Korlátozott variációs függvény

A elemzés , a funkció azt mondta , hogy a korlátos változású , ha az megfelel egy bizonyos feltétel rendszeresség. Ezt a feltételt Camille Jordan matematikus vezette be 1881-ben , hogy kibővítse Dirichlet tételét a Fourier-sorok konvergenciájáról .

Meghatározás

Legyen f egy teljesen rendezett T halmazon definiált függvény , amelynek értéke metrikus térben ( E , d ) van.

Bármely alegysége σ = ( x 0 , x 1 , ..., x n ) a bármely intervallum a T , definiálunk V ( f , σ) által:

V(f,σ)=∑én=1nemd(f(xén-1),f(xén)).{\ displaystyle V (f, \ sigma) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} d (f (x_ {i-1}), f (x_ {i})).}

Hívjuk teljes változási az f a T értéke V T ( f ) ∈ ℝ határozzák meg:

VT(f)=supσV(f,σ).{\ displaystyle V_ {T} (f) = \ sup _ {\ sigma} V (f, \ sigma).}

Azt mondjuk, hogy f egy korlátos változású, ha ez a felső határa az V. T ( f ) véges, más szóval, ha a „arc” (nem feltétlenül folyamatosan) által meghatározott f jelentése rectifiable abban az értelemben, Jordan .

A koncepció érdeke

A monoton függvények az elemzés fontos funkcióosztályát alkotják. Ennek azonban hátránya, hogy nem invariáns az alapvető algebrai műveleteknél: például két monoton függvény összege nem feltétlenül monoton. Mivel minden korlátozott variációjú függvény két monoton függvény összege, és fordítva , a korlátozott variációkkal rendelkező függvények a monoton függvények általánosításaként tekinthetők, de azzal az előnnyel, hogy a korlátozott variációkkal rendelkező függvénykészlet kiegészítéssel vagy a szorzás gyűrűt képez  : két függvény összeadása és szorzata korlátozott variációkkal.

Tulajdonságok

• A teljes variáció (véges vagy végtelen) egy folytonos függvény f több mint egy igazi szegmens [ a , b ] nem csak a felső határa V ( F , σ) , amikor σ végighalad alkörzeteit [ a , b ], hanem a határ, amikor az σ felosztás lépése 0 felé halad. Következtethetünk arra, hogy egy folytonos függvény f korlátozott variációval a t ↦ V [ a , t ] ( f ) térkép folytonos.
• Ha φ egy bijekciót növekvő másik rendezett halmaz S hogy T , a teljes variációs f ∘φ a S jelentése megegyezik a f a T .
• Az E vektor által normált tér esetében a korlátozott variációs függvények az E függvények T- terének alterét képezik .
• Bármely abszolút folytonos F függvény (különösen bármely Lipschitz-függvény ) korlátozza a variációt. Más szavakkal: ha f az integrálható abban az értelemben, Lebesgue intervallumon I akkor az a rögzített I , a funkció x↦F(x)=∫nál nélxf(t) dt{\ displaystyle x \ mapsto F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) ~ \ mathrm {d} t} korlátozott variáció. Valóban,Vnál nélx(F)≤∫nál nélx|f(t)|dt≤∫én|f(t)| dt.{\ displaystyle V_ {a} ^ {x} (F) \ leq \ int _ {a} ^ {x} \ vert f (t) \ vert dt \ leq \ int _ {I} \ vert f (t) \ zöld ~ \ mathrm {d} t.}
• Be van állítva minden függvény korlátozott variációval (vagyis a lépcsőfüggvények sorozatának egységes határa ).
• Az segment valós szegmensének korlátozott variációjú függvényei pontosan két növekvő függvény különbségei (egy ilyen bomlás f = g - h korántsem egyedi; ha f folytonos, akkor g és h folytonosként választható: h példa ( t ) = V [ a , t ] ( f ) és g = f + h ). Mi arra következtethetünk, hogy a dis folytonosságok a lényegtelen és a forma egy sor , hogy a legtöbb megszámlálható és hogy ezek a funkciók származtatható szinte mindenhol (abban az értelemben, a Lebesgue ) származó lokálisan integrálható származékok .
• Vannak végtelen teljes variációval levezethető függvények, például az f függvény , amelyet f [ x, = x 2 cos 2 (π / x 2 ) ] határoz meg az [–1, 1] -en, ha x ≠ 0 és f (0) = 0 .

