Statisztikai fizika
A statisztikai fizika a részecskék nagy számával (ismert makroszkopikus rendszerek ) a fizikai rendszerek viselkedését és evolúcióját igyekszik megmagyarázni mikroszkópos alkotóelemeik (a részecskék) jellemzőiből. Ezek az alkotóelemek lehetnek atomok , molekulák , ionok , elektronok , fotonok , neutrínók vagy elemi részecskék . Ezeket az alkotóelemeket és az egymással kölcsönhatásokat általában a kvantummechanika írja le , de az ilyen alkotóelemek halmazának makroszkopikus leírása nem hívja fel közvetlenül (vagy legalábbis nem mindig). Valójában ezt a makroszkopikus leírást, különösen a termodinamikát , részben a kvantummechanika mint fizikaelmélet kifejlesztése előtt kaptuk, főként a XIX . Század második felében .
Megkülönböztetünk statisztikai egyensúlyfizikát (a termodinamikai egyensúly értelmében ), amelynek ezt a cikket szenteltük, és a nem egyensúlyi statisztikai fizikát .
Történelmi
A statisztikai fizikát (más néven "statisztikai termodinamikát") kezdetben a XIX . Század közepétől származó gázok kinetikai elmélete formájában vezették be , elsősorban Kelvin , Maxwell és Boltzmann . Ennek az első megközelítésnek az volt a célja, hogy javaslatot tegyen az anyag egyszerű atommodell-modelljére, különös tekintettel az atomok vagy molekulák ütközésére, bizonyos makroszkopikus mennyiségek viselkedésének reprodukálásához. Ekkor formalizálták a nyomás értelmezését, mint a gáz alkotóelemeinek lendületét.
A statisztikai mechanikát 1902- ben Gibbs formalizálta, formalizmusa lehetővé tette az egyensúlyi termodinamika alapelveinek utólagos általánosítását és igazolását .
A statisztikai fizika első kiterjesztése a statisztikai mechanikához képest az anyag elektromos és mágneses tulajdonságainak bevezetése volt a modelleken belül, lehetővé téve a mágneses vagy dielektromos anyagokban, például a ferromágneses fázisban bekövetkező fázisátmenetek leírását .
Egy másik fontos lépés az 1920 és 1930 közötti statisztikai képletek módosítása volt, hogy figyelembe vegyék a megkülönböztethetetlenség hatásait a részecskék kvantumszintjén ( Pauli kizárási elv ). Ezt a módosítást Bose és Einstein hajtotta végre teljes spin- részecske rendszereknél ( bozonok ), Fermi és Dirac pedig fél-egész spin- részecske rendszereknél ( fermionok ).
Bevezetés és általánosságok
Jellemzően skálánkban egy termodinamikai egyensúlyi anyagrendszert írnak le korlátozott számú, úgynevezett makroszkopikus paraméter felhasználásával, amelyek bizonyos makroszkopikus fizikai mennyiségek értékeit jellemzik; például az egyensúlyi gáz térfogatát μ sűrűsége , P nyomása , T hőmérséklete és V térfogata jellemzi . A statisztikai fizika statisztikai kapcsolatokat hoz létre ezen makroszkopikus fizikai mennyiségek és az anyagrendszer elemeit (atomjait vagy molekuláit) jellemző egyéb mikroszkopikus mennyiségek között.
Ez az eljárás azért hasznos, mert a gyakorlatban lehetetlen követni a gáz egyes alkotóelemeinek alakulását. Például egy liter levegő körülbelül 3 × 10 22 molekulát tartalmaz (egy szám Avogadro számának nagyságrendjében ). Még akkor is, ha lehetne követni mindegyikük egyéni fejlődését, ez nem nyújtana releváns információt a rendszerről. A statisztikai fizika célja meghatározni azokat a releváns makroszkopikus mennyiségeket, amelyek lehetővé teszik egy ilyen, nagyon nagy részecskékből álló rendszer leírását, és a különböző mennyiségek közötti kapcsolatokat. Ezeknek a makroszkopikus mennyiségeknek a mikroszkopikus eredetű mennyiségekhez is viszonyítaniuk kell, amelyek leírják a rendszer alkotóelemeit. Például az ideális gáz hőmérséklete az azt alkotó részecskék átlagos mozgási energiájának mérőszáma .
Az egyik ok, amely lehetővé teszi a mikroszkopikusból a makroszkopikusba való átjutást, valójában a rendszer összetevőinek gigantikus száma. Emiatt a gázmolekulák E teljes kinetikus energiájáról beszélünk , mivel egy ilyen mennyiség Δ E statisztikai ingadozása (lehetséges, hogy a gázmolekulák teljes kinetikai energiája kis területen van , kissé eltér a várható átlagértéktől) korlátozza a kapcsolat ( Poisson törvényéből ):
ΔEE∼1NEM{\ displaystyle {\ frac {\ Delta E} {E}} \ sim {\ frac {1} {\ sqrt {N}}}},
ahol N a figyelembe vett gáz térfogatának molekuláinak száma. Még a kis mennyiségeknél is, például normál hőmérsékleten és nyomáson , azaz kb. 3 × 10 16 részecske esetén 1 mm 3 nagyságrendű gáz esetében , az összes kinetikus energia ingadozása kisebb, mint 10 −8, és a gyakorlatban szinte mindig elhanyagolható .
