Képzeletbeli egység

A matematika , a képzetes egység egy komplex szám , jegyezni $i$ (néha $j$ a fizika, hogy ne keverjük össze a jelölés az elektromos intenzitás), amelynek négyzet IS egyenlő a -1 . Ennek többszörösei a valós számok alkotják a tiszta képzetes számok .

A „képzeletbeli” név René Descartes-nek , az „elképzelt egység” neve Carl Friedrich Gauss-nak köszönhető . Anélkül, hogy eltűnt volna, nem túl általános a matematikusok körében, akik gyakran megelégszenek azzal, hogy az $i$ számról beszélnek .

Konstrukciók

Mivel minden valós szám pozitív négyzettel rendelkezik, a képzeletbeli egység nem tekinthető a valós vonal pontjának. Többféle módon definiálható.

Első megjelenése $\sqrt -1$ formájában volt , olyan írás, amelynek valós számokban nincs jelentése, és ez csak azt jelenti, hogy olyan számot „képzelünk el”, amelynek négyzete egyenlő lenne –1.

Számos megközelítés lehetséges az $i$ .

Tekinthetjük a komplexek, mint a hányadosa szerkezetét a kommutatív gyűrű ℝ [ X ] a valós polinomok a ideális által generált polinom X 2 + 1 :

ez valójában az a kérdés, miközben egy polinom csak a fennmaradó összeget pedig a maradékos osztás szerint X 2 + 1 . Tehát például X 3 + 3 X 2 + 2 X + 1 megegyezik X - 2-vel, mert X 3 + 3 X 2 + 2 X + 1 = ( X + 3) ( X 2 + 1) + X - 2 ;
akkor észrevesszük, hogy ebben a halmazban X 2 = –1, mert X 2 = ( X 2 + 1) - 1 . Ezután beállítjuk $i = X$ ;
az összes többi maradékot, amire a + bX van írva, a + b $i-t$ írunk .

A komplexek halmazát valós szám párok halmazának is tekinthetjük, amely a határidőnkénti összeadással és kifinomultabb szorzással rendelkezik: ( a , b ) × ( c , d ) = ( ac - bd , ad + bc ) . Ezzel a szorzással a (0, 1) pár kielégíti (0, 1) 2 = (–1, 0). Mi asszimilálni az összes párt ( x , 0) a valós számok x ; ekkor megvan (0, 1) 2 = –1, és a (0, 1) párost választjuk a képzeletbeli egység ábrázolásaként.

Végül egy ortonormális koordinátarendszerrel ellátott síkban (O, U, V) összekapcsolhatjuk a komplexek halmazát a sík vektorok halmazával, amely a szokásos összeadással és egy kifinomultabb szorzással rendelkezik:

\ overrightarrow {OA} \ times \ overrightarrow {OB} = \ overrightarrow {OC}

ahol C olyan pont, hogy az OUA és OBC háromszögek közvetlenül hasonlóak.

A tengely bármelyik vektorához (OR) társítjuk annak abszcisszáját x . Az (OR) tengelyt ezután valós tengelynek nevezzük.
Ezt aztán észrevesszük $\ overrightarrow {OV} \ times \ overrightarrow {OV} = - 1$ .
Ezután $i-vel$ jelöljük ezt a vektort. Az abszcissza y tengelyének (OV) bármely vektorához társítjuk a tiszta képzeletbeli $i$ y-t .
Így az O kezdő és az A vég minden vektorához, majd az ( x , y ) koordináták minden A pontjához társítjuk az x + $i$ y komplexet . Ezután a komplex síkról beszélünk ℂ.

Az $i$ képzeletbeli szám hasznos matematikai eszköz bizonyos egyenletek „kiegészítő megoldásainak” biztosításához, a valós számokhoz dimenzió hozzáadásával (egy vonal síkkal történő helyettesítése); a képzeletbeli egység többszörösét tartalmazó számokat "komplex számoknak" nevezzük.

