Baire tétele

A Baire-tétel , más néven lemma Baire , a topológia tétele René Baire matematikus miatt .

Baire terek

Azt mondjuk, hogy a topológiai tér akkor egy Baire-tér, ha a sűrű nyílások bármely megszámlálható kereszteződése sűrű. Ennek megfelelően a topológiai tér akkor Baire, ha a belső üregek bezáródásával számolható egyesülések belül üresek, vagy ha az egyetlen nyitott sovány üres. Baire lemma (vagy tétele) elegendő feltételeket ad ahhoz, hogy bizonyos terek Baire-é legyenek.

Baire tételének megállapítása

Baire tétele három állításból áll:

1. Bármely helyileg kompakt hely Baire-től származik. Következésképpen: a helyileg kompakt, nem üres tér nem a zárt belső üresek számolható egyesülése;
2. Minden teljesen mérhető tér Baire-től származik;
3. Minden, ami Baire terére nyílik, Baire-re vonatkozik.

Demonstráció

A következőkben int ( A ) az E rész A részének belsejét jelöli .

1. Legyen E helyileg kompakt tér. Azt fogjuk használni, hogy E- ben minden nem üres nyitott elem nem üres belső tömörítést tartalmaz . Valóban, minden nyitott tartalmazó pont x tartalmaz kompakt szomszédságában az x , mert x egy alapja kompakt környékeken .

Legyen E és V között sűrű nyílások sorrendje bármilyen szabadon nyitott; meg akarjuk mutatni, hogy U n metszéspontja találkozik V-vel . (Unem)nem∈NEM{\ displaystyle (U_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

Mivel az U 0 sűrű, találkozik V-vel . Mivel a nyitott U 0 ∩ V nem üres, egy nem üres beltéri K 0 kompaktumot tartalmaz . Ha K 0-t választottuk, az U 1 ∩int ( K 0 ) nem üres nyitott, ezért tartalmaz egy nem üres belső kompakt K 1-et .

Ennek a konstrukciónak az iterálásával a nem üres kompaktok K n csökkenő sorozatát kapjuk meg úgy, hogy és . K0⊂V{\ displaystyle K_ {0} \ V részhalmaz∀nem∈NEM,Knem⊂Unem{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, K_ {n} \ U_ {n}} halmaz

Ezután tartalmazza a K n metszéspontját, amely (a beágyazott kompakt tétel szerint ) nem üres, ami bizonyítja az eredményt. V∩⋂nem∈NEMUnem{\ displaystyle V \ cap \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} U_ {n}}

2. Abban az esetben, ha E egy teljes metrikus tér , az érvelés analóg, ezúttal a metrikus térben használva, minden nem üres nyitás tartalmaz egy szigorúan pozitív sugárú (tehát nem üres belső) zárt labdát. Így konstruálunk egy csökkenő szekvenciát a zárt B n gömböknek, amelyek sugara kisebb, mint 1 / ( n +1), így és . B0⊂V{\ displaystyle B_ {0} \ V részhalmaz∀nem∈NEM,Bnem⊂Unem{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, B_ {n} \ U_ {n}} halmaz

Ezután tartalmazza a B n metszéspontját , amely (a zárt beágyazott tétel szerint ) nem üres, ami bizonyítja az eredményt. V∩⋂nem∈NEMUnem{\ displaystyle V \ cap \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} U_ {n}}

3. Legyen O egy nyitott tér Baire E . Az O bármilyen karcsú nyitása (az indukált topológia szempontjából ) nyitott és sovány E-ben is , ezért üres.

Az E szóközről azt mondják, hogy „teljesen Baire-é”, ha E-vel bezárt minden Baire-vel van. Helyileg kompakt terek és teljesen mérhető terek esetében ez a kiegészítő tulajdonság automatikus.

Néhány alkalmazás

Elemzés

• Funkcionális elemzés  :
  • a nyílt leképezés, a zárt gráf, a Banach-izomorfizmus tételei ,
  • A Banach-Steinhaus-tétel ,
  • Baire egyszerű limit tétele ,
  • Blumberg tétele ,
  • a Banach tér a folytonos függvények [0, 1], a részhalmazát sehol sem differenciálható függvények tartalmaz egy sűrű G δ ;
• Jellemzése a valós polinomok  : ha f egy függvény C ∞ úgy, hogy , akkor ez egy polinom (akkor vegye figyelembe az inverzió kvantorokat azzal a nyilvánvaló jellemzés ).(∀x∈R)(∃nem∈NEM)(f(nem)(x)=0){\ displaystyle (\ forall x \ in \ mathbb {R}) (\ n létezik n \ in \ mathbb {N}) (f ^ {(n)} (x) = 0)}(∃nem∈NEM)(∀x∈R)(f(nem)(x)=0){\ displaystyle (\ n létezik a \ mathbb {N} -ban) (\ forall x \ in \ mathbb {R}) (f ^ {(n)} (x) = 0)}