Alapvető posztulátum
Államok
A statisztikai egyensúlyfizika alapvető posztulátuma (más néven egyenlő előzetes valószínűségek posztulátuma ) a következő:
Egy egyensúlyban lévő elszigetelt rendszert figyelembe véve, minden valószínűség szerint azonos hozzáférhetőségű mikropozíciókban azonos valószínűséggel található meg .
|
Ez a posztulátum a statisztikai fizika egyik alapfeltevése: azt jelenti, hogy egy rendszer nem preferálja egyik hozzáférhető mikropozícióját sem. Adott energiánként Ω mikropozíciók esetén annak valószínűsége, hogy a rendszer egy adott mikropozícióban van, p = 1 / Ω. Ez a szükséges posztulátum lehetővé teszi annak megállapítását, hogy egy egyensúlyi rendszer esetében a termodinamikai állapot (a makroállapot), amely a legtöbb mikroállapotból származhat, egyben a rendszer legvalószínűbb makroállapota.
A gázok kinetikai elméletének alapjául szolgáló posztulátumokhoz képest ez egy absztrakciós ugrás, amely minden általánosítást lehetővé tesz. Ez az állítás előnyösen helyettesíti a leegyszerűsített és mégis számítási szempontból jelentős mikroszkopikus modelleket statisztikai bizonytalanságokkal. A modell eleve minden olyan rendszerre vonatkozik, amelynek mikroszkopikus szintű statisztikai energia-újraelosztási mechanizmusa van.
Eredet: az ergodikus hipotézis
A gázok kinetikai elméletének kialakulóban lévő keretein belül Boltzmann 1871-ben megfogalmazott egy hipotézist, amelyet ma ergodikus hipotézis néven ismertek : "Az időben történő fordítással invariáns hamiltoni rendszer reprezentatív pontja az időszak folyamán halad. az állandó energia hiperfelület minden pontja . "
Ezt a feltételezést 1910-ben hamisnak bizonyították, de azóta bizonyos fizikai rendszerek kielégítik a kvázi ergodikus feltételezést :
Az idõfordítás invariáns Hamilton-rendszer reprezentatív pontja az idõ alatt olyan közel halad, amennyire csak szeretnénk az állandó energia hiperfelület minden egyes pontjához .
Az ergodikai elmélet és a káoszelmélet igen jelentős fejlődése ellenére azonban a kvázi-ergodikus hipotézis felhasználása a statisztikai fizika alapvető posztulátumának igazolására a mai napig vitatott.
Az egyenértékűség és az információk
Az információelmélet , az információ az ellenkezője a logaritmusa a valószínűsége: .
én=-ln o{\ displaystyle I = - \ ln \ p}
Ebben az összefüggésben az entrópia a rendszerben található információk átlaga:
S = ⟨ én ⟩ = -∑én oén lnoén{\ displaystyle S \ = \ \ langle \ I \ \ rangle \ = \ - \ sum _ {i} \ p_ {i} \ \ ln p_ {i}}
|
Több változó folytonos függvénye, amely megmutatja, hogy globális maximumot fogad el, ha az összes egyenlő. Ez azt jelenti, hogy a equiprobability feltételezés , S maximális. Ezt úgy értelmezzük, hogy akkor minimális információval, vagy akár maximális bizonytalansággal rendelkezünk a rendszerről.
oén{\ displaystyle p_ {i}}
Másrészt, ha az egyik esemény biztos, annak valószínűsége megegyezik 1-vel, míg az összes többi nulla. Ezután pontosan tudjuk a rendszer konfigurációját, és a bizonytalanság nulla. Ebben az esetben az entrópia elfogadja minimális értékét, ebben az esetben 0-t.
oén{\ displaystyle p_ {i}}
Analóg problémák általánosításai
A statisztikai fizika keretein belül kidolgozott matematikai leírás módszerei gyakorlatilag a modern fizika vagy kémia minden területén , de a közgazdaságtanban , a humán tudományokban stb.
Eszközök és folyamatok
Ennek az elméletnek a modern megfogalmazása a statisztikai halmazokon keresztül vizsgált fizikai rendszerek leírásán alapul . Az ilyen halmazok a rendszer lehetséges konfigurációinak összességét képviselik, összefüggésben a megvalósítás valószínűségével . Mindegyik halmaz hozzárendel egy partíciófüggvényt, amely matematikai manipulációkkal lehetővé teszi a rendszer termodinamikai mennyiségeinek kinyerését. A rendszer és az univerzum többi részének viszonya szerint általában három halmaztípus létezik, a legegyszerűbbtől a legösszetettebbig:
- a mikrokanonikus együttes
- a kanonikus halmaz
- a nagy kanonikus együttes
Mikrokanonikus együttes
Ez a készlet leírja az állandó energiájú , teljesen izolált rendszer ideális esetét , ezért sem részecskéket , sem energiát , sem térfogatot nem cserélnek az univerzum többi részével. Ennek a modellnek az az érdeke, hogy lehetővé tegye az entrópia legegyszerűbb formájában történő meghatározását .
E{\ displaystyle E}
Mikrokanonikus entrópia
A rendszer adott makroszkopikus egyensúlyi állapotban, de szabadon fejlődni mikroszkopikus skálán közötti különböző mikroállamok , annak entrópia által adott képlet Boltzmann (1877):
Ω{\ displaystyle \ Omega}
S = kB lnΩ{\ displaystyle S \ = \ k_ {B} \ \ ln \ Omega}
|
hol van Boltzmann állandója . Ez a meghatározás megfelel Shannon entrópiájának :
kB{\ displaystyle k_ {B}}
S = - kB∑énoén lnoén{\ displaystyle S \ = \ - \ k_ {B} \ sum _ {i} p_ {i} \ \ ln p_ {i}}
|
egyenértékű mikropozíciók konfigurációja :
Ω{\ displaystyle \ Omega}
oén = 1Ω{\ displaystyle p_ {i} \ = \ {\ frac {1} {\ Omega}}}
|
Entrópia kiterjedése
A vizsgált izolált rendszer teljes makroszkopikus energiája mindig nagyobb vagy egyenlő egy bizonyos minimális értékkel , amelyet a rendszer alapállapotának nevezünk. Ezenkívül a zárt teljes energiarendszer mikroállapotainak számbavétele általában megköveteli bizonyos bizonytalansági sorrend mezoszkópos bevezetését .
