Helyileg domború tér

A matematika , a lokálisan konvex tér egy topológiai vektor teret , amelynek topológia segítségével lehet meghatározni egy család a félig-normák . A normált tér fogalmának általánosítása .

Meghatározás

Az E topológiai vektortér lokálisan domború, ha kielégíti a következő két egyenértékű tulajdonság egyikét:

van egy család a félig szabványok oly módon, hogy a topológia E jelentése eredeti az alkalmazásokkal ; $\ mathcal {P}$ ${\ displaystyle \ {x \ mapsto p (xy) \ y y közepe E, p \ in {\ mathcal {P}} \}}$
a nulla vektornak konvexek által alkotott szomszédsági alapja van .

Ebben az esetben a félstandardok családja mindig szűrhető .

A két definíció egyenértékűségének bemutatása

(1) ⇒ (2)
Valójában a félig-norma p on E egy konvex függvény , és ezért bármely R > 0, a készlet X az E kielégítő p ( x ) < R jelentése konvex .
(2) ⇒ (1)
Legyen T topológia E , feltételezzük, hogy ellenőrizni kell (2), és a T ' , hogy, durvább, által meghatározott család minden seminorms szóló E folyamatos a T .
Ennek igazolása a fordítottja: T ⊂ T ' . Az, hogy elegendő azt mutatják, hogy minden T- szomszédságában V 0 tartalmaz egy T " -neighborhood a 0.
Most egy ilyen V , a folytatásával a térkép (λ, v ) ↦ λ v , létezik egy valós α> 0 és a T- W szomszédsága 0, amely feltételezhető, hogy konvex a (2) -ből, olyan, hogy ${\ displaystyle | \ lambda | <\ alpha}$ és ${\ displaystyle v \ in W \; \ Rightarrow \ lambda v \ in V.}$ Ezután a V tartalmazza az által definiált Ω halmazt ${\ displaystyle \ Omega = \ bigcup _ {| \ lambda | <\ alpha} \ lambda W.}$ Ezenkívül Ω 0 szomszédsága (ezért elnyeli ), domború és kiegyensúlyozott . annak szelvény tehát egy félig-szabványos folyamatos E , a labdát a központ 0 és a sugár 1 / 2 tehát egy T ' -voisinage 0. Vagy ez a golyó szerepel Ω, így V .

Példák

Bármely normalizált vektortér lokálisan domború (a topológiát egyetlen félnorma határozza meg: a norma).
A topológiai vektortér gyenge topológiája lokálisan domború. Félnormák családjaként a folytonos lineáris modulus alakokat használják.
Annak topológiai kettős , az erős és gyenge- * topológia is egyes meghatározott egy család félig normákat.

Ellenpéldák

A $0 < p <1$ , a metrikus terek szekvenciák $ℓ p$ és a metrikus terek funkciók $L p$ nem lokálisan konvex terek.

Elválasztási kritérium

Tétel - Ahhoz, hogy egy félig normák családja által meghatározott lokálisan konvex teret el lehessen választani egymástól , szükséges és elegendő, hogy bármely nem nulla vektor esetében létezzen olyan félnorm , amely . $E$ ${\ displaystyle (p_ {i}) _ {i \ I}} -ban$ ${\ displaystyle v \ E nyelven}$ $p_ {i}$ ${\ displaystyle p_ {i} (v) \ neq 0}$

Valójában egy topológiai vektortér akkor és akkor különül el, ha a 0 szomszédságainak metszéspontját szingletté redukáljuk {0}, más szóval csak akkor, ha bármely nem nulla vektor v esetén létezik 0 szomszédság tartalmazó v .

A függvény folytonossága

Legyen két lokálisan domború tér, amelyek topológiáit félnormák (állítólagosan szűrés) és (bármelyik) családok határozzák meg , és f az első tér alkalmazása a másodikban. A következő javaslat a definíciókból származik. ${\ displaystyle (E, {\ mathcal {P}}), (F, {\ mathcal {Q}})}$ ${\ mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$

Javaslat -

f jelentése folyamatos olyan ponton v az E , ha és csak akkor, ha

${\ displaystyle \ forall q \ in {\ mathcal {Q}} \ quad \ forall \ epsilon> 0 \ quad \ pastāv p \ in {\ mathcal {P}} \ quad \ pastāv \ alpha> 0 \ quad \ forall w \ ben E \ quad p (wv) <\ alpha \ quad \ Rightarrow \ quad q (f (w) -f (v)) <\ epsilon \}$ .

f jelentése egyenletesen folytonos felett E , ha és csak akkor, ha

${\ displaystyle \ forall q \ in {\ mathcal {Q}} \ quad \ forall \ epsilon> 0 \ quad \ létezik p \ in {\ mathcal {P}} \ quad \ pastāv \ alpha> 0 \ quad \ forall v \ in E \ quad \ all w \ in E \ quad p (wv) <\ alpha \ quad \ Rightarrow \ quad q (f (w) -f (v)) <\ epsilon \}$ .

