Lipschitz-alkalmazás

A matematikai analízis , a Lipschitzian térkép (névadója Rudolf Lipschitz ) egy térkép rendelkeznek bizonyos tulajdonsága szabályosság , amely erősebb folytonosság . Intuitív módon ez egy olyan funkció, amelynek fejlődése korlátozott. Az ilyen függvény grafikonjának két pontját összekötő bármely szakasz lejtése abszolút értékben kisebb lesz, mint a Lipschitz-állandónak nevezett állandó .

A lipchitzi függvények a hölderi függvények speciális esetei .

Definíciók

Valódi eset

Hadd E lehet része ℝ, egy térképet, és k egy pozitív valós szám . ${\ displaystyle f: E \ to \ mathbb {R}}$

Azt mondjuk, hogy f jelentése k -lipschitzian ha

\ forall (x, y) \ E ^ -ben {2}, ~ | f (x) -f (y) | \ leq k ~ | xy |

Metrikus terek esete

Let és a metrikus terek , egy alkalmazást, és k pozitív valós. $(E, d_ {E})$ ${\ displaystyle (F, d_ {F})}$ $f: E \ -től F-ig$

Azt mondjuk, hogy f jelentése k -lipschitzian ha

\ forall (x, y) \ E ^ -ben {2}, ~ d_ {F} \ balra (f (x), f (y) \ jobbra) \ leq k ~ d_ {E} (x, y).

Továbbá

f azt mondják, hogy Lipschitzian ha létezik k ≥ 0 úgy, hogy f IS k -lipschitzian.
Ha vannak ilyen k, akkor ezek közül a legkisebb létezik, és az f Lipschitz-állandójának nevezzük .
Jelöljük Lip ( f ) -vel ezt az állandót: van ${\ displaystyle {\ text {Lip}} (f) = \ sup _ {x \ neq {y}} \ bal ({\ frac {d {\ bigl (} f (x), f (y) {\ bigr )}} {d (x, y)}} \ jobbra)}$
f azt mondják, hogy az ajánlatkérő , ha van egy olyan, hogy f jelentése k -lipschitzian, más szóval, ha Lip ( f ) <1. ${\ displaystyle k \ in [0,1 [}$
f van helyben nevezik Lipschitzian amennyiben bármely pontja x a E , létezik egy szomszédságában V az x olyan, hogy a korlátozás a F , hogy V jelentése Lipschitzian (egy bizonyos állandó k , amelyek függenek V , ezért x ).

Tulajdonságok

Jellemzés a levezethető függvények között

Egy valós intervallumon belül differenciálható $f$ függvény akkor és csak akkor Lipschitz-féle, ha a deriváltja korlátos.

Következmények

Bármely valós funkció egy korlátozott, zárt valós intervallum alatt folyamatosan differenciálható, Lipschitz-féle.
Következésképpen bármely intervallumon belül folyamatosan differenciálható funkció lokálisan Lipschitz-féle.

Néhány tulajdonság

Bármely Lipschitz-függvény egyenletesen folytonos, és minden helyi Lipschitz-függvény folyamatos. Valójában a Lipschitz-függvények pontosan az 1-Hölder- függvények, de minden Hölder-függvény egységesen folytonos.
Ha két metrikus tér ( E 1 , d 1 ) és ( E 2 , d 2 ) szorzatán definiált f függvény az első változóhoz képest k 1 - és a másodikhoz képest k 2 - lipschitz. ez ( k 1 + k 2 ) - Lipschitzian, ezen a terméken E = E 1 × E 2, amely a d E távolsággal rendelkezik, amelyet d E ( x , y ) = max ( d 1 ( x 1 , y 1 ), d 2 ( x 2 , y 2 )). Valóban, akkor:d F ( f ( x ), f ( y )) ≤ d F ( f ( x 1 , x 2 ), f ( y 1 , x 2 )) + d F ( f ( y 1 , x 2 ), f ( y 1 , y 2 )) ≤ k 1 d 1 ( x 1 , y 1 ) + k 2 d 2 ( x 2 , y 2 ) ≤ ( k 1 + k 2 ) d E ( x , y ).
A kompakt térben bármely helyi lipchicsi függvény lipcsicsi.
Bármilyen valós Lipschitzian funkció van ( abszolút folytonos és ezért korlátos variáció ) származtatható szinte mindenütt a Lebesgue és annak származékát is lényegében korlátos .
Egy Rademacher-tétel szerint minden ℝ n-n definiált Lipschitz-függvény továbbra is szinte mindenütt megkülönböztethető Lebesgue-ben. Ezáltal a Lipschitz-függvények nagyon hasznosak a matematika különféle ágaiban, például a geometriai elméletben, mivel a differenciálhatóság szinte mindenhol több mint elegendő.
Bármilyen egyszerű határa f a k -lipschitzian funkciók f n : E → F jelentése k -lipschitzian. Valójában a kompakt egyszerű határértéke automatikusan egységes (az egységes Lipschitzianity egyenlőség-folytonosságot von maga után, ami egyenletes konvergenciát jelent bármely kompaktnál). Legyen ε> 0; megmutatjuk, hogy f (k + ε) -lipschitz. Minden pont x és y az E van a létezését N, hogy a n≥N általunk d F ( f ( x ), F n ( x )) ≤ δ (figyelembe ügyesen δ = d E ( X , y ) ε / 2) és hasonlóan y-re (még akkor is, ha ez jelenti a legnagyobbat N_x és N_y között):
d F ( f ( x ), f ( y )) ≤ d F ( f n ( x ), f n ( y )) + 2 δ ≤ kd E (x, y) + ε d E ( x , y ) f (k + ε) -lipschitz minden ε esetén ebből következik, hogy f k-Lipscitz.
A Kirszbraun tétel (en) (látható két euklideszi terek által Mojżesz David Kirszbraun majd generalizált Frederick Valentine) biztosítja, hogy két Hilbert terek H 1 , H 2 , Lipschitz függvény egy része M 1 és értékek H 2 Can kiterjeszthető Lipschitz-függvénybe egész H 1- től H 2 -ig , ugyanazzal a Lipschitz-állandóval.

Példák

Egy alkalmazás 0-lipcsicsi akkor és csak akkor, ha állandó.
Bármi legyen is a valós ε> 0, a négyzetgyök függvény nem Lipschitz-féle [0, ε] -on, sőt (ami a folytonosság szerint valójában egyenértékű)] 0, ε] -on (ez csak 1 ⁄ 2 - Hölderiánus).
A korlátozott zárt intervallumon [0, 1] definiált g függvény , amelyet g ( x ) = x 3/2 sin (1 / x ) határoz meg, ha x ≠ 0 és g (0) = 0 az egész tartományában differenciálható, de nem Lipschitzian, a korlátlan származék miatt.

Megjegyzések és hivatkozások

Stéphane Balac és Laurent Chupin , elemzése és algebra: második évben matematika természetesen korrigálni gyakorlatok és illusztrációk Maple , Lausanne, PPUR ,2008( online olvasható ) , p. 558.
Alain Yger és Jacques-Arthur Weil , alkalmazott matematika L3: Teljes tanfolyam 500 kijavított teszttel és gyakorlattal , Párizs, Pearson,2009( online olvasható ) , p. 141.
(in) " fraktálok és önhasonlóság, 716. o. " Az Indiana Egyetemen
demonstrációját lásd például ebben a szakaszban a leckét „funkciók egy valós változó” a Wikiversity .

Kapcsolódó cikkek