Jensen egyenlőtlenség

Természet	Egyenlőtlenség , tétel
Névre hivatkozva nevezték el	Johan jensen
Képlet	${\ displaystyle f \ bal (tx_ {1} + (1-t) x_ {2} \ jobb) \ leq tf (x_ {1}) + (1-t) f (x_ {2})}$

A matematikában , pontosabban az elemzésben , Jensen egyenlőtlensége hasznos és nagyon általános összefüggés a konvex funkciókkal kapcsolatban , Johan Jensen dán matematikus miatt, amelyről 1906-ban bizonyítékot adott . Kétféleképpen írható: diszkrét vagy integrál. Különösen az elemzésben, a méréselméletben és a valószínűségben jelenik meg ( Rao-Blackwell-tétel ), de a statisztikai fizikában , a kvantummechanikában és az információelméletben is ( Gibbs-egyenlőtlenség néven ).

Az egyenlőtlenség továbbra is igaz a konkáv funkciókra az irány megfordításával. Ez különösen igaz a fizikában széles körben alkalmazott logaritmusfüggvényre .

Államok

Diszkrét forma

Tétel - Konvexitás egyenlőtlenség

Legyen $az f$ egy konvex függvény , $( x 1 , ..., x n )$ egy $n$ -tuple a valós számok tartozó meghatározása intervallum $f$ és $( λ 1 , ..., λ n )$ egy $n$ -tuple a pozitív valós számok olyan, hogy

\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ lambda _ {i} = 1

Így,

{\ displaystyle f \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} x_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ { i} f \ bal (x_ {i} \ jobb)}

Sok fontos elemi elemzés eredményeit a levezetett is, mint például a számtani-mértani egyenlőtlenség : ha $( x 1 , ..., x n )$ egy $n$ -tuple szigorúan pozitív valós számok, akkor:

{\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ geq {\ sqrt [{n}] {\ prod _ {i = 1} ^ { n} x_ {i}}}}

Integrált forma

Konkrét eset

Jensen-egyenlőtlenség - Legyen $g$ folytonos függvénye [0, 1] $-nek$ a , b [( $-\infty$ ≤ a <b ≤ $+ \infty esetén$ ) és $φ$ konvex függvényével a , b [in ℝ -ben. Így,

{\ displaystyle \ varphi \ left (\ int _ {0} ^ {1} g (x) ~ \ mathrm {d} x \ right) \ leq \ int _ {0} ^ {1} \ varphi (g (x )) ~ \ mathrm {d} x}

Ennek az állításnak van jelentése, mert ezeknél a feltételezéseknél a $g$ integrálja az [ a , b ] $-hez$ tartozik, és $φ \circ$ $g$ folytonos a [0, 1] -en, ezért integrálható.

Méréselmélet

Jensen egyenlőtlenség - Legyen

(Ω, A, μ) az μ (Ω) össztömeg mért területe 1,
$g$ μ-integrálható függvény valós és $I$ intervallum értékekkel
$φ$ konvex függvény $I-$ től ℝ-ig.

Így,

\ varphi \ left (\ int _ {{\ Omega}} g ~ {\ mathrm d} \ mu \ right) \ leq \ int _ {\ Omega} \ varphi \ circ g \, {\ mathrm d} \ mu,

a megfelelő integrál egyenlő lehet $+ \infty -vel$ .

Ennek az állításnak azért van értelme, mert ezeknél a feltételezéseknél a $g$ integrálja $I-hez$ tartozik .

Ha $φ$ a szigorúan konvex , két tagja ezt az egyenlőtlenséget egyenlő (ha és), ha $g$ konstans μ- szinte mindenhol .