E{\ displaystyle E}E0{\ displaystyle E_ {0}}Ω{\ displaystyle \ Omega}E{\ displaystyle E}ΔE{\ displaystyle \ Delta E}
Megmutathatjuk, hogy egy „hétköznapi” rendszer esetében a mikrostátusok száma a forma energiájának gyorsan növekvő függvénye :
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Ω(E,NEM) ∝ (E-E0)NEM{\ displaystyle \ Omega (E, N) \ \ propto \ \ bal (E-E_ {0} \ jobb) ^ {N}}
|
ahol N a rendszer teljes szabadságfokának száma , feltételezve, hogy nagyon nagy. Ekkor megmutatható, hogy ha az E teljes energia nem áll túl közel a minimális értékéhez, akkor a Boltzmann-képlettel kiszámított S (E, N) entrópia:
- nagyságrendű N , így a microcanonic entrópia meglehetősen kiterjedt a termodinamikai határa .
- független a bizonytalanság pontos értékétől .ΔE{\ displaystyle \ Delta E}
Kanonikus együttes
A kanonikus együttes zárt rendszert ír le termikus egyensúlyban, külső termosztáttal . Ez a zárt rendszer tehát hőátadás formájában képes energiát cserélni a külsővel, bármilyen más mennyiség kizárásával.
Kanonikus partíció funkció
A fent idézett körülmények között bebizonyítjuk, hogy a zárt rendszer energiaállapot elérésének valószínűségét Boltzmann képlete adja meg:
oén{\ displaystyle p_ {i}}én{\ displaystyle i}Eén{\ displaystyle E_ {i}}
oén = e-βEénZ{\ displaystyle p_ {i} \ = \ {\ frac {e ^ {- \ beta E_ {i}}} {Z}}}
|
A statisztikai fizika entrópiájának és a termodinamikának az azonosítása lehetővé teszi a β kapcsolatát a T
termodinamikai hőmérséklettel
kBβ=1T{\ displaystyle k_ {B} \ beta = {1 \ felett {T}}}
A Z normalizációs tényezőt a teljes valószínűség feltételének megírásával számoljuk ki:
∑énoén = 1{\ displaystyle \ sum _ {i} p_ {i} \ = \ 1}
|
A Z- t a zárt rendszer kanonikus partíciófüggvényének hívják , és ezt kifejezetten megírják:
Z = ∑{k nál nélvs.vs.essénble}e-βEk{\ displaystyle Z \ = \ \ sum _ {\ {k \ \ mathrm {elérhető} \}} e ^ {- \ beta E_ {k}}}
|
Ez a partíciófüggvény lehetővé teszi a zárt rendszer összes makroszkopikus mennyiségének levezetését a kapcsolódó mikroszkopikus mennyiségek eszközeként.
Makroszkopikus megfigyelhetőség
Az U belső energia az összes mikroszkopikus energia makroszkopikus átlaga :
Eén{\ displaystyle E_ {i}}
U = ⟨ E ⟩ = ∑{én nál nélvs.vs.essénble}oén Eén = - 1Z dZdβ = - dlnZdβ{\ displaystyle U \ = \ \ langle \ E \ \ rangle \ = \ \ sum _ {\ {i \ \ mathrm {elérhető} \}} p_ {i} \ E_ {i} \ = \ - \ {\ frac {1} {Z}} \ {\ frac {dZ} {d \ beta}} \ = \ - \ {\ frac {d \ ln Z} {d \ beta}}}
|
Ugyanígy, bármilyen mennyiséget egy szedési értékek meghatározása az mikroállapotok i társított energiák , lehet határozni az átlagos érték:
NÁL NÉLén{\ displaystyle A_ {i}}Eén{\ displaystyle E_ {i}}
⟨ NÁL NÉL ⟩ = ∑{én nál nélvs.vs.essénble}oén NÁL NÉLén{\ displaystyle \ langle \ A \ \ rangle \ = \ \ sum _ {\ {i \ \ mathrm {hozzáférhető} \}} p_ {i} \ A_ {i}}
|
Alkalmazzuk ezt a képletet különösen az entrópiára, feltételezve, hogy a mikropozíciók mikrokanonikus halmazként reprezentálható rendszereket határoznak meg, mindegyik i mikropozícióra meghatároztunk egy mikrokanonikus entrópiát:
Eén{\ displaystyle E_ {i}}
Sén = kB lnΩén = - kB lnoén{\ displaystyle S_ {i} \ = \ k_ {B} \ \ ln \ Omega _ {i} \ = \ - \ k_ {B} \ \ ln p_ {i}}
|
Ezután a rendszer teljes entrópiája a következő:
S = ⟨ Sén ⟩ = ∑{én nál nélvs.vs.essénble}oén Sén{\ displaystyle S \ = \ \ langle \ S_ {i} \ \ rangle \ = \ \ sum _ {\ {i \ \ mathrm {elérhető} \}} p_ {i} \ S_ {i}}
|
= - ∑{én nál nélvs.vs.essénble}kB oén lnoén{\ displaystyle \ = \ - \ \ sum _ {\ {i \ \ mathrm {elérhető} \}} k_ {B} \ p_ {i} \ \ ln p_ {i}}
|
Cseréljük le a valószínűséget a logaritmusban szereplő kifejezéssel:
