Hilbert-tér

A matematikában a Hilbert-tér egy valódi (ill. Komplex ) vektortér , amelyet egy euklideszi (ill. Hermita ) skaláris szorzattal láttak el , amely lehetővé teszi a hosszúságok és szögek mérését, valamint az ortogonalitás meghatározását . Sőt, egy Hilbert-tér teljes , ami lehetővé teszi analitikai technikák alkalmazását rajta . Ezek a terek David Hilbert német matematikusnak köszönhetik nevüket .

A Hilbert-tér fogalma kiterjeszti a lineáris algebra módszereit azáltal, hogy általánosítja az euklideszi tér (például az euklideszi sík vagy a 3. dimenzió szokásos tere ) és a hermetikus tér fogalmát bármilyen dimenziós (véges vagy végtelen) terekre .

A Hilbert-terek gyakran megjelennek a matematikában és a fizikában, elsősorban végtelen dimenziójú funkcionális terekként . Az első Hilbert-tereket ebből a szempontból a XX .  Század első évtizedében David Hilbert, Erhard Schmidt és Riesz Frigyes tanulmányozta . A részleges differenciálegyenletek , a kvantummechanika , a Fourier-elemzés (amely magában foglalja a jelfeldolgozás és a hőátadás alkalmazását ) és az ergodikai elmélet elengedhetetlen eszközei a termodinamika matematikai alapjainak . John von Neumann a Hilbert space kifejezést hozta létre, hogy jelölje az absztrakt koncepciót, amely ezen alkalmazások közül sok mögött áll. A Hilbert-terek által kiváltott módszerek sikerei a funkcionális elemzés igen szapora korszakához vezettek . A klasszikus euklideszi terek mellett a leggyakoribb példák a Hilbert-terek: az integrált függvényterek négyzete , az általánosított függvényekből álló Sobolev-terek és a holomorf funkciók Hardy-terei .

A geometriai intuíció Hilbert térelméletének számos aspektusában részt vesz. Ezeknek a helyeknek a Pythagorasz-tételhez és a paralelogramma-szabályhoz hasonló tételei vannak . Az alkalmazott matematikában az altér ortogonális vetületei (amelyek megfelelnek bizonyos dimenziók terének ellaposodásának) fontos szerepet játszanak az optimalizálási problémákban az elmélet egyéb aspektusai mellett. Erre egy Hilbert tér lehet egyedileg a koordinátái által meghatározott viszonyítva Hilbert alapján , analóg derékszögű koordináta-rendszerben egy ortonormált bázis a gépet. Amikor ez a tengelykészlet megszámlálható , a Hilbert-tér összegezhető négyzetek halmazaként tekinthető meg . A Hilbert-tér lineáris operátorai hasonlóak a konkrét tárgyakhoz: a "jó" esetekben egyszerűen olyan transzformációkról van szó, amelyek a teret különböző együtthatók szerint nyújtják, két-két merőleges irányban, bizonyos értelemben, amelyet a azok spektrum .

Meghatározás és példák

Bevezető példa: A 3. dimenzió euklideszi tere

A Hilbert-tér egyik legelterjedtebb példája a háromdimenziós uc 3 jelölésű euklideszi tér , amelyet a szokásos skaláris szorzattal ruháznak fel . A dot szorzat két vektorhoz és egy megírt valós számhoz társul . Ha és megvan a megfelelő derékszögű koordinátája és , akkor skaláris szorzatuk: x{\ displaystyle \ mathbf {x}}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}x⋅y{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y}}x{\ displaystyle \ mathbf {x}}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}(x1,x2,x3){\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}(y1,y2,y3){\ displaystyle (y_ {1}, y_ {2}, y_ {3})}

x⋅y=x1y1+x2y2+x3y3.{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3}.}

A dot termék megfelel a következő tulajdonságoknak:

1. ez szimmetrikus: minden vektor és ,  ;x{\ displaystyle \ mathbf {x}}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}x⋅y=y⋅x{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ mathbf {y} \ cdot \ mathbf {x}}
2. ez egyenes képest az első érv: az összes valós számok és minden vektor , mi az egyenlőség  ;nál nél{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}x1,x2,y{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, y}(nál nélx1+bx2)⋅y=nál nélx1⋅y+bx2⋅y{\ displaystyle (ax_ {1} + bx_ {2}) \ cdot y = ax_ {1} \ cdot y + bx_ {2} \ cdot y}
3. pozitív határozott: bármely vektor esetében a szorzat pozitív, és csak akkor null, ha egyenlő a null vektorral .x{\ displaystyle \ mathbf {x}}x⋅x{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x}} x{\ displaystyle \ mathbf {x}}

A dot terméket szorosan összefügg az euklideszi geometriát a következő képlet szerint, amely kapcsolódik a dot termék két vektor és azok hossza (jelöljük rendre és ), és a szög alkotnak: x{\ displaystyle \ mathbf {x}}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}‖x‖{\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ |}‖y‖{\ displaystyle \ | \ mathbf {y} \ |} θ{\ displaystyle \ theta}

x⋅y=‖x‖‖y‖kötözősaláta⁡θ.{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ | \ mathbf {x} \ | \, \ | \ mathbf {y} \ | \, \ cos \ theta.}

Minden olyan vektorműveletet, amely kielégíti a fenti három tulajdonságot, pontterméknek is nevezzük . A vektortér ellátva skalárszorzat nevezzük egy igazi prehilbertian helyet.

A Hilbert-tér egy prehilbert-tér, amelynek a matematikai elemzésnek is megvan a tulajdonsága  : teljes , egy érv, amely ezen a téren található vektorok szekvenciájának határain alapszik .