Például (a és a ) alkalmazásával az összes félnorma egyenletesen folytonos E-n (mert 1- Lipschitzian ). Az E fölötti q félnorma valójában akkor és csak akkor egyenletesen folytonos, ha 0-nál folytonos, ami egyenértékű a p ∈ félnorma és a C > 0 konstans létezésével, így q ≤ Cp . A lineáris alkalmazások analógjára következtetünk: ${\ displaystyle F = \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} = (| \ |)}$ ${\ mathcal {P}}$ ${\ mathcal {P}}$

Motion - A lineáris leképezés egyenletesen folytonos akkor és csak akkor, ha folyamatos, 0, amely eredményt: . ${\ displaystyle T: E \ - F}$
${\ displaystyle \ forall q \ in {\ mathcal {Q}} \ quad \ pastāv p \ in {\ mathcal {P}} \ quad \ létezik C> 0 \ quad \ forall v \ E \ quad q (T ( v)) \ leq C \ p (v) \}$

Mérhetőség

Tétel - Legyen E egy külön helyileg konvex tér , amelynek topológiáját egy fél-normák családja határozza meg . A következő feltételek egyenértékűek: ${\ mathcal {P}}$

E jelentése metrizálható .
E minden pontjának megszámlálható alapja van a szomszédságoknak.
Az E topológiája a félnormák megszámlálható alcsaládjával határozható meg . ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ subset {\ mathcal {P}}}$
A topológiája E lehet meghatározni egy megszámlálható szűrési család félig normák.
Az E topológiáját egy transzlációval invariáns távolság határozhatja meg .

Demonstráció

Az 1, 2 és 5 közötti ekvivalencia a Birkhoff-Kakutani-tétel topológiai csoportokra vonatkozó speciális esete . Mutassuk meg, hogy a 3 és a 4 is egyenértékű a 2-vel.

2, 3: vagyis a 0-as szomszédságok alapja. Mindegyik formájú golyót tartalmaz , ahol és egy bizonyos véges részre . A megszámlálható alcsalád által definiált topológia nyilvánvalóan kevésbé finom, mint az E , de építésénél finomabb is. ${\ displaystyle (V_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $V_ {n}$ ${\ displaystyle B_ {q_ {n}} (0, r_ {n})}$ ${\ displaystyle r_ {n}> 0}$ ${\ displaystyle q_ {n} = \ max _ {p \ in {\ mathcal {D}} _ {n}} p}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {n} \ subset {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} = \ cup _ {n \ in \ mathbb {N}} D_ {n}}$
3 ⇒ 4: félstandardok sorozata, amely meghatározza az E topológiáját . Pózolással megkapjuk az azonos topológiát meghatározó félnormák szűrőszekvenciáját. ${\ displaystyle (p_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle q_ {n} = \ max _ {k \ leq n} p_ {k}}$
4 ⇒ 2: Legyen az E topológiáját meghatározó félnormák szűrőszekvenciája , majd minden $x$ pontnak megszámlálható alapja van a szomszédságoknak, a forma . ${\ displaystyle (q_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle V (x, n) = \ {y \ E \ közepén q_ {n} (yx) <2 ^ {- n} \}}$

Az analógok a p <1, a terek L o a p ≥ 1 jelentése metrizálható egy invariáns távolságot, de nem lokálisan konvex.

Bármely nyitott nemüres térben a funkciók C ∞ kompakt támogatást az itt van természetesen ellátva lokálisan konvex szerkezet, amely nem metrized. ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ mathcal D} (\ Omega)$ $\Omega$ $\ mathbb {R}$

Megjegyezzük, hogy bármely normálható topológiai vektortér lokálisan domború és mérhető. Azonban ennek az ellenkezője nem igaz: például a Schwartz hely van Fréchet , különösen a helyi és domború metrizálható, de a nukleáris és a végtelen dimenzió, ezért nem normable. Egy másik példa a helyileg konvex metrizálható de nem normable tér R N .

Kolmogorov normálhatósági kritérium (1934) -

A lokálisan konvex tér akkor és csak akkor normálható félig, ha helyileg korlátozott, azaz ha 0-nak van határolt környezete .
A topológiai vektortér tehát akkor és csak akkor normálható, ha elkülönült, lokálisan domború és helyileg korlátozott.

Fréchet tér

A Fréchet tér egy lokálisan konvex tér, amely egyszerre metrizálható és teljes az egységes terek értelmében , vagy egyszerűbben: egy lokálisan konvex tér, amely teljesen metrizálható (vagyis amelynek topológiáját egy teljes távolság indukálja).

Megjegyzések és hivatkozások

Mintanyomtatáshoz nem használja a Birkhoff-Kakutani tétel , lásd például Claude Wagschal , Topológia és funkcionális elemzése , Hermann, coll. "Módszerek",1995.
(en) Eric Schechter (en) , Elemzés és alapjai kézikönyve , Academic Press ,1997( online olvasható ) , p. 724.

Kapcsolódó cikkek

Banach tér
Bornológiai tér (/)
DF Space (de)
LF szóköz (de)
Montel tér
Quasinormable space (of)
Retikulált tér (/)
Lakosztály ℓp
Tiltott hely
Kompakt-nyitott topológia