S = - kB ∑{én nál nélvs.vs.essénble} oén × ln(e-βEén/Z){\ displaystyle S \ = \ - \ k_ {B} \ \ sum _ {\ {i \ \ mathrm {hozzáférhető} \}} \ p_ {i} \ \ szor \ \ ln ({e ^ {- \ beta E_ {i}} / Z})}
|
= + kB ∑{én nál nélvs.vs.essénble} oén × [ βEén+lnZ ]{\ displaystyle = \ + \ k_ {B} \ \ sum _ {\ {i \ \ mathrm {elérhető} \}} \ p_ {i} \ \ szer \ \ balra [\ \ beta E_ {i} + \ ln Z \ \ jobb]}
|
Az inverz hőmérséklet meghatározása szerint :
kBβ=1/T{\ displaystyle k_ {B} \ beta = 1 / T}
S = 1T ∑{én nál nélvs.vs.essénble} oén Eén+kB ∑{én nál nélvs.vs.essénble} oén lnZ{\ displaystyle S \ = \ {1 \ felett T} \ \ sum _ {\ {i \ \ mathrm {elérhető} \}} \ p_ {i} \ E_ {i} \ quad + \ quad k_ {B} \ \ sum _ {\ {i \ \ mathrm {hozzáférhető} \}} \ p_ {i} \ \ ln Z}
|
Először felismerjük az energia átlagértékét. Sőt, a Z logaritmusa független az i indextől . Ezután a valószínűségek normalizálásának feltételével megkapjuk:
S = ⟨ E ⟩T + kB lnZ = UT + kB lnZ{\ displaystyle S \ = \ {\ langle \ E \ \ rangle \ over T} \ + \ k_ {B} \ \ ln Z \ = \ {U \ over T} \ + \ k_ {B} \ \ ln Z }
|
Ha ezt a képletet közelebb hozzuk ahhoz, ami a termodinamikában az F szabad energiát adja : F = U - TS , akkor természetesen jön létre:
F = - kBT lnZ{\ displaystyle F \ = \ - \ k_ {B} T \ \ ln Z}
|
vagy:
Z = e-βF{\ displaystyle Z \ = \ e ^ {- \ beta F}}
|
Összefoglaló táblázat
Az F , U és S kifejezése elegendő az összes többi termodinamikai mennyiség levezetéséhez:
Vezetéknév
|
Képlet
|
---|
Helmholz szabad energia
|
F = - lnZβ{\ displaystyle F \ = \ - \ {\ ln Z \ over \ beta}}
|
Belső energia
|
U = - (∂lnZ∂β)NEM,V{\ displaystyle U \ = \ - \ \ bal ({\ részleges \ ln Z \ át \ részleges \ béta} \ jobb) _ {N, V}}
|
Nyomás
|
o = - (∂F∂V) = 1β (∂lnZ∂V)NEM,T{\ displaystyle p \ = \ - \ \ balra ({\ részleges F \ felett \ részleges V} \ jobbra) \ = \ {1 \ felett \ beta} \ \ balra ({\ részleges \ ln Z \ át \ rész V } \ jobbra) _ {N, T}}
|
Entrópia
|
S = kB (lnZ+βU){\ displaystyle S \ = \ k_ {B} \ ({\ ln Z + \ beta U}) \,}
|
Gibbs-mentes entalpia
|
G = F + oV = - lnZβ + Vβ (∂lnZ∂V)NEM,T{\ displaystyle G \ = \ F \ + \ pV \ = \ - \ {\ ln Z \ over \ beta} \ + \ {V \ over \ beta} \ \ left ({\ részleges \ ln Z \ át \ részleges V} \ jobbra) _ {N, T}}
|
Entalpia
|
H = U + oV{\ displaystyle H \ = \ U \ + \ pV \,}
|
Fajlagos hő állandó térfogaton
|
VSV = (∂U∂T)NEM,V{\ displaystyle C_ {V} \ = \ \ bal ({\ részleges U \ felett \ részleges T} \ jobb) _ {N, V} \,}
|
Fajlagos hő állandó nyomáson
|
VSo = (∂H∂T)NEM,o{\ displaystyle C_ {p} \ = \ \ bal ({\ részleges H \ át \ részleges T} \ jobb) _ {N, p} \,}
|
Kémiai potenciál
|
μén = - 1β (∂lnZ∂NEMén)T,V,NEM{\ displaystyle \ mu _ {i} \ = \ - \ {1 \ over \ beta} \ \ balra ({\ részleges \ ln Z \ át \ részleges N_ {i}} \ jobbra) _ {T, V, N }}
|
Az utolsó bejegyzésnél nem a nagykanonikus együttesről van szó. Gyakran hasznos megfontolni, hogy egy adott molekula energiája több mód között oszlik meg. Például a transzlációs energia az energia azon része, amely a molekula tömegközéppontjának mozgásával kapcsolatos. A konfigurációs energia a rendszer molekulái közötti különféle vonzó és taszító erőkhöz kapcsolódó energiarészre utal. A többi módot mind a molekulák belső részének tekintjük. Ide tartoznak a rotációs, rezgési, elektronikus és nukleáris üzemmódok. Ha azt feltételezzük, hogy mindegyik mód független, a teljes energia kifejezhető az egyes komponensek hozzájárulásának összegeként:
E = Et + Evs. + Enem + Ee + Er + Ev{\ displaystyle E \ = \ E_ {t} \ + \ E_ {c} \ + \ E_ {n} \ + \ E_ {e} \ + \ E_ {r} \ + \ E_ {v}}
|
ahol a t, c, n, e, r és v indexek megfelelnek a transzlációs, konfigurációs, nukleáris, elektronikus, forgási és rezgési mód energiájának.