Ebből a tételből - akár közvetlenül, akár a Hölder-egyenlőtlenségen keresztül - levezetünk egy fontos összefüggést az $M$ ≠ 0 teljes tömeg véges mértékével társított $L$ $p$ terek között :

{\ displaystyle 0 <p <q \ leq + \ infty \ Rightarrow \ mathrm {L} ^ {p} \ supset \ mathrm {L} ^ {q} {\ text {et}} \ forall f \ in \ mathrm { L} ^ {q}, \ | f \ | _ {p} \ leq M ^ {{\ frac {1} {p}} - {\ frac {1} {q}}} \ | f \ | _ { q}}

egyenlőséggel akkor és csak akkor, ha szinte mindenhol állandó. $| f |$

Valószínűségek, statisztikák

A fenti állítást a valószínűségelmélet és a statisztika nyelvén írják át :

Jensen-egyenlőtlenség - Legyen $f$ konvex függvény egy valós $I$ intervallumon és $X$ egy véletlen változó , amelynek értéke $I-ben van$ , és amelynek várakozása létezik. Így, ${\ displaystyle \ mathbb {E} (f (X))}$

{\ displaystyle f (\ mathbb {E} (X)) \ leq \ mathbb {E} [f (X)].}

Ezután levezethetünk egy fontos statisztikai eredményt: a Rao-Blackwell-tételt . Valóban, ha L konvex függvény, akkor Jensen egyenlőtlensége szerint

{\ displaystyle L (\ mathbb {E} \ {\ delta (X) \}) \ leq \ mathbb {E} \ {L (\ delta (X)) \} \ quad \ Rightarrow \ quad \ mathbb {E} \ {L (\ mathbb {E} \ {\ delta (X) \}) \} \ leq \ mathbb {E} \ {L (\ delta (X)) \}.}

Ha δ ( X ) egy becslés egy nem megfigyelt paraméter θ adott vektor X a észlelhetőség , és ha T ( X ) az elégséges statisztika számára θ, akkor hatékonyabb becslő, abban az értelemben, a veszteség minimalizálására, adják :

{\ displaystyle \ delta _ {1} (X) = \ mathbb {E} _ {\ theta} \ {\ delta (X ') \, | \, T (X') = T (X) \},}

Vagyis a δ várakozása θ-vel szemben, az összes X vektorra vonatkoztatva, kompatibilisek ugyanazzal a T ( X ) értékkel .

Demonstráció

A diszkrét forma történeti bizonyítéka ( alternatív megismétlődési elv alapján ) annak az esetnek a bizonyítéka, ahol az együtthatók egyenlőek, kiegészítve egy ℚ in ℝ sűrűség- argumentummal . A méréselmélet keretein belüli integrált forma (amelynek minden más formája speciális eset) a diszkrét alakból sűrűség-érvek alapján levezethető , de a leggyakoribb bizonyítás közvetlen, és a konvex funkcióhoz elegendő affin alsó határ létezésére támaszkodik .

Megjegyzések és hivatkozások

(in) Constantin P. Niculescu és Lars-Erik Persson, konvex függvények és alkalmazások: A Contemporary Approach , New York, Springer ,2006( ISBN 978-0-387-31077-0 , online olvasás ) , p. 44..
Bernard Maurey, Integráció és valószínűség (M43050) 2010–2011 , Université Paris-Diderot ,2011. március 14( online olvasás ) , "Cours 15".
Niculescu és Persson 2006 , p. 44 hozzáadjuk azt a hipotézist, miszerint $φ \circ g$ μ-integrálható, de bizonyításuk azt mutatja, hogy ez az állítás érvényben marad, ha nem, ezt Maurey 2011 magyarázza.
Niculescu és Persson 2006 , p. 45.
Lásd ezt korrigálni gyakorlat a Wikiversity .
Johan Jensen , „ A konvex függvényekről és az átlagértékek közötti egyenlőtlenségekről ”, Acta Math. , vol. 30,1906, P. 175-193.
Lásd Jensen egyenlőtlenségének integrált formájának bizonyítékát a Wikiverzióban .

Kapcsolódó cikk

Hermite-Hadamard egyenlőtlenség