A Lebesgue-mérték egy olyan mérték, amely kiterjeszti a térfogat intuitív fogalmát a tér egy nagyon nagy osztályára. Mint feltalálója, Henri Lebesgue azonnal észrevette , lehetővé teszi a modern elemzésben az integráció nagyon erős és alapvető elméletének felépítését : a Lebesgue-integrál elméletét .
A Lebesgue-mérés számos nagyon különböző konstrukciója ismert. Természetesen mindegyik meghatározható; egy cikk kapcsán, ahol mindet meg kell említeni, körültekintő a nyitáskor egységesebb meghatározást adni. Ez durván szólva jellemzi a Lebesgue-mértéket, mint a "legjobb" mérőszámot, amely megadja a szokásos szilárd testeknél elvárt értékeket - a téglalap alakú párhuzamos és a tengelyekkel párhuzamos oldalú párhuzamosok figyelembevételét. Az alábbiakban ismertetett létezés és egyediség tételében az egyediség viszonylag könnyű, míg a bizonyítás lényeges része a lét: a nehézséget valóban a kívánt mérték megalkotása jelenti.
A következő állításban „blokkok” alatt korlátozott intervallumú derékszögű szorzatokat értünk , vagyis az I 1 × I 2 × ... × I n halmazokat , ahol az I i interval intervallumai, amelyek legyen zárt, nyitott vagy félig nyitott.
Tétel és meghatározása - Van egy legkisebb intézkedés meghatározott több mint egy törzs a ℝ n , amely teljes , és egybeesik a cobblestones azok térfogata (azaz a termék hosszának oldalukon).
Ezt az intézkedést Lebesgue-mértéknek nevezik, és meghatározó törzsét a Lebesgue-törzs .
Kiegészítés - Lebesgue mértéke a boréli törzsre való korlátozásának befejezett mértéke .
A Lebesgue-intézkedés Boreliansra vonatkozó korlátozását néha Borel-Lebesgue- mértéknek nevezik .
Az egyediség és a kiegészítő bizonyítékaLegyen μ 1 és μ 2 két mérés, amelyek mind megfelelnek a tétel feltételének. Először megmutatjuk, hogy μ 1 és μ 2 egybeesik a el n boréliai törzsön . Minden k ≥ 1 esetén E k-vel jelöljük az E k = [- k , k ] n blokkot . Az E k-ban szereplő blokkok kereszteződés útján stabil rendszert alkotnak, amely létrehozza az E k boréliai törzsét , és az E k blokkon a boréliai törzsre vonatkozó μ 1 és μ 2 korlátozások azonos véges tömegűek (2 k ) n : a lemma a egyediségét a valószínűsége intézkedések ezért azok egybeesnek a Borelian törzs E k . Bármely Any n borélián ekkor az E k- val való metszéspontjainak növekvő megszámolható egyesülése , amely lehetővé teszi annak biztosítását, hogy μ 1 és μ 2 egybeesjenek a Bor n boréli törzsével .
Miután ez a lépés befejeződött , a borél törzs befejezett törzse megegyezik μ 1 és μ 2 esetében , a két μ 1 és μ 2 mérés még mindig szükségszerűen egybeesik. E törzsre vonatkozó közös korlátozásuk tehát egy teljes mérték, amely megfelel a hipotéziseknek. A μ 1 és μ 2 minimális értékével mindkettő egyenlő ezzel a korlátozással, ezért egyenlő egymással. A kiegészítés egyidejűleg látható.
Mi jelöljük λ n az intézkedés Lebesgue és a törzs Lebesgue . E törzs elemeiről azt mondják, hogy Lebesgue-mérhető halmazok ; egy adott törzsre való hivatkozás hiányában általában ezt értjük, amikor "" mérhető részéről "vagy dimenziójú térről beszélünk . A „Borel-Lebesgue mértéket” leggyakrabban Lebesgue-mértéknek nevezik - ez nem túl zavaró, mert egy intézkedésnek és annak kiegészítésének nagyon sok jellemzője van, és különösen ugyanazok az integrálható funkciók terei vannak. Az olvasó találkozik utalás a „Lebesgue” mindazonáltal továbbra is az ő őr, különösen elmélete termék intézkedések és a többszörös integrálok, ahol az állítások némileg eltérhet az egyik, a másik variánsai.
Amint az alábbiakban látható, a Lebesgue-mérték invariáns minden under n euklideszi izometriában . Ez igazolja a következő meghatározás érvényességét:
Definíció - Lebesgue- mérésnek nevezzük az euklideszi térben E, a Lebesgue-mérés képmértékét E n-en bármelyik izometrikus ℝ n -vel E-ben .
Végül az „euklideszi mérték” terminológiát használják a mérhető részekre való korlátozására is:
Definíció - Vagy At a Lebesgue-mérhető része egy euklideszi térben E . Úgynevezett Lebesgue on A korlátozás A a Lebesgue mértéke E .
Az itt használt tétel létezésének meghatározása definícióként egy jelentős munka: a mérték felépítéséről van szó. Három konstrukciócsaládot különböztethetünk meg:
A konstrukció minden esetben a belső mérték és a külső mérték, vagy az alsó integrál és a felső integrál fogalmának meghatározásán alapul. Ezeket a funkcionálokat az ℝ n összes részén (az intézkedésekhez) vagy az összes pozitív függvényen definiáljuk (ℝ n-nél (az integráloknál)), de két különböző értéket vehet fel. Azzal, hogy csak halmazokra (vagy függvényekre) szorítkozunk, ahol egybeesnek, megállapíthatjuk, hogy gazdag mérési (vagy integrációs) elméletet építettünk fel.