Ha ezt az egyenletet behelyettesítjük az első egyenletbe, a következőket kapjuk:
Z = ∑énj neménvenál nélu énnemterneme nál nél j [ ∏j∈{t,vs.,nem,e,r,v} exp (-βEjénj) ]{\ displaystyle Z \ = \ \ sum _ {i_ {j} \ \ mathrm {belső \ szint \ a} \ j} \ \ balra [\ \ prod _ {j \, \ in \, \ {\, t, c, n, e, r, v \, \}} \ \ exp \ (\, - \, \ beta \, E_ {ji_ {j}}) \ \ right]}
|
A módok függetlenségének köszönhetõen az összeget és a szorzatot is megfertõzhetjük:
Z = ∏j∈{t,vs.,nem,e,r,v} [ ∑énj neménvenál nélu énnemterneme nál nél j exp (-βEjénj) ]{\ displaystyle Z \ = \ \ prod _ {j \, \ in \, \ {\, t, c, n, e, r, v \, \}} \ \ balra [\ \ sum _ {i_ {j } \ \ mathrm {level \ internal \ a} \ j} \ \ exp \ (\, - \, \ beta \, E_ {ji_ {j}}) \ \ right]}
|
Így mindegyik módhoz meghatározhatunk egy társított partíciófüggvényt, és a teljes partíciófüggvényt e módpartíciós függvények szorzataként kapjuk meg:
Z = Zt × Zvs. × Znem × Ze × Zr × Zv{\ displaystyle Z \ = \ Z_ {t} \ \ times \ Z_ {c} \ \ times \ Z_ {n} \ \ times \ Z_ {e} \ \ times \ Z_ {r} \ \ times \ Z_ {v }}
|
A molekuláris tulajdonságokra, például a forgási és rezgési frekvenciákra vonatkozó egyes módokhoz egyszerű kifejezéseket vezetnek le. A különféle partíciófüggvények kifejezéseit a következő táblázat tartalmazza:
típus
|
Képlet
|
---|
Nukleáris
|
Z = 1(T<10.8.){\ displaystyle Z \ = \ 1 \ quad (T <10 ^ {8})}
|
Elektronikus
|
Z0 = exp(kBTDe+W1exp(-θe1/T)+...){\ displaystyle Z_ {0} \ = \ \ exp (k_ {B} TD_ {e} + W1 \ exp (- \ theta _ {e1} / T) + ...) \,}
|
Rezgő
|
Zv = ∏exp(-θvj/2T)1-exp(-θvj/T){\ displaystyle Z_ {v} \ = \ \ prod {\ exp ({- \ theta _ {vj} / 2T}) \ over {1- \ exp ({- \ theta _ {vj} / T})}} }
|
Rotációs (lineáris)
|
Zr = TσθR{\ displaystyle Z_ {r} \ = \ {T \ over \ sigma} \ theta _ {R}}
|
Rotációs (nemlineáris)
|
Zr = TσπT3θ1θ2θ3{\ displaystyle Z_ {r} \ = \ {T \ over \ sigma} {\ sqrt {\ pi T ^ {3} \ over \ theta _ {1} \ theta _ {2} \ theta _ {3}}} }
|
Fordítás
|
Zt = (2πmkBT)3/2h3{\ displaystyle Z_ {t} \ = \ {(2 \ pi mk_ {B} T) ^ {3/2} \ felett {h ^ {3}}}}
|
Konfiguráció (ideális gáz)
|
Zvs. = V{\ displaystyle Z_ {c} \ = \ V \,}
|
Ezeket az egyenleteket az első táblázatban szereplőekkel kombinálhatjuk, hogy meghatározzuk egy adott energiamód hozzájárulását a termodinamikai tulajdonságokhoz. Például a "forgási nyomás" ily módon határozható meg. A teljes nyomás az összes üzemmód nyomáshozamának összegzésével határozható meg:
o = ot + ovs. + onem + oe + or + ov{\ displaystyle p \ = \ p_ {t} \ + \ p_ {c} \ + \ p_ {n} \ + \ p_ {e} \ + \ p_ {r} \ + \ p_ {v}}
|
Nagykanonikus együttes
Ha a rendszer nyitott (vagyis ha lehetővé teszi a részecskék cseréjét a külsővel), be kell vezetnünk a kémiai potenciálokat, és a kanonikus partíciós függvényt a nagykanonikus partíciófüggvényre kell cserélnünk:
Ξ(V,T,μ)=∑énexp(β[∑j=1nemμjNEMénj-Eén]){\ displaystyle \ Xi (V, T, \ mu) = \ összeg _ {i} \ exp \ balra (\ beta [\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mu _ {j} N_ {ij} -E_ {i}] \ jobbra \,}
|
hol van a j-edik faj részecskéinek száma az i-edik konfigurációban. Előfordulhat az is, hogy más változókat is hozzáadhatunk a partíciós függvényhez, egy megtartott mennyiségenként egy változóval. Legtöbbjük azonban könnyen értelmezhető kémiai potenciálként. A legtöbb sűrített anyaggal kapcsolatos probléma nem relativisztikus és a tömeg konzervált. A tömeg fordított összefüggésben van a sűrűséggel, amely a nyomás konjugált változója.
NEMénj{\ displaystyle N_ {ij}}
A cikk további részében figyelmen kívül hagyjuk ezt a nehézséget, és feltételezzük, hogy a kémiai potenciál semmit sem változtat. Vizsgáljuk meg a nagy kanonikus halmazt.
