A geometriai objektum azt mondják, hogy konvex , ha minden egyes alkalommal, hogy két pont A és B veszünk belőle , a szegmens [A, B] , amely csatlakozik hozzájuk teljesen bennük. Tehát egy szilárd kocka , egy korong vagy egy gömb domború, de egy üreges vagy rögös tárgy nem.
Azt feltételezzük, hogy a munka egy olyan környezetben, ahol a szegmens [ x , y ] összekötő bármely két pont x és y jelentése van (például egy affin térben a ℝ - különösen egy affin helyet ℂ - vagy egy hiperbolikus térben ) .
Definíció - A beállított C azt mondják, hogy konvex , ha, az összes x és y a C , a szegmens [ x , y ] teljes mértékben tartalmazza, C , azaz:
.Hacsak kifejezetten nincs megadva, a következők következnek a konvexek egyetlen kontextusáról egy rendezett mező affin (vagy vektor) terében .
Fogjuk hívni dimenziója egy nem üres konvex C dimenziója a affin hajótest által C .
A kereszteződés két convexes (és még az olyan család az convexes) önmagában konvex (és ez nagyon általánosan, hiszen tudjuk meg konvexitás).
A konvexitás meghatározása bármely két x és y pont megválasztása után az [ x , y ] szakasz pontjainak, vagyis a baryközpontoknak a két pont pozitív együtthatóival történő figyelembe vételén nyugszik . A barycenter asszociativitási tétel használatával kiterjeszthetjük azokat a barycentereket, amelyek tetszőleges számú pozitív együtthatóval rendelkeznek:
Javaslat - A részhalmaza C egy affin tér E konvex (ha és) csak akkor, ha minden konvex kombinációja egy véges család pont C maga a C .
Tekintettel az E környező tér bármely A részére (affin tér vagy általánosabb kontextus), létezik legalább egy E konvex részhalmaz, amely A-t tartalmaz , mégpedig magát E-t ; Ez lehetővé teszi, hogy megvizsgálja a kereszteződés minden konvex részhalmazát E tartalmazó A . Mi ezt a konvex burok az A és mi jelöljük CO ( A ) vagy a Konv ( A ) .
Mi azonnal ellenőrizheti, hogy CO ( A ) van, ezért a legkisebb konvex részhalmaza E tartalmazó A , abban az értelemben, a felvétel P ( E ) . Ha x és y az E két pontja , a co ({ x , y }) az [ x , y ] szakasz .
Azzal a feltétellel, dolgozik egy euklideszi térben (vagy általában egy Hilbert-tér ), van egy figyelemre méltó eredmény: adott egy zárt konvex nem üres, bármely pont x a térben, létezik egy és csak egy pontot p ( x ) a domború az x minimális távolságánál . Ezt az eredményt különféle kiegészítő információk kísérik, különös tekintettel a konvex bármely m pontjának szögének tompa karakterére , vagy a térkép p 1-Lipschitz karakterére .
Az egyik hasznos technika a két domború "elválasztása". Ebből áll, ha két domború, ugyanazon tér közös pontja nélkül, ezt a teret kettévágja egy hipersík (tehát egy sík, ha a dimenzió 3), amely elhagyja a konvexeket az elválasztó fal mindkét oldalán. Számos demonstráció létezik egy ilyen felosztás lehetőségéről, amely lehetővé teszi többé-kevésbé általános állítások megszerzését; egyesek a Hahn-Banach-tételt használják , a funkcionális elemzés eszközét, amely különösen releváns a végtelen dimenzióban végzett vizsgálat szempontjából.
Ez a módszer egészen különösképpen lehetővé teszi egy "támasztó hipersík" konvexének létezésének igazolását a határ minden pontján: egy olyan hipersík, amely ezen a ponton halad át, és az egész konvexet a két fél egyikében hagyja. Ez az eredmény viszont alapvető fontosságú a konvexek határának felépítésének részletesebb tanulmányozásában (felosztások arcokra, élekre stb.) És különösen a domború poliéderekre . Így különböző pontkategóriák (végpontok, csúcsok) megkülönböztetésére irányulunk, amelyek központi szerepet játszanak a konvex optimalizálási problémáiban, például a lineáris optimalizálásban .
A konvex halmazok tanulmányozása hasznos lehet a konvex funkciók elemzésének eredményeiből . Számos ilyen tulajdonság tulajdonképpen társulhat egy nem üres domború C-vel .
Ebben a szakaszban feltételezzük a geometriai felépítésével kompatibilis topológiával felruházott környezeti teret (ez véges dimenziós terekben mindig így van; ha végtelen dimenziójú vektortérben vagyunk, ez azt jelenti, hogy meg kell követelni, hogy ez egy topológiai vektortér ).
A tapadás és a belső kezelők megőrzik a konvexitást. Sőt, ha a figyelembe vett konvex nem üres belső tér (és könnyen visszatérhetünk ehhez az esethez, ha affin borítékának és nem a globális térnek tekintjük ), akkor a domborúnak, a belsejének és a tapadásának mindhárom ugyanaz a határ.
Nagyon könnyen megmutathatjuk, hogy a kompakt konvex határának domború burkolata (a 0 dimenzió degenerált esete kivételével).
A valódi (vagy komplex) affin tér konvex részét ívek kötik össze , mert a két pontot összekötő bármely szakasz egy utat képez a két pont között. Különösen ezért kapcsolódik .
Bármely tér konvex része nem feltétlenül kapcsolódik össze. Ellenpéldát ad a 0 és 1 közötti racionális számok zárt intervalluma: ez egy ve konvex halmaz, amely teljesen szakaszos .
