Bose-Einstein statisztika

Természet	Tudományos elmélet ( in )
