Tér $L p$

A matematika , a tér $L p$ egy vektortér osztályainak funkcióit , amelynek ereje kitevő $p$ jelentése integrálható abban az értelemben, Lebesgue , ahol $p$ egy szigorúan pozitív valós szám . A járat a határ a kitevő eredmények az építési terek $L \infty$ a korlátos függvények . Az $L p-$ tereket Lebesgue-tereknek nevezzük .

Meg kell határozni a feladatokat, amelyek csak egy elhanyagolható sor , minden helyet $L p$ egy Banach-tér , ha a kitevő nagyobb vagy egyenlő, mint 1. Ha $0 < p <1$ , az integrál definiál egy kvázi-szabvány ami egy teljes teret . A konjugált $p$ és $q$ kitevők terei között kettősség is van , vagyis olyan, hogy $1$ $⁄$ $p$ $+$ $1$ $⁄$ $q$ $= 1$ .

A terek $L o$ általánossá terek $L 2$ a integrálható négyzet funkciók , hanem a terek $ℓ p$ a szekvenciák a summable $p-$ edik teljesítmény .

Különböző konstrukciók tovább terjesztik ezt a meghatározást disztribúciók segítségével, vagy elégedettek a helyi integrálhatósággal.

Mindezek a terek a funkcionális elemzés alapvető eszközét jelentik, mivel lehetővé teszik az egyenletek feloldását közelítéssel olyan megoldásokkal, amelyek nem feltétlenül differenciálhatók vagy akár folyamatosak .

Meghatározás

Kiállító kész

A norma $p$ feletti véges dimenziós vektortér $R n$ kiterjed folytonos függvények egy szegmens $[ a , b ]$ által

\ | f \ | _ {p} = \ balra (\ int _ {a} ^ {b} | f (t) | ^ {p} \, {\ mathrm d} t \ jobbra) ^ {{1 / p }}

és általánosabban a mért térben mérhető funkciókkal $($ $X$ $,$ $A$ $,$ $μ$ $)$ , valós vagy összetett értékekkel és $p$ integrálható értékkel :

\ | f \ | _ {p} = \ balra (\ int _ {X} | f | ^ {p} \, {\ mathrm d} \ mu \ jobbra) ^ {{1 / p}}.

A domain $X$ egy euklideszi térben , az intézkedés általános , hogy a Lebesgue .

Egy pozitív függvény azonban akkor és csak akkor nulla integrál, ha szinte mindenütt megszakad, vagyis egy elhanyagolható halmaz komplementerén . A tér $L$ $p$ $($ $X$ $,$ $A$ $,$ $μ$ $)$ azután meghatározzuk mint a hányadosa a tér mérhető függvények $p$ integrálható, gyakran megjegyezte: $ℒ$ $p$ $($ $X$ $,$ $A$ $,$ $μ$ $)$ , a vektor altér szinte nulla funkciók. Ez a hányados tehát azonosítja azokat a függvényeket, amelyek ugyanabban az osztályban vannak az ekvivalencia relációra vonatkozóan: „f ~ g” iff „f és g szinte mindenhol egyenlő”.

Riemann elmélete keretein belül az $L p ( R )$ teret egy befejezési folyamat is meghatározhatja .

Végtelen kitevő

Az $ℒ \infty ( X , A , μ )$ tér a μ-lényegében korlátozott függvények (vagyis az elhanyagolható halmaz komplementerén lévő korlátozott függvények $)$ vektorterének felel meg, felruházva a félig standard "esszenciális felső határral" ".

Ezután az $L$ $\infty$ $($ $X$ $,$ $A$ $,$ $μ$ $)$ normált vektortér , mint korábban, $everywhere$ $\infty$ $($ $X$ $,$ $A$ $,$ $μ$ $)$ hányadosa a nulla függvények alterével szinte mindenhol.

Példák

Ha X jelentése a beállított $N$ természetes egész számok, felruházva a diszkrét törzs , és hogy μ a számláló intézkedés , a tér $L p ( X , A , μ )$ nem más, mint a térben ℓ p ( N ) valós szekvenciák, amelyek teljesítménye $p$ kitevő összegezhető.

A $X = R$ ellátva a Borelian törzs és a Lebesgue intézkedés:

A függvény x ↦ 1 / x korlátozódik $[1, + \infty [$ van $L 2$ , de nem $L 1$ ;
A indikátor függvénye a $Q$ , definiált $R$ , amely egyenlő 1 minden racionális szám , és 0 mindenhol máshol, van $L \infty$ és egybeesik, ebben a térben, a folyamatos funkcióját nulla értéket, mert a racionális számok jelentése elhanyagolható.

Tulajdonságok

Szabvány és teljesség

A kettős sávok közötti fenti kifejezés meglehetősen pozitív, és csak az $L p ( X , A , μ )$ null függvény osztályára tűnik el . Ezenkívül pozitívan homogén , azaz bármely $λ$ skalárra ,

{\ displaystyle \ | \ lambda f \ | _ {p} = | \ lambda | ~ \ | f \ | _ {p}}

Azonban, ez kielégíti a háromszög egyenlőtlenség csak $p$ nagyobb mint vagy egyenlő 1. A terek $L o$ számára $1 \leq p \leq \infty$ vannak Banach terek , azaz teljesen a norma így meghatározott: c 'a Riesz-Fischer-tétel , ami azt mutatja, elhaladva, hogy az $L$ $p$ minden Cauchy-szekvenciájának van egy alszekvenciája, amely szinte mindenhol konvergál.

