Fréchet tér

A Fréchet-tér egy topológiai vektortér matematikai szerkezete , amely norma hiányában is kielégít bizonyos Banach-terekre vonatkozó tételeket . Ez a név Maurice Fréchet francia matematikusra utal, aki részt vett a topológia megalapításában és annak funkcionális elemzésben való alkalmazásában . A Fréchet terek szerkezete ebben az utolsó tartományban különösen hasznos, különösen azáltal, hogy természetes topológiát nyújt a végtelenül differenciálható funkciójú tereknek és az eloszlási tereknek .

Meghatározás

A valódi topológiai vektorteret Fréchet-térnek nevezzük, ha egyszerre van:

lokálisan domború ;
mérhető ;
és teljes az egységes terek értelmében ,

vagy egyszerűbben: ha lokálisan domború és teljes távolsággal mérhető és fordítással invariáns.

A nullától eltérő Fréchet-tér esetében a topológiát indukáló transzlációval többféle invariáns távolság létezik, és ezek mind teljesek, mivel ugyanazt az egységes szerkezetet indukálják.

A funkcionális elemzés során a következő egyenértékű meghatározást használják közvetlenül:

A Fréchet tér egy teljes valós topológiai vektor teret (az egységes értelemben), amelynek topológia indukáljuk megszámlálható és elválasztó család a félig-normák .

Hasonlóképpen, a félnormák ilyen családjának nincs kanonikus választása. Az kompatibilis és az invariáns távolságok, valamint a félnormák ezen családjai között nincs természetes elválasztás.

Példák

Bármely Banach szóköz Fréchet szóköz, de fordítva hamis, azaz egyes Fréchet szóközök, például C ∞ ([0, 1]) vagy C (ℝ), nem normálhatók .

A [0, 1] intervallumon belül végtelenül differenciálható függvények C ∞ ([0, 1]) terét félnormákkal látjuk el k ≥ 0 egész számra : ${\ displaystyle p_ {k} (f) = \ sup _ {x \ in [0,1]} \ balra | f ^ {(k)} (x) \ jobbra |}$ ahol f (0) = f és minden k > 0, F ( k ) jelöli a k th származékot az F . Ebben a térben, egy szekvenciát ( f n ) funkciók konvergál a függvény f ∈ C ∞ ([0, 1]), ha és csak akkor, ha minden k ≥ 0, a szekvencia ( F n ( k ) ) konvergál egyenletesen hogy f ( k ) .
A Fréchet teret C ( X ) folytonos függvények egy topologikus tér X σ-kompakt van ellátva a félig-szabványok által meghatározott sup normák egy sor kompaktok K n kiterjedő X (az X = ℝ, tudjuk venni K n = [- n , n ]). A kapott topológiát a kompakt-nyitott topológiával azonosítják . Például a szekvenciák (valós vagy komplex) C ( ℕ ) helyére szingleteket vehetünk tömörítésként . A megfelelő félnormák minden szekvenciához asszociálják a szekvencia fix indexének modulusát. A szekvenciák sorozatának konvergenciája tehát a hosszú távú konvergenciát jelenti.

E két ötlet ötvözésével definiálunk egy Fréchet-struktúrát a C m ( m ≤ $\infty$ ) osztályfüggvények térén open p nyitott Ω- on , értékekkel pedig egy Banach-térben , a félstandardok felhasználásával. ${\ displaystyle p_ {k, n} (f): = \ sup _ {| \ alfa | = k} \ sup _ {x \ a K_ {n}} \ | \ részleges ^ {\ alfa} f (x) \ | \ quad (n, k \ in \ mathbb {N} {\ text {és}} k \ leq m)}$ ahol az α több indexet jelöl, és a tömörítések sorozata K n lefedi az Ω-ot.

Mi határozza meg az azonos, még általánosabban a Fréchet tér funkcióinak C osztály m a különböző σ-kompakt C osztály m .