Számítsuk át az összes kifejezést a nagykanonikus halmaz segítségével. A térfogat fix, és nem tartozik bele a kezelésbe. Az előzőekhez hasonlóan j a j-edik faj részecskéinek indexe, i pedig az i-edik mikropozíció indexe:
U=∑énEénexp(-β[Eén-∑j=1μjNEMénj])Ξ{\ displaystyle U = \ sum _ {i} {E_ {i} \ exp \ left (- \ beta [E_ {i} - \ sum _ {j = 1} \ mu _ {j} N_ {ij}] \ jobbra) \ át \ Xi} \,}
NEMj=∑énNEMénjexp(-β[Eén-∑j=1μjNEMénj])Ξ{\ displaystyle N_ {j} = \ sum _ {i} {N_ {ij} \ exp \ left (- \ beta [E_ {i} - \ sum _ {j = 1} \ mu _ {j} N_ {ij }] \ jobbra \ \ át \ Xi} \,}
|
Vezetéknév
|
Képlet
|
---|
Nagy lehetőség
|
ΦG=-lnΞβ{\ displaystyle \ Phi _ {G} = - {\ ln \ Xi \ over \ beta}}
|
Belső energia
|
U=-(∂lnΞ∂β)μ+∑μénβ(∂lnΞ∂μén)β{\ displaystyle U = - \ balra ({\ részleges \ ln \ Xi \ át \ részleges \ beta} \ jobbra) _ {\ mu} + \ összeg {\ mu _ {i} \ felett \ béta} \ balra ({ \ részleges \ ln \ Xi \ át \ részleges \ mu _ {i}} \ jobbra) _ {\ beta}}
|
A részecskék száma
|
NEMén=1β(∂lnΞ∂μ)β{\ displaystyle N_ {i} = {1 \ over \ beta} \ bal ({\ részben \ ln \ Xi \ over \ részleges \ mu} \ jobb) _ {\ beta}}
|
Entrópia
|
S=kB(lnΞ+βU-β∑énμénNEMén){\ displaystyle S = k_ {B} \ balra (\ ln \ Xi + \ beta U- \ beta \ sum _ {i} \ mu _ {i} N_ {i} \ jobbra) \,}
|
Helmholtz szabad energia
|
F=ΦG+∑énμénNEMén=-lnΞβ+∑μénβ(∂lnΞ∂μén)β{\ displaystyle F = \ Phi _ {G} + \ sum _ {i} \ mu _ {i} N_ {i} = - {\ ln \ Xi \ over \ beta} + \ sum {\ mu _ {i} \ over \ beta} \ left ({\ részben \ ln \ Xi \ over \ részleges \ mu _ {i}} \ jobbra) _ {\ beta} \,}
|
Megjegyzések és hivatkozások
-
J. Willard Gibbs és Marcel Brillouin (Bevezetés) ( ford. F. Cosserat), A statisztikai mechanika alapelvei , Párizs, Hermann , ösz. "Tudományos és Ipari News" ( n o 1440),1998, 195 p. ( ISBN 978-2-7056-6341-4 , OCLC 39.142.648 , nyilatkozat BNF n o FRBNF36703719 ). Lásd még: Luis Navarro, Gibbs, Einstein és a statisztikai mechanika alapjai , Archívum a pontos tudományok történetéhez 53 147–180 (1998).
-
Botaszmann Szasz Domokos ergodikus hipotézise, sejtés évszázadokig? , Studia Scientiarium Mathematicarum, Hungarica (Budapest) 31 (1996) 299-322.
-
Vö. Frederic Reif; Statisztikai fizika, Berkeley fizika tanfolyam (5. évf.), Armand Colin (1972), 3.5. Bekezdés
-
Kizárt például néhány olyan spinrendszert, ahol a részecskék mozgási energiáját figyelmen kívül hagyják. Vö. Reif, op. cit.
-
Vö. Reif, op. cit.
Lásd is
Bibliográfia
Virtuális könyvtár
- Roger Balian; Alapvető és energetikai fizika: az energia sok arca : a szerző (CEA Elméleti Fizikai Tanszék, Saclay) által tartott kurzus az első „e2phy” nyári iskolában: Az energia minden formája: tudományos adatok, korlátok, kérdések , 27-2001. augusztus 30, A Caeni Egyetem helyszíne.
- Roger Balian; Entrópia, információ: egy protean koncepció : a szerző (Service de Physique Théorique du CEA, Saclay) által a Minden Tudás Egyetemén tartott konferencia szövege (239. konferencia: Anyagállapotok,2000. augusztus 26, Nemzeti Művészeti és Kézműves Konzervatórium, Párizs). Kiadja Yves Michaud (szerkesztő); Minden tudás egyeteme (4. kötet), Odile Jacob (2001) pp. 947–959 / Repris papírkötésben: University of all knowledge (17. évf.), Poches Odile Jacob (2002) pp. 205–220
- Roger Balian; Makroszkopikus idő : a visszafordíthatatlanságról és az entrópiáról szóló konferencia szövege, amelyet a szerző adott meg (Service de Physique Théorique du CEA, Saclay) az első "Fizika és fundamentális kihallgatások" konferencia során: Le Temps et sa Flèche a Francia Fizikai Társaság szervezésében1993. december 8Párizsban. Kiadta: Étienne Klein és Michel Spiro (szerkesztők); Le Temps et sa Flèche , Les Éditions Frontières (1994) pp. 155–211. Vissza a zsebébe Flammarion, Collection Champs (1995).
- Roger Balian; Entrópia, egy proteai koncepció : a szerző (Service de Physique Théorique du CEA, Saclay) által a Poincaré-szemináriumon tartott bevezető előadás szövege (angol nyelven).2003. december 6szentelt entrópia. Megjelent: J. Dalibard, B. Duplantier és V. Rivasseau (szerk.); Poincaré szeminárium 2003 , Haladás a matematikai fizikában 38, Birkhäuser (2004) 119-144, ISBN.
-
[PDF] Részletes tanfolyam
Népszerűsítés
- Bernard Diu, valóban léteznek atomok? , Odile Jacob (1997), ( ISBN 9782738104212 ) .