Tulajdonságok

Ennek az ellenkezője mind annak inverz és konjugátum : . Modulja egyenlő 1. Ellenőrzi az (- $i$ ) 2 = –1 egyenlőséget is . A meghatározásban nincs mód megkülönböztetni az $i-t$ az $-i$ -től, de ez a határozatlanság rendben van. ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ mathrm {i}}} = - \ mathrm {i} = {\ overline {\ mathrm {i}}}}$

A képek által trigonometrikus függvények írják:

${\ displaystyle \ cos (\ mathrm {i}) = \ cosh 1 = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- 1} + \ mathrm {e}} {2}} \ simeq 1 {,} 54308063481524}$ ;
${\ displaystyle \ sin (\ mathrm {i}) = \ mathrm {i} \, \ sinh 1 = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- 1} - \ mathrm {e}} {2 \ mathrm { i}}} \ simeq 1 {,} 17520119364379 \, \ mathrm {i}}$ ;
${\ displaystyle \ tan (\ mathrm {i}) = - \ mathrm {i} \, {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- 1} - \ mathrm {e}} {\ mathrm {e} ^ { -1} + \ mathrm {e}}} \ simeq 0 {,} 761594155955762 \, \ mathrm {i}}$ .

$i$ a 4. rend egységének gyökere , tehát hatáskörei:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ mathrm {i} ^ {0} = 1, & \ mathrm {i} ^ {1} = \ mathrm {i}, & \ mathrm {i} ^ {2} = - 1, & \ mathrm {i} ^ {3} = - \ mathrm {i}, \\\ mathrm {i} ^ {4} = 1, & \ mathrm {i} ^ {5} = \ mathrm {i} , & \ mathrm {i} ^ {6} = - 1, & \ ldots \\\ end {mátrix}}}

Az $i$ komplexum az $1.$ modulhoz és az argumentumokhoz . ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} + 2k \ pi}$

A képek az $i$ a komplex logaritmus többértékű függvény tehát . Legfőbb elhatározása az . ${\ displaystyle \ ln (\ mathrm {i}) = \ mathrm {i} \ bal ({\ frac {\ pi} {2}} + 2k \ pi \ jobb)}$ ${\ displaystyle L (\ mathrm {i}) = \ mathrm {i} {\ frac {\ pi} {2}}}$

Azt is meghatározzák a fő megállapítása az expresszió , komplex teljesítmény az $i$ : . ${\ displaystyle \ mathrm {i} ^ {\ mathrm {i}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i} ^ {\ mathrm {i}} = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} L (\ mathrm {i})} = \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {\ pi} {2}}} \ kb 0 {,} 2078795763}$

Jelölések

Amikor Girolamo Cardano 1545-ben bemutatja az első számot a negatív szám négyzetgyökével, akkor $5 + \sqrt -15$ , ami nem kedvez a képzeletbeli egységnek. Negyedszázaddal később Rafaele Bombelli végrehajtotta a „kifinomult mennyiségek” kiszámításának szabályait. Ezután két „jel” segítségével izolálja a $\sqrt -15$ kifejezés képzeletbeli karakterét : più di meno, ha a mennyiség hozzáadódik, és meno di meno, ha kivonjuk. Így az $5 + \sqrt -15$ kifejezést „5 più di meno Rq 15” -nek jelöljük. Nicolas Bourbaki a komplex számok első megjelenését látja lineáris kombináció formájában a négy alapelem pozitív együtthatóival: +1, –1, + i ( più di meno ) és –i ( meno di meno ), de Dominique Flament úgy gondolja, hogy ez egy olyan értelmezés, amely nem jut Bombelli fejébe: számára a più di meno nem felelne meg az + i számnak, hanem inkább egy operatív előjelnek.

Amíg Leonhard Euler , „képzeletbeli” mennyiségek felírható közömbösen, mint $2 + \sqrt -25$ vagy $2 + 5 \sqrt -1$ . De apránként a második kifejezés kiváltságos, így különös jelentőséget tulajdonít a $\sqrt -1-nek$ .

Ez a négyzetgyök formájú bemutatás azonban nyitva hagyja az ajtót a kísértés előtt, hogy alkalmazza rá a pozitív számok ismert szabályait, különösen a terméken szereplő szabályokat: $\sqrt a$ × $\sqrt b$ = $\sqrt ab$ , amelyek adnák, alkalmazva válogatás nélkül $\sqrt -1$ , a paradox egyenlőség $\sqrt -1 \times \sqrt -1 = \sqrt 1 = 1$ .