Tulajdonságok

A teljességi hipotézis lehetővé teszi Baire-tétel és következményeinek alkalmazását többek között a Fréchet-terekben :
- a Banach-Steinhaus-tétel : a Fréchet-tér bármely topológiai vektortérben található, egyszerűen leírt lineáris térképcsaládja egyenlő folytonosságú;
- a nyitott térkép tétel : a két Fréchet-tér közötti bármely szurjektív folytonos lineáris térkép nyitva van ;
- ennek következménye: bármely folytonos, lineáris bijektív térkép két Fréchet-tér között homeomorfizmus ;
- a zárt gráf tétel : a zárt gráf bármely lineáris alkalmazása két Fréchet tér között folyamatos.

A helyi konvexitás a következő tulajdonságokat is biztosítja:
- a Fréchet-tér pontjait elválasztja topológiai kettős (vö. Hahn-Banach tétel ).
- a Fréchet-tér bármely kompakt domborúsága a végpontjainak domború burkolatának tapadása (vö. Kerin-Milman tétel ).

A helyi inverziós tétel általában nem vonatkozik a Fréchet-szóközökre, de gyenge változatot találtak Nash-Moser-tétel néven .
A Fréchet-tér bármely hányadosa egy zárt vektoros altérrel teljes (tehát Fréchet-tér). A mérhetőség hipotézise itt döntő fontosságú.

Gateaux-ból származik

Két folyamatos Fréchet-tér közötti lineáris térképek tere, amelyek nem képezik a priori Fréchet-teret, a két Fréchet-tér közötti folyamatos funkciók differenciáljának felépítése a Gateaux- származék meghatározásán megy keresztül .

Φ egy nyitott U és egy Frechet X térben definiált függvény , amelynek értéke egy Y Frechet térben van . A Gateaux származéka Φ egy olyan ponton x a U , és egy olyan irányba h az X jelentése a határ Y (ha létezik)

${\ displaystyle \ Phi '(x; h) = \ lim _ {t \ to 0 \ at t t \ neq 0} \, {\ frac {1} {t}} {\ Big (} \ Phi (x + th) ) - \ Phi (x) {\ Nagy)},}$

ahol a t változót valósnak vesszük.

A funkció Φ azt mondják, hogy Gateaux-differenciálható in x , ha létezik egy folytonos lineáris térképe Φ ' G ( x ) a X az Y úgy, hogy minden órán a X , (Φ' G ( x )) ( h ) = Φ „( x; h ).

Az Φ alkalmazás differenciáltsága ezután az X × X Frechet tér egy részén meghatározott függvényként tekinthető Y értékekkel . Esetleg sorban megkülönböztethető.

Például a D ( f ) = f ' által definiált D : C ∞ ([0,1]) → C ∞ ([0,1]) derivált lineáris operátor végtelenül differenciálható. Ennek első eltérés például meghatározni minden pár ( f , h ) a végtelenül differenciálható függvények által D ' ( f ) ( h ) = H' , azaz a D ' ( f ) = D .

A Cauchy-Lipschitz-tétel azonban nem terjed ki a közönséges differenciálegyenletek megoldására a Fréchet-tereken, minden általánosságban.

Megjegyzések és hivatkozások

(in) Jean Dieudonné , Értekezés a Analysis , Vol. 2. o. 66 .
(en) SM Khaleelulla, ellenpéldák topologikus vektorterekben , NML 936, p. 108., egy példát ad (a MathOverflow- n említve ) egy lokálisan konvex teljes térről, amelynek egy bizonyos zárt altér hányadosa még szekvenciálisan sem teljes.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

N. Bourbaki , Matematika elemei , EVT , Masson kiadások , 1981
en) François Treves , topológiai vektorterek, terjesztések és magok , Doveri kiadványok ,2013( 1 st ed. , 1967, Academic Press ), 592 p. ( ISBN 978-0-486-31810-3 , online olvasás )