- Philippe Depondt, Entrópia és mindez - A termodinamika regénye , Cassini (2002), ( ISBN 2842250443 ) .
-
Peter W. Atkins , Hő és zavar - A termodinamika második elve , "A tudomány univerzuma" gyűjtemény, Belin / Pour La Science (1987) 216 p., ( ISBN 2902918402 ) . A termodinamika népszerűsítése makroszkopikus és mikroszkopikus szempontból. Egyetemi szint.
Szakkönyvek
-
Georges Bruhat , Általános fizika tantárgy - termodinamika , Masson ( 6 th kiadás, 1968) 912 pp. Ez a "klasszikussá" vált referencia tanfolyam az első egyetemi ciklustól elérhető. Ez 6 th kiadás átdolgozott és kibővített Alfred Kastler .
-
Yves Rocard , Thermodynamique , Masson ( 2 nd edition-1967) 540 pp. Ez a másik referencia tanfolyam, amely szintén "klasszikussá" vált, az első egyetemi ciklustól elérhető.
Bevezetés a statisztikai fizikába
-
Frederick Reif ( fordította Pierre Turon), Cours de Physique de Berkley, 5. kötet: Statisztikai fizika [„ Berkeley fizika tanfolyam, 5. kötet: Statisztikai fizika ”], DUNOD,2000, 397 p. ( ISBN 978-2-10-004935-6 ). Ez a híres 1960-as tanfolyam elérhető egy egyetemi hallgató számára.
- Bernard Jancovici, Termodinamika és statisztikai fizika , Ediscience (1969) 186 pp. A Nathan Egyetem újraközölte (gyakorlatok nélkül) a "128 sciences" (1996) gyűjteményében, 128 pp. Ez a kis könyv egy bevezető kurzus a termodinamikában az elemi statisztikai fizikán keresztül. Egyetemi szint.
-
Percy W. Bridgman , A termodinamika természete , Harvard University Press (1941) 230 pp. Gondolatok a termodinamika 2 elvének értelméről. Ez a könyv néhány egyenletet tartalmaz, amelyek egyetemi szinten hozzáférhetők.
-
(en) Mark W. Zemansky és Richard H. Dittman, Hő és termodinamika: köztes tankönyv , Auckland Singapore, McGraw-Hill,tizenkilenc nyolcvan egy, 6 th ed. ( 1 st ed. 1937), 544 p. ( ISBN 978-0-07-066647-4 , OCLC 450205456 ). Ennek a kötetnek az első fele tisztán makroszkopikus termodinamika folyamata, kísérleti megközelítés szerint: a kiindulópont a szokásos hőmérséklet fogalma. A munka ezen első része egyetemi szinten hozzáférhető. (A könyv második felét a termodinamika statisztikai fizikán keresztül történő megközelítésének szentelik. Ez a rész inkább diplomás szintű.)
-
en) Herbert B. Callen, Termodinamika és bevezetés a termosztatikába , New York, John Wiley & Sons ,1985, 2 nd ed. , 493 p. ( ISBN 978-0-471-86256-7 és 978-0-471-61056-4 , OCLC 11916089 , online olvasható ). Ez a könyv ideális társa az előző műnek. Valójában e kötet első része (2/3) egy tisztán makroszkopikus termodinamika tanfolyama axiomatikus megközelítés szerint: az első fejezetből megfogalmazzák a posztulátumokat, a következő fejezetben levezetik a hőmérséklet fogalmát. A munka ezen első része egyetemi szinten hozzáférhető, bár egyes formális fejlesztések magasabb szinten vannak. (A könyv második részét (1/3) a termodinamika statisztikai fizikán keresztül történő megközelítésének szentelik. Ez a rész inkább az egyetem második ciklusának szintjén található.)
- Ryogo Kubo, Termodinamika , John Wiley & Sons (1960), pp. Klasszikus munka a termodinamikán. Második ciklusú egyetemi szint.
-
en) Alfred Brian Pippard , A klasszikus termodinamika elemei: haladó fizikus hallgatóknak , Cambridge, Eng, Cambridge University Press ,tizenkilenc nyolcvan egy, 165 p. ( ISBN 0-521-09101-2 és 978-0-521-09101-5 , OCLC 22321936 ). Második ciklusú egyetemi szint.
Második ciklusú egyetemi szint
-
Bernard Diu , Claudine Guthmann, Danielle Lederer és Bernard Roulet, a statisztikai fizika elemei ,1996[ a kiadás részlete ].
-
Roger Balian és mtsai. , Mikroszkóppól makroszkopikusig: statisztikai fizika tanfolyam az École politechnikában , Palaiseau Paris, École politechnika Ellipses ,1982, 639 p. , 2 köt. ( ISBN 978-2-7298-9000-1 és 978-2-729-89001-8 , nyilatkozat BNF n o FRBNF34724593 ). Statisztikai fizika tanfolyam, amely a kvantummechanika előzetes ismeretein alapul.
-
en) Frederic Reif , Statisztikai és hőfizikai alapismeretek , New York, McGraw-Hill ,1965, 651 p. ( ISBN 978-0-07-051800-1 ) Klasszikus statisztikai fizika. Második ciklusú egyetemi szint.
-
en) Linda E. Reichl , A statisztikai fizika modern tanfolyama , New York, John Wiley & Sons ,1998, 2 nd ed. , 822 p. ( ISBN 978-0-471-59520-5 ). Modern, már klasszikus mű. Második ciklusú egyetemi szint.
-
(en) Kerson Huang (en) , statisztikai mechanika , New York, John Wiley & Sons ,1987, 2 nd ed. , 493 p. ( ISBN 978-0-471-81518-1 és 978-0-471-85913-0 ). Klasszikus statisztikai fizika. Második ciklusú egyetemi szint.