Ha egy olyan része, a tér, mi jelöljük konvex zárt burát a A , és mi jelöljük CO ( A ) , a tapadást CO ( A ) annak domború borítékot. Könnyen, hogy be van jelölve CO ( A ) a kereszteződés a zárt konvex tartalmazó A ( „kisebb” zárt konvex halmaz tartalmazó A ), és A jelentése azonos konvex zárt burát, hogy CO ( A ) és egy .
A geometriai forma a Hahn-Banach tétel lehetővé teszi, hogy azt mutatják, hogy egy lokálisan konvex teret , CO ( A ) a metszéspontja a zárt félig terek tartalmazó A , ami azt bizonyítja, hogy bármely zárt konvex van gyengén zárva.
Egy Banach-ban - vagy általánosabban egy Fréchet-térben - a kompakt domborúan zárt burkolata kompakt.
Az r ≥ 0 , mi jelöljük B r egy zárt labdát középpontú 0 és nullától sugara egy külön vektortér véges dimenzióban R (bármilyen norma - mind egyenértékűek ).
A konvex tömörítések egyszerű szerkezettel rendelkeznek:
Tétel - Bármely nem üres kompakt konvex a dimenzió d jelentése homeomorf a B d .
DemonstrációHelyezzük magunkat a C által generált affin F altérbe , amely rendelkezik kanonikus topológiájával . Ebben a térben a C belseje nem üres . Lefordítással tehát feltételezhetjük, hogy C tartalmaz egy r > 0 sugarú B d labdát . Jelölje S a környező gömböt. A bármilyen vektor u a S , metszéspontjában C a fél-line ℝ + u egy kompakt konvex a ℝ + u tartalmazó 0 , azaz a szegmens a forma [0, g ( u )] . Ezen túlmenően, a végén g ( u ) tartozik a határ ∂ C (ezért ║ g ( u ) ║ ≥ R ), noha bármely más pont a szegmens belső, hogy a C (mert belső a konvex borítékot a B d ∪ { g ( u )} ).
Általánosabban véve egy adott d véges dimenzió zárt konvexei homeomorfak az egyszerű modellek korlátozott számának ( d + 2 ) egyikére vagy másikára :
Tétel - Legyen d ≥ 1, és C legyen a d dimenzió nem üres konvexe , zárt a környező térben. Így :
Minden esetben homeomorfizmus küldi a relatív határ a C és a relatív határ a modell.
Ahhoz, hogy ezt a tételt egy tanulságos példán olvashassuk el, a 3. dimenzió tételéhez a 3. dimenzió zárt konvexei homeomorfak a következő öt modell egyikére: ℝ 3 egész, a területet két párhuzamos sík, egy henger, egy gömb határolja ℝ 3-ban. vagy egy fél hely.
Az előző tételben felsorolt összes modell relatív belső terei homeomorfak egymással, azaz homeomorfak ℝ d-vel . Az előző tétel relatív belső tereket cserélő homeomorfizmusa tehát arra a következtetésre juthat, hogy a d dimenzió összes domború nyílása egymással homeomorf (ami a valóságban a bizonyítás egyik állomása volt). Valójában jobbá válhatunk , mégpedig egy diffeomorfizmus .
Tétel - Legyen d ≥ 0, és C legyen a d dimenzió nem üres konvexe , amely nyitva van a környező térben. Ekkor C diffeomorf ic d-re .
Nem szabad reménykedni a konvex ilyen egyszerű topológiai feltétel nélküli besorolásában: vegyük figyelembe, hogy a ℝ 2 bármely része, amely tartalmazza a nyitott egység lemezét és benne van a zárt egység lemezben, domború.
A konvex halmazok központi szerepet játszanak a kombinatorikus geometriában , már csak azért is, mert egy affin térben véges számú ponttal szembesülve a legkézenfekvőbb geometriai művelet, amely rájuk alkalmazható, az, hogy megvizsgálják a domború burkukat: az úgynevezett politopot .
A konvex kombinatorikus geometria alapvető objektuma a politóp , amelyet véges számú pont konvex burkolataként határozhatunk meg .
Csak a példa kétségtelenül a kombinatorikus geometria leghíresebb eredménye, a 3. dimenzióban a politop csúcsainak, éleinek és felületeinek számát Euler képlete kapcsolja össze (lásd ezt a témát az Euler jellemzői című cikkben ):
Tekintsünk egy sor a d + 2 pontot affin tér dimenziója d .
Radon tétele szerint:
Tétel ( Radon ) - Az A két részből álló A 1 , A 2 partíciót enged be , amelynek konvex borítékjai Conv ( A 1 ) és Conv ( A 2 ) találkoznak.
Helly és Carathéodory tételeinek párhuzamos megadásához bevezetünk egy jelölést: minden i index esetében, amely 1 és d + 2 között változik , jelöljüka konvex borítékot a pontok Egy eltérő ponton egy i . A 2. dimenzió, az egyes Δ i lenne egy háromszög (és nem lenne négy); a 3. dimenzióban öt tetraéder gyűjteményével foglalkoznánk, és így tovább.
A következő két állítás a Helly és Carathéodory tételek leggyakoribb állításainak speciális esete, amelyek azonban lényegében az összes információt tartalmazzák: az egyik könnyen feloldja az alábbiakban megadott verziókból kiinduló általános állításokat.
Tétel ( Helly ) - Van egy közös pont a d + 2 szimplexeknek Δ i .
Tétel ( Carathéodory ) - A d + 2 szimplexek delta i kiterjed az egész konvex politóp borítékot A .
Ezek a tételek szorosan összefüggenek egymással: a Helly leggyakoribb bizonyítása Radonon alapszik, míg az egyik könnyen igazolja a Carathéodory-t függetlenül, de lehetséges például Helly levezetése a Carathéodory-ból vagy ennek ellenkezője.
Számtalan változat meghatározza vagy általánosítja őket.