Meghatározás

A Hilbert tér egy komplett prehilbertian helyet , azaz egy olyan Banach tér , amelynek normája ║ · ║ származik skaláris vagy hermitikus termék <·, ·> a következő képlettel

‖x‖=⟨x,x⟩.{\ displaystyle \ | x \ | = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}.}

Ez egy euklideszi vagy hermetikus tér bármely dimenziójában (véges vagy végtelen) általánosítás .

Példák

• A euklideszi tér ℝ n felruházva a szokásos skaláris szorzata.
• A Hermite-helyet ℂ n látva a szokásos hermitikus terméket.
• A tér L 2 ([ a , b ]) funkcióinak [ a , b ] értékekkel a ℂ és négyzetesen integrálható azzal a konvencióval, hogy két egyenlő funkciók majdnem mindenütt egyenlő (lásd a cikk teret L p ), feltéve, nak,-nek⟨f,g⟩=∫nál nélbf(x)g(x)¯ dx.{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ overline {g (x)}} ~ \ mathrm {d} x.}
• A ℓ 2 szekvenciák tere, összetett számú szekvenciákból áll , mint pl(unem)nem∈NEM{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}∑nem=0∞|unem|2<+∞,{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | u_ {n} | ^ {2} <+ \ infty,}két szekvencia hermita szorzata, és definíció szerint a sorozat összegeu{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}∑nem=0∞unemv¯nem.{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} u_ {n} {\ overline {v}} _ {n}.}

Osztályozás

Végtelen dimenziójú Hilbert térben a bázis szokásos fogalmát felváltja a Hilbert bázis (vagy a Hilbert bázis), amely már nem teszi lehetővé a vektor leírását annak koordinátáival, hanem egy végtelen vektorsorral közelítjük meg amelynek véges koordinátái vannak. Ezért a lineáris algebra és a topológia találkozásánál állunk .

• Két Hilbert terek befogadására ekvipotenciális Hilbert bázisok vannak izometrikusan izomorf , más szóval: minden Hilbert térben Hilbert bázis X izomorf ℓ 2 ( X ) . Például: bármely szétválasztható Hilbert tér (és végtelen dimenziójú) izomorf a to 2 (ℕ) = ℓ 2 ponttal . A Riesz-Fischer-tétel is ennek az eredménynek a speciális esete.
• Ezzel szemben ugyanazon Hilbert-tér két Hilbert-bázisának ugyanolyan kardinalitása van . Ez a tér Hilbert-dimenziójának nevezett kardinális szám tehát izomorfizmusig jellemzi, és így ugyanazt a szerepet tölti be, mint a dimenzió a rögzített mező vektortereinek kategóriájában .
• A Hilbert-tér akkor és csak akkor véges dimenziójú, ha a Hilbert-dimenziója véges, és ebben az esetben ez a két egész szám egyenlő.

Fréchet-von Neumann-Jordan tétel

A Banach-tér (illetve a normált vektortér ) akkor és csak akkor a Hilbert-tér (illetve a prehilbert-tér ), ha a normája kielégíti az egyenlőséget

‖x+y‖2+‖x-y‖2=2(‖x‖2+‖y‖2){\ displaystyle \ | x + y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2} = 2 (\ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2})},

ami azt jelenti, hogy a paralelogramma négy oldalának négyzetének összege megegyezik az átlóinak négyzetének összegével ( paralelogramma szabály ).

Ezt a tételt Maurice René Fréchet , John von Neumann és Pascual Jordan köszönheti .

Polarizációs identitás  :

• valós esetben a pontterméket az határozza meg ⟨x,y⟩=14(‖x+y‖2-‖x-y‖2){\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = {\ frac {1} {4}} {\ bigl (} \ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} {\ bigr )}} ;
• összetett esetben a megfelelő szeszkvilináris hermita terméket az határozza meg ⟨x,y⟩=⟨x,y⟩1+én⟨x,ény⟩1{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ langle x, y \ rangle _ {1} + {\ rm {i}} \ langle x, {\ rm {i}} y \ rangle _ {1}}, vagy⟨x,y⟩1=14(‖x+y‖2-‖x-y‖2){\ displaystyle \ langle x, y \ rangle _ {1} = {\ frac {1} {4}} {\ bigl (} \ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2 } {\ bigr)}}és i a képzeletbeli egység (a valós párral (0, 1) azonosított komplex szám).

Alkalmazások

• Hilbert-terek keretein belül dolgozták ki a variációs megfogalmazás elméletét , amelyet a fizika számos területén alkalmaztak.
• A kvantummechanikában a rendszer állapotát a Hilbert-térben egy vektor képviseli.

Hivatkozások

• (fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia "  Hilbert Space  " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .
• Pierre Colmez , Az elemzés és az algebra elemei (és a számelmélet) , Palaiseau, Éditions de l'École Polytechnique ,2009, 469  p. ( ISBN  978-2-7302-1563-3 , online olvasás ) , „Espaces de Hilbert”, p.  159-164

1. Colmez 2009 , p.  159.

Függelékek

Kapcsolódó cikkek

• Riesz reprezentációs tétel
• Vetítési tétel egy zárt konvexen egy Hilbert-térben
• Lax-Milgram tétel
• Stampacchia tétel
• Sobolev tér
• Másodlagos mérték
• Igazságátalakítás
• Gyenge konvergencia a Hilbert-térben

Külső hivatkozás

Elemző tanfolyam - Jacques Harthong

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">