston konvexitás , Cambridge University Press , koll.  „Traktusra matematika és a matematikai fizika” ( n o  47),1969( 1 st  szerk. 1958) ( olvasható online ), utánnyomás javításokkal, Th. 1, p.  8 . (Az eredmény ebben a forrásban ℝ n-ben szerepel, de a bizonyíték nyilvánvalóan egy általánosabb helyzethez illeszkedik.)
  3. Eggleston 1969 , p.  4-5. (Az eredmény ebben a forrásban ℝ n-ben szerepel, de a bizonyíték nyilvánvalóan egy általánosabb helyzethez illeszkedik.)
  4. (in) Charalambos D. Aliprantis és Kim C. Border Infinite Dimensionional Analysis: A stoppos útmutató , Springer ,2007( online olvasható ) , p.  185-186.
  5. (in) Michiel Hazewinkel , Matematika Enciklopédia , vol.  3, Springer ,2013, 950  p. ( ISBN  978-1-4899-3793-3 , online olvasás ) , p.  679.
  6. (in) Glen E. Bredon  (in) , topológia és geometria [ részletek közzététele ], P.  56–57 , előnézet a Google Könyvekben .
  7. Az általánosításhoz lásd (en) VL Klee , "  A konvex halmazok néhány topológiai tulajdonsága  " , Trans. Keserű. Math. Soc. , vol.  78,1955, P.  30–45 ( online olvasás ), Th. 5.8.
  8. Az egész ezen alszakasz veszünk Marcel Berger , Géométrie [ részletesen a Editions ], II-3. szakasz, 3. kötet, 1. o. Az 1978-as kiadásban  29-38 .

Kapcsolódó cikk

Teljesen domború készlet

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">