Demonstráció

Tekintsük a maximális (ezért zárt) nem triviális intervallumokat , amelyek felett f polinom ( Taylor szerint kettő-kettő diszjunkt, és véges végük bármelyik szomszédságában f csak az egyik oldalon polinom), és jelöljük Ω belső terük egyesülése. A zárt F  : = ℝ \ Ω tehát elszigetelt pont nélkül van . Tegyük fel (abszurd módon), hogy nem üres. Ahogy Baire-től származik és a zárt fedi Fnem: ={x∈R∣f(nem)(x)=0},{\ displaystyle F_ {n}: = \ {x \ in \ mathbb {R} \ f f {{n}} (x) = 0 \},} létezik egy természetes n szám és egy nyitott I intervallum , amely ∅≠én∩F⊂Fnem.{\ displaystyle \ lakkozás \ neq I \ cap F \ F_ alkészlet {n}.} Hadd J legyen egy összefüggő komponens az I. ∩Ω. A J , f polinom P . A felvétel a nyitott intervallum J az I. szigorú (mert I ⊄ Ω) tehát egy (legalább) a két végét J - jelöljük meg c - tartozik I , majd, a szomszédságában c , f olyan polinom, hogy oldalon, így c ∈ F . Most bármely pontja F egy pont a felhalmozási ezért I ∩ F , nem csak a f ( n ) értéke nulla, hanem, lépésről lépésre, és egymást követő származékai. Tehát (Taylor írta c-ben ) a P mértéke szigorúan kisebb, mint n . Így, F ( n ) = 0 nemcsak I ∩ F , de az egyes csatlakoztatott komponens J az I. ∩Ω, ezért I egészére. De akkor I Ω: abszurd.

Általánosságban elegendő azt feltételezni, hogy ahol D egy tetszőleges megszámlálható szám .(∀x∈R)(∃nem∈NEM)(f(nem)(x)∈D){\ displaystyle (\ forall x \ in \ mathbb {R}) (\ létezik n \ in \ mathbb {N}) (f ^ {(n)} (x) \ D-ben)}

Topológia

• Összekapcsolódás a teepee Cantor
• Kolmogorov szuperpozíció tétel
• Bármely teljes metrikus tér, amely nem üres és elszigetelt pont nélkül , végtelen és megszámlálhatatlan .
• Általánosságban elmondható, hogy egy különálló , nem üres Baire-tér sűrű nyílásainak bármilyen megszámlálható kereszteződése elszigetelt pont nélkül végtelen és megszámlálhatatlan.
• A végtelen dimenziójú Banach térben bármilyen alap megszámlálhatatlan (lásd Normalizált vektortér, § Teljesség ).

Megjegyzések és hivatkozások

1. (in) Vincent Kieftenbeld , három szekcióban leíró Set Theory , Denton, Texas, UNT ,2010( online olvasható ) , p.  24..
2. (Es) F. Sunyer i Balaguer és E. Corominas , „  Condiciones para que una función infinitamente származtatható tengeri un polinomio  ” , Rev. Árboc. Hisp.-Amer. , vol.  4, n o  14,1954, P.  26–43.
3. (in) HD Brunk és RP Boas , "  Szükséges és elegendő feltétel egy polinomhoz  " , Amer. Math. Havi , vol.  66, n o  7,augusztus. - szept. 1959, P.  599 ( online olvasás ).
4. (a) William F. Donoghue , eloszlások és Fourier transzformáció , Academic Press ,1969, 2 nd  ed. , 312  p. ( ISBN  978-0-08-087344-2 , online olvasás ) , p.  53.
5. (in) Ralph P. Boas, Jr., A Primer Real funkciók , UPC ,1996( online olvasható ) , p.  67-68.
6. (in) "  Ha [...], akkor f egybeesik egy polinommal  " a matematikai átfolyáson .
7. Hervé Queffélec és Claude Zuily, az összesítés elemzése , Dunod ,2013, 4 th  ed. ( online olvasható ) , p.  225 és 238.
8. (in) Boris Tsirelson  (in) , "  Mérték és kategória - 9a1 tétel  " a Tel Avivi Egyetemen ,2013.
9. Egy ilyen tér még tartalmaz egy altér homeomorf hogy Baire tér ℕ co  : lásd a „  Perfect set  ”.
10. Pierre Colmez , Az elemzés és az algebra elemei (és a számelmélet) , Les Éditions de l'École Polytechnique,2012, 2 nd  ed., javítva a 14.3 gyakorlattal a 223. oldalon.
11. Egy ilyen tér dimenziója megegyezik a folytonos feltételezést feltételező kardinálisával , de e feltételezés nélkül is: ( fr ) Lorenz Halbeisen és Norbert  Hungerbühler (de) , "  A Banach-terek Hamel-bázisainak kardinalitása  " , East-West Journal of Mathematics , vol.  2,2000, P.  153-159 ( online olvasás ).

Lásd is

Külső linkek

• Gilles Godefroy , a tétel szövege
• A BwataBaire , egy wiki, amely felsorolja Baire lemma különféle alkalmazásainak felsorolását, és átgondolja a hasonló jelenségekkel fennálló kapcsolatait.
• (en) Brian S. Thomson, Andrew M. Bruckner és Judith B. Bruckner, Real Analysis ,2008, 2 nd  ed. ( ISBN  978-1-43484412-5 , online olvasás )( előnézet a Google Könyvekben )

Kapcsolódó cikkek

Osgood-tétel  (de)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">