A $0 < p <1$ , ║ ║ csak egy kvázi-norma , és $L p$ csak egy F-térben (a) , azaz egy teljes topológiai vektor tér, amely lehet metrized , egy távolságot invariáns által fordítások: d p ( f , g ) = ║ f - g ║ p p , de nem lokálisan domború, ezért nem normálható .

Zárványok

Ha a intézkedés véges Ezután szerint a birtokos vagy Jensen egyenlőtlenség , a család terek $L p$ van csökken , a folyamatos injekciók : ${\ text {si}} \ mu (X) <+ \ infty {\ text {then}} 0 <p \ leq q \ leq + \ infty \ Rightarrow {\ mathrm L} ^ {p} \ supset {\ mathrm L} ^ {q} {\ text {et}} \ sup _ {{f \ in {\ mathrm L} ^ {q}, \ | f \ | _ {q} \ leq 1}} \ | f \ | _ {p} = \ | \ mu (X) ^ {{{\ frac {-1} q}}} \ | _ {p} = \ mu (X) ^ {{{\ frac 1p} - {\ frac 1q}}}.$ Van egy erős kölcsönös számára σ-véges intézkedéseket .
Ha az intézkedések a nem elhanyagolható részei csökken azonos szigorúan pozitív valós majd, a család $L p$ van növelve , folyamatos injekció: ${\ text {si}} \ inf _ {{\ mu (A)> 0}} \ mu (A) = \ varepsilon> 0 {\ text {majd}} 0 <p \ leq q \ leq + \ infty \ Jobbra nyíl: {\ mathrm L} ^ {p} \ subset {\ mathrm L} ^ {q} {\ text {et}} \ sup _ {{f \ in {\ mathrm L} ^ {p}, \ | f \ | _ {p} \ leq 1}} \ | f \ | _ {q} = \ varepsilon ^ {{{\ frac 1q} - {\ frac 1p}}}.$ Ugyanolyan típusú inverzünk van, mint fent: ha léteznek $p$ és $q$ , ahol $1 \leq p <q \leq +$ such, így $L p \subset L q$ , akkor a nem elhanyagolható részek mértékét ugyanaz az $ε$ csökkenti $> 0$ .
Abban az esetben, ha az $X$ tér egy véges halmaz , amelyet a számlálási méréssel látunk el, a fenti két feltétel teljesül, és az összes $L p$ teret azonos véges dimenziójú normalizált vektortérrel azonosítjuk .
Ezzel szemben a fenti két feltétel egyikének sem megfelelő Lebesgue-mérték esetében léteznek csak egy $L p-hez$ tartozó függvények .
Minden esetben, $1 \ leq p \ leq r \ leq q \ leq + \ infty \ Rightarrow {\ mathrm L} ^ {p} \ cap {\ mathrm L} ^ {q} \ subset {\ mathrm L} ^ {r}$ és minden $f \in L p \capL q$ , mint az intervallum $[ p , q ]$ , a logaritmusát a függvény $r \mapsto ║f║ r$ egy konvex függvény a $1 / r$ .
A csebisevi egyenlőtlenség lehetővé teszi számunkra annak bizonyítását, hogy minden $r <$ all és minden $f \in L r$ esetében: $\ | f \ | _ {\ infty} = \ lim _ {{p \ to + \ infty}} \ | f \ | _ {p}.$

Kettősség

Az $1 < p <+ \infty$ és minden olyan intézkedés, $L p$ jelentése reflexív és topológiai kettős van azonosították a helyet $L q$ , ahol $q$ úgy van meghatározva, hogy a $1 / p + 1 / q = 1$ .

Ha az intézkedés σ-véges, a kettős az $L 1$ jelentése $L \infty$ és a kettős az $L \infty$ szigorúan tartalmaz $L 1$ (kivéve triviális esetben).

$L 1 ([0, 1])$ nem egyetlen tér $kettőse$ , míg $ℓ$ $1$ sok szó kettője , beleértve a nulla kötött szekvenciákét is.

Igazolása

(L p ) „≃ L q

, az

1 \leq p <+ \infty

és

1 / p + 1 / q = 1

(feltételezve, ha

p = 1

, hogy az intézkedés σ-véges)

A egyenlőtlenség Hölder és extremális esetben azonnal biztosítja a megfelelő beágyazási izometrikus J hogy $L Q$ a $(L o ) "$ . Továbbra is azt mutatják, hogy bármely lineáris formában φ az $L o$ a norma 1 formában van J ( g ) egy bizonyos g az $L q$ .

