Helyileg integrálható funkció

A matematika , különösen az integráció elmélet Lebesgue , a funkció az értékek komplex készlet egy nyitott $Ω$ az $ℝ n$ mondják , hogy lokálisan integrálható , ha korlátozás minden kompakt az $Ω$ van integrálható a Lebesgue $λ n$ . A vektortér Ezen funkciók jelöljük $ℒ 1 loc (Ω)$ és annak hányadosa által altér nulla funkciók majdnem mindenütt jelöljük $L 1 loc (Ω)$ .

Egyenértékű meghatározások

Bármely $f : Ω \to ℂ függvény$ esetében a következő tulajdonságok egyenértékűek:

$f$ lokálisan integrálható (a fenti értelemben);
$f$ jelentése Lebesgue - mérhető és bármilyen kompakt $K$ a $Ω$ , ${\ displaystyle \ int _ {K} | f | ~ {\ rm {d}} \ lambda _ {n} <+ \ infty \,;}$
bármilyen teszt funkció $φ$ az $Ω$ (azaz bármilyen funkció C ∞ egy kompakt támogatást az $Ω$ a ℂ), $f φ$ jelentése Lebesgue-integrálható;
$f$ Lebesgue-ben mérhető, és bármilyen $tesztfunkcióra φ$ on $Ω$ , ${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} | f \ varphi | ~ {\ rm {d}} \ lambda _ {n} <+ \ infty.}$

Bármely integrálható funkció lokálisan integrálható.
Általánosabban: $L 1 loc$ (Ω) minden $p$ $[1, + \infty] esetén$ $L p (Ω)$ $-ot tartalmaz$ .
Bármely helyileg korlátozott mérhető függvény (különösen minden folyamatos függvény ) lokálisan integrálható.
Az $f$ (szinte mindenhol) $f ( x ) = 1 / x$ által definiált $f$ függvény - amely tehát $L 1 loc$ (ℝ *) -hez tartozik - nem tartozik az $L 1 loc$ (.) -Hez.

$L 1 loc (Ω)$ egy Fréchet teret , annak lokálisan konvex teret szerkezettel társított család, indexelt a kompaktok $K$ a $Ω$ , a félig-szabványok $║ ║ K$ által meghatározott:

{\ displaystyle \ | f \ | _ {K} = \ int _ {K} | f | ~ {\ rm {d}} \ lambda _ {n}.}