-
(en) Ryōgo Kubo , Statistics Mechanics , John Wiley & Sons (1965), Észak-Hollandia újrapublikálta 426 oldal, ( ISBN 0-444-87103-9 ) .Klasszikus statisztikai fizika. Második ciklusú egyetemi szint.
-
(en) Alexandre Khintchine ( ford. G. Gamow), A statisztikai mechanika matematikai alapjai [“Matematicheskie osnovanii︠a︡ statisticheskoĭ mekhaniki”], New York, Dover Publications ,1949, 179 o. ( ISBN 978-0-486-60147-2 , online olvasás ). Klasszikus munka a statisztikai fizika alapjain, különös tekintettel az ergodikus hipotézisre. Második ciklusú egyetemi szint.
Történelmi szempontok
- Robert Locqueneux, A klasszikus termodinamika őstörténete és története (A hőség története) , Történelem és Tudományfilozófia Jegyzetfüzetei, 45. sz., Francia Tudománytörténeti és Technikai Társaság (1996 december) 333 pp. ( ISSN 0221-3664 ) . Esszé a hőelméletekről a 18. és 19. században. Egyetemi szint.
-
Jean-Pierre Maury, Carnot és a gőzgép , Párizs, Presses Universitaires de France , coll. "Filozófiák",1986, 127. o. ( ISBN 978-2-13-039880-6 , OCLC 416.641.388 , nyilatkozat BNF n o FRBNF34905835 ). A gőzgépek fejlődésének története születése óta a XVII . Században Carnot elméleti munkájáig ("Reflections on the Motive Power of Fire" - 1824), amely megalapozta a termodinamikát. Egyetemi szint.
-
Anouk Barberousse , Statisztikai mechanika: Clausiustól Gibbsig , Párizs, Belin , koll. "Tudománytörténet",2002, 239 o. ( ISBN 978-2-7011-3073-6 , nyilatkozat BNF n o FRBNF38945668 )Ez az eredeti gyűjtemény a gázok kinetikai elméletének történetét kínálja fel a nagy alapító szövegek (francia nyelvre lefordított) kivonatai alapján, amelyeket egy tudománytörténész korabeli perspektívába helyezett. Egyetemi hallgatóktól érhető el.
-
(en) Stephen G. Brush (1. könyv: Fizika és az atomisták - 2. könyv. Statisztikai fizika és visszafordíthatatlan folyamatok.), Az a fajta mozgás, amelyet hőnek hívunk: a gázok kinetikai elméletének története a 19. században , Amszterdam New York New York, Észak-Holland Sole forgalmazók az USA-ban és Kanadában, az Elsevier Science Pub. Co, koll. „Észak-Holland személyes könyvtár. ",1986, 467 o. , 2 kötet ( ISBN 978-0-444-87008-7 és 978-0-444-87009-4 ). A gázok kinetikai elméletének fejlődésének tudományos története, a Maryland Egyetem (USA) folyadékmechanikai professzorától. Rövid általános bevezetés (A rész) után az első kötet a szerző által osztályozott megközelítést alkalmazza (B rész). A második kötet (C. rész) konkrétabban tárgyal bizonyos problémákat, és egy bibliográfiával (D rész) zárul, amely az eredeti irodalomra utal. Egyetemi hallgatóktól érhető el.
- Peter M. Harman, Energia, erő és anyag - A 19. századi fizika fogalmi fejleményei , Cambridge University Press (1982), pp. ISBN. A fizika fejlődésének története a XIX . Században. Egyetemi hallgatóktól érhető el.
-
(en) Harman miniszterelnök , James Clerk Maxwell természeti filozófiája , Cambridge, Egyesült Királyság New York, Cambridge University Press ,2001, 232 o. ( ISBN 978-0-521-00585-2 , online olvasás ). Maxwell professzor természettudományi filozófiája, az elektrodinamika elméletének megalapítója és a gázok kinetikai elméletében fontos hozzájárulások szerzője. Egyetemi hallgatóktól érhető el.
-
en) Carlo Cercignani , Ludwig Boltzmann: az atomokban megbízó ember , Oxford New York, Oxford University Press ,1998, 329 p. ( ISBN 978-0-19-850154-1 és 978-0-198-57064-6 , OCLC 38910156 , online olvasható ). Ludwig Boltzmann tudományos életrajza, aki a csúcsra hozta a gázok kinetikai elméletét. Inkább a második egyetemi szint.
-
(en) Paul Ehrenfest és Tatiana Ehrenfest, A mechanikai statisztikai megközelítés fogalmi alapjai , New York, Dover Publications , coll. "Dover-könyvek a fizikáról és a kémiáról",1990, 114 p. ( ISBN 978-0-486-16314-7 , online olvasás ). Eredetileg 1912-ben (német nyelven) megjelent klasszikus cikk újrakiadása. Második ciklusú egyetemi szint.
Alkalmazások
Kapcsolódó cikkek
Statisztikai egyensúlyfizika
A statisztikai fizika egyensúlyon kívül van
Konferencia
- Konferencia-vita tól statisztikus fizika mesterséges intelligencia , a Marc Mézard ( statisztikai következtetés és fázisátmenetek ) fizikus, a rendező az École Normale Supérieure, Paris; Lenka Zdeborová ( a gépi tanulás statisztikai fizika modellezése ), fizikus, a CEA Saclay Elméleti Fizikai Intézet kutatója; Romain Couillet ( véletlenszerű mátrixelmélet és mesterséges intelligencia ), fizikus, a CentraleSupélec, a párizsi Saclay Egyetem és a Stéphane Mallat ( mély neurális hálózatok és többszintű statisztikai fizika ) professzora, matematikus, a Collège de France professzora, a Tudományos Akadémia tagja; Tudományos Akadémia konferenciák