Riesz-Fischer tétel

A matematikában , pontosabban az integrációelméletben a Riesz-Fischer-tétel azt mondja:

hogy egy függvény akkor és csak akkor integrálható négyzetbe, ha a megfelelő Fourier-sorozat konvergál az $L$ $2$ térben ;
hogy a tér $L p$ jelentése teljes .

Ezt a két állítást ( a másodikban $p$ = 2-vel) 1907-ben a magyar Riesz Frigyes és az osztrák Ernst Sigismund Fischer bizonyította: Riesz bebizonyította az első állítást, Fischer a másodikat, amelyből az elsőt újraindította.

A Fourier-sorozat konvergenciája

Az első állítás azt jelenti, hogy ha a részösszegként a Fourier sor megfelelő függvény $f$ adják

{\ displaystyle S_ {N} f (x) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} F_ {n} \, e ^ {\ mathrm {i} nx}}

ahol $F n$ az $n-edik$ Fourier-együttható, amelyet a

{\ displaystyle F_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \, e ^ {- \ mathrm {i} nx} ~ \ mathrm {d} x}

így

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ bal \ Vert S_ {n} ff \ right \ | = 0}

hol van a $g$ függvényre írható $L$ $2$ norma ${\ displaystyle \ left \ Green \ cdot \ right \ |}$

{\ displaystyle \ left \ Green g \ right \ | = {\ sqrt {\ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | g | ^ {2}}}}

Ezzel szemben, ha $( a n )$ egy komplex számok sorozata, amelyet a relatív egész számok halmaza indexel úgy , hogy

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ balra | a_ {n} \ jobbra \ vert ^ {2} <\ infty}

akkor létezik olyan integrálható $f$ négyzetfüggvény, hogy az $a n$ az $f$ Fourier-együtthatói .

Ez a tétel általánosítja Bessel-egyenlőtlenség és fel lehet használni annak bizonyítására Parseval egyenlőségét a Fourier-sor .

A tér teljessége $L o$

Bármely $p > 0$ esetén az $L$ $p$ metrikus tér teljes. A szokásos esetben $1 \leq$ $p$ $\leq \infty$ ez ráadásul egy normalizált vektortér , tehát egy Banach-tér ; különösen ha $p$ = 2, akkor ez egy Hilbert-tér .

Megmutatjuk, futólag, hogy $p \geq 1$ minden Cauchy-sorozat az $L p$ - más szóval, a posteriori : minden konvergens sorozat az $L p$ - egy alszekvenciája , amely konvergál szinte mindenhol .

Bizonyítás

p \geq 1 esetén

A $p = \infty$ eset azonnali ( egy elhanyagolható halmazon kívüli egységes konvergencia kérdése ) rögzítsünk $1 \leq$ $p$ $<\infty$ és egy $L$ $p$ elemeinek Cauchy-szekvenciáját $($ $f$ $n$ $)$ .

Van egy alszáma $( g n ), amely$ ellenőrzi:

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ quad \ | g_ {n + 1} -g_ {n} \ | _ {p} <2 ^ {- n},}

és elegendő bizonyítani, hogy $( f n )$ konvergál, megmutatni, hogy $( g n )$ konvergál. Ehhez pózoljunk

{\ displaystyle g = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} | g_ {n + 1} -g_ {n} |.}

Ez a $g$ funkció mérhető és ellenőrzi ( monoton konvergencia és Minkowski-egyenlőtlenség segítségével ):

{\ displaystyle \ | g \ | _ {p} \ leq \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} \ | g_ {n + 1} -g_ {n} \ | _ {p} <\ infty. }

Ezért véges szinte mindenhol, ez azt jelenti, hogy bármely ponton $x$ kívül bizonyos elhanyagolható sor, a digitális sorozat az abszolút konvergens , ezért konvergens . Ezen elhanyagolható halmazon kívül a $($ $g$ $n$ $)$ szekvencia egyszerűen konvergál egy bizonyos $f$ függvény felé, amely ezért mérhető. Végül megjegyezzük, hogy $f$ kielégíti: ${\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} (g_ {n + 1} -g_ {n}) (x)}$

{\ displaystyle \ | f-g_ {n} \ | _ {p} \ leq \ sum _ {k \ geq n} \ | g_ {k + 1} -g_ {k} \ | _ {p} \ leq 2 ^ {- n + 1},}

úgy, hogy az $L p-hez$ tartozik, és hogy a $( g n )$ szekvencia összefogjon ebben a térben.

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia „ Riesz - Fischer-tétel ” című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .
(en) Richard Beals elemzése: Bevezetés , Cambridge University Press , 2004 ( ISBN 978-0-521-60047-7 )
(en) Horváth János, „ A Riesz-Fischer-tételről ” [PDF]

F. Riesz , „ A függvények ortogonális rendszereiről ”, CRAS , vol. 144,1907, P. 615–619.
E. Fischer , " Átlagosan konvergencia ", CRAS , vol. 144,1907, P. 1022–1024.
E. Fischer , „ Egy tétel alkalmazása az átlagos konvergenciáról ”, CRAS , vol. 144,1907, P. 1 148-1 151.

Riesz-Fischer tétel

A Fourier-sorozat konvergenciája

A tér teljessége L o

Megjegyzések és hivatkozások

A tér teljessége $L o$