Ha $1 < p <+ \infty$ , tudjuk, hogy $az L o$ egy egyenletesen konvex teret tehát létezik az $L o$ egy egységvektor f olyan, hogy φ ( f ) = 1. E F , hagyja g kell az elem a $L q$ számított Hölder egyenlőtlenségének szélsőséges esetben; felépítéssel J képe ψ kielégíti: ψ ( f ) = 1 = ║ψ║. Azonban, még mindig egyenletes convexity, $L p$ jelentése szigorúan konvex, és ezért sima tárgy , így létezik egy egyedi lineáris formában $L o$ megfelelő ezeknek a feltételeknek. Arra a következtetésre jutunk, hogy a kezdő linear lineáris alakot írjuk: φ = ψ = J ( g ).

Ha p = 1:
- Először foglalkozzunk azzal az esettel, amikor a mért tér ( X , A ) μ véges. Ha ebben az esetben minden E ∈ A : ν ( E ) = φ ( 1 E ) értéket beállítunk , akkor aláírt ν mértéket kapunk, amely kielégíti az összes E ∈ A értéket : | ν ( E ) | ≤ μ ( E ). A „kicsi” Radon-Nikodym tétel (véges μ esetén) ekkor olyan g ∈ $L 1$ (μ) függvényt biztosít , amely ν = g μ tehát olyan, hogy ( a szakaszos függvények egységes határértékével ): $\ forall f \ itt: {\ mathrm L} ^ {\ infty} (\ mu), ~ \ varphi (f) = \ int fg {\ mathrm d} \ mu.$ Sőt, a Lebesgue-integrál általános tulajdonságának megfelelően | g | ≤ 1 μ- szinte mindenhol, mert $\ forall E \ in A, ~ \ left | \ int _ {E} g {\ mathrm d} \ mu \ right | = | \ nu (E) | \ leq \ mu (E).$ A g ∈ $L 1$ (μ) függvény tehát még az $L \infty$ (μ) $-hez$ is tartozik, és az előző képlet sűrűséggel kiterjed : $\ forall f \ itt: {\ mathrm L} ^ {1} (\ mu), ~ \ varphi (f) = \ int fg {\ mathrm d} \ mu.$ Abban az esetben, ha μ véges, ezért φ-t J ( g ) alakba helyeztük .
- Abban az általános esetben, amikor μ csak σ-véges, X- et osztunk véges mértékek X n sorozatába, és hasonlóan építjük mindegyik X n-re egy g n függvényt , nulla X n kívül . Összegük g így kielégíti: g ∈ $L \infty$ (μ) és φ = J ( g ).

Sűrűség és elválaszthatóság

Minden $p \in [1, + \infty]$ , a színre funkciók tartozó $L o$ formában egy sűrű altér az $L$ $o$ .

Mert $p <+ \infty$ , akkor arra következtethetünk, hogy:

Ha a törzs generált egy megszámlálható halmaz részeinek - különösen, ha ez a Borelian törzs egy megszámlálható bázis tér -, akkor $L p$ jelentése elkülöníthető ;
ha X egy lokálisan kompakt elkülönített hely , felruházva a Borelian törzs és egy kvázi-reguláris intézkedés , a folytonos függvények kompakt támogatást alkotnak sűrű altér $L$ $p$ ;
ha X egy nyílt halmaz a ℝ N (felruházva a törzs és a Lebesgue intézkedés), a alterét végtelenül differenciálható függvények kompakt támogatást még mindig sűrű az $L o$ .

Megjegyzések és hivatkozások

(en) $L p$ és $L q$ helyet befogadás , a math.stackexchange.com: kezdjük, mint az előző fordítottja, az mutatja, hogy egy ilyen felvétel automatikusan folyamatos, köszönhetően a zárt gráf tétel és lemma d extrakciós az szinte mindenhol konvergáló szekvenciák.
(in) Lehetséges, hogy egy függvény csak egy $százalékban$ legyen $L p-ben$ ? , a math.stackexchange.com oldalon
(en) Jeff Viaclovsky, „ Mérés és integráció, 17. előadás ” , az MIT-en ,2003.
Számos tanfolyamon vagy kézikönyvben, mint például Walter Rudin , valós és komplex elemzés [ a kiadások részlete ], ezt a σ-végességet feltételezzük $p$ összes értékére, a bizonyítás egyszerűsítése érdekében.
szerint James-tétel , ez azt bizonyítja, hogy már $az L p$ reflexív, de ez az eredmény minden esetben a következménye, a számítás a család $(L o ) "$ .
(in) Haim Brezis , funkcionális analízise, Szoboljev Spaces és parciális differenciálegyenletek , Springer Science + Business Media ,2010( online olvasható ) , p. 98, 4.13. Tétel .
Rudin , 3.14. Tétel.
Brezis 2010 , p. 109 , Következmény 4.23.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Tér $L 1 loc$
Sobolev tér
Space Bochner (en)
Birnbaum-Orlicz tér
Radon mérés
Convolution termék
Riesz-reprezentációs tétel (Riesz-Markov)
Riesz-Thorin tétel
Fourier transzformáció

Bibliográfia

Haïm Brezis , Funkcionális elemzés: elmélet és alkalmazások [ a kiadások részletei ]
Jacques Faraut, integrálszámítás [ a kiadások részlete ]

Tér L p