Ezt a mennyiséget többször megpróbálják betűvel helyettesíteni. Euler 1777-ben i-nek hívja; Caspar Wessel , 1797-ben, az ε; Jean-Robert Argand úgy dönt, hogy társítja a ~ for + i operatív előjellel; Jacques Frédéric Français az 1 π / 2 jelölést választja , ezzel jelezve, hogy arról van szó, hogy a valós egység derékszögbe fordult. De apránként elengedhetetlen az Euler jelölése; Carl Friedrich Gauss használta 1801-ben; 1847-ben vette át Augustin Louis Cauchy , aki társítja az i-t a polinomok X változójához . A fizikusok számára azonban az i jelölés megléte az áram intenzitására az $\sqrt$ $-1$ j jelölés felé irányítja választásaikat .

Ami a nevét illeti, azt látjuk, hogy Gauss „képzeletbeli egységnek”, majd „laterális egységnek” minősítette, William Rowan Hamilton „másodlagos egységének” minősítette, aki társítja azt a párral (0, 1), de de Morgan „megmagyarázhatatlan szimbólum”. A „képzeletbeli egység” kifejezést idézőjelben Bourbaki veszi át.

1833-ban Hamilton igyekezett legitimitást adni az $\sqrt -1$ írásnak azzal, hogy meghatározta, hogy mi lesz a komplexum, majd annak n- edik gyökjének logaritmusának fő mértéke, és bebizonyítja, hogy (0, 1) ezután jól megfelel a főnek $\sqrt -1$ mértéke .

Azt is képviseli a mátrix , egyenlő a a és , megőrzésével tulajdonságainak szorzás, kívül, stb ( és ). Lásd: „ A komplex számok története mint hasonlósági mátrix ”. ${\ displaystyle a + \ mathrm {i} \, b}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & -b \\ b & a \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle = a \, I + b \, J}$ ${\ displaystyle I = {\ elején {pmatrix} 1 és 0 \\ 0 és 1 \ vége {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle J = {\ kezdés {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle I ^ {2} = I}$ ${\ displaystyle J ^ {2} = - I}$

Euler képlete

Az Euler-képlet :

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} = \ cos x + \ mathrm {i} \ sin x}

ahol $x$ valós szám.

Cserélje $X$ által $π$

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ pi} = \ cos \ pi + \ mathrm {i} \ sin \ pi = -1 + 0 \ szor \ mathrm {i}}

és így megszerezzük Euler személyazonosságát :

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ pi} + 1 = 0}

Feltűnően egyszerű egyenlet, amely öt nagyon fontos matematikai számot ( 0 , 1 , $π$ , $e$ és $i$ ) tartalmaz, amelyeket csak összeadások, szorzások és hatványozások kapcsolnak össze.

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

Ez a neve annak a komplex számok 1637-1831 .
Lásd például a szabály 148 az Elements of Algebra Leonhard Euler, képzett tévedése Flament ( Flament 2003 , p. 312) az elírás szerint Cajori ( Cajori 1928 , p. 127. par. 496), míg a Hamon (Gérard Hamon, „Une approach structurelle ”, a Images, Imaginaires, Imaginations , 1998, 254. o.) csak egy többértékű függvény használatát látja.

Hivatkozások

" René Descartes " , a lenombreimaginaire.net oldalon .
(in) Reinhold Remmert ( ford . A németből RB Burckel), Komplex funkciók elmélete [" Funktionentheorie I "], Springer al. " GTM " ( n ° 122)1991, 453 p. ( ISBN 978-0-387-97195-7 , online olvasás ) , p. 162.
Flament 2003 , p. 22.
Bourbaki , p. 97 (megjegyzés).
Flament 2003 , p. 26.
Cajori 1928 , p. 127., s. négyszázkilencvenhét.
Ezt nevezi a tanulmány az állandóság elvének ( Tanulmány 334. o.).
Cajori 1928 , p. 128-130.
Flament 2003 , p. 271.
Flament 2003 , p. 401.
Cajori 1928 , p. 130.
Bourbaki , p. 84.
Flament 2003 , p. 410.

Bibliográfia

Dominique Flament , A komplex számok története: Algebra és geometria között , Párizs, CNRS Éditions,2003( ISBN 2 271 06128 8 )
(en) Florian Cajori , A matematikai jelölések története , vol. 2, Nyílt Bírósági Társaság,1928
Nicolas Bourbaki , A matematikatörténet elemei [ a kiadások részletei ]

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Külső hivatkozás

( fr ) Eric W. Weisstein , " i " , a MathWorld- on