Általánosítás többváltozós függvényekre

A több változóval rendelkező funkciókra kiterjesztett definíció a Vitali variációjával végezhető el. Vitali javaslata alapján Lebesgue és Fréchet vette át.

Legyen f egy blokkon definiált függvény . Észrevettük : [nál nél1,b1]×⋯×[nál nélnem,bnem]⊆Rnem{\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}

Δhk(f,x)=f(x1,x2,⋯,xk+hk,⋯,xnem)-f(x1,x2,⋯,xk,⋯,xnem){\ displaystyle \ Delta _ {h_ {k}} (f, x) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {k} + h_ {k}, \ cdots, x_ {n} ) -f (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {k}, \ cdots, x_ {n})}

akkor rekurzív módon,

Δh1,h2,⋯,hk(f,x)=Δhk(Δh1,h2,⋯,hk-1,x).{\ displaystyle \ Delta _ {h_ {1}, h_ {2}, \ cdots, h_ {k}} (f, x) = \ Delta _ {h_ {k}} (\ Delta _ {h_ {1}, h_ {2}, \ cdots, h_ {k-1}}, x).}

Ezután minden irányban adunk magunknak pontszekvenciákat , és társítunkπk{\ displaystyle \ pi _ {k}}nál nélk=tk1<tk2<⋯<tkNEMk+1=bk{\ displaystyle a_ {k} = t_ {k} ^ {1} <t_ {k} ^ {2} <\ cdots <t_ {k} ^ {N_ {k} +1} = b_ {k}}hkén=tkén+1-tkén.{\ displaystyle h_ {k} ^ {i} = t_ {k} ^ {i + 1} -t_ {k} ^ {i}.}

A változás Vitali értelemben f adja meg:

Vnem(f)=sup(π1,...πnem)∑k=1nem∑énk=1NEMk|Δh1én1,h2én2,⋯,hkénk(f,(x1én1,x2én2,⋯,xkénk))|{\ displaystyle V ^ {n} (f) = \ sup _ {(\ pi _ {1}, ... \ pi _ {n})} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ sum _ {i_ {k} = 1} ^ {N_ {k}} \ balra | \ Delta _ {h_ {1} ^ {i_ {1}}, h_ {2} ^ {i_ {2}}, \ cdots, h_ {k} ^ {i_ {k}}} \ balra (f, (x_ {1} ^ {i_ {1}}, x_ {2} ^ {i_ {2}}, \ cdots, x_ {k} ^ { i_ {k}}) \ right) \ right |}

A variáció ezen meghatározása kibővíthető a Hardy-Krause variáció meghatározásával:

A Hardy-Krause variációja f képlet adja meg:

V(f)=∑Vnem(f){\ displaystyle V (f) = \ összeg V ^ {n} (f)}

ahol az összeg kerül sor az összes homlokzata minden részintervallumok a blokk a mérete kisebb vagy egyenlő, mint n .[nál nél1,b1]×⋯×[nál nélnem,bnem]⊆Rnem{\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

1. Ellenpélda  : Az f  : x ↦ -x és g  : x ↦ x 3 függvények egyaránt monotonak, az f + g azonban nem.

Hivatkozások

1. Godfrey Harold Hardy (  angolból Alexandre Moreau fordításában ), "Camille Jordan" , matematikában és matematikusokban , Nitens,2018( 1 st  szerk. 1922) ( ISBN  9782901122005 ).
2. Gustave Choquet , elemző tanfolyam, II . Kötet: Topológia , p. 99-106.
3. Xavier Gourdon, a matematika szem előtt: elemzés , Párizs, ellipszis,2008, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1994), 432  p. ( ISBN  978-2-7298-3759-4 ) , fejezet.  2 ("Valódi változó funkciói").
4. (in) J. Yeh , Valódi elemzés: A mérés és az integráció elmélete, Világtudományi ,2006, 2 nd  ed. , 738  p. ( ISBN  978-981-256-653-9 , online olvasás ) , p.  265 : "  A korlátozott variáció függvényeinek Jordan bomlása  "
5. (It) G. Vitali , "  Sui gruppi di punti and sulle funzioni di variabili reali  " , Atti Accad. Sci. Torino , vol.  43,1908, P.  229-246
6. (De) H. Hahn , Theorie der reellen Funktionen. Erster Band. ,1921

Külső hivatkozás

en) „A korlátozott variáció funkciója” , Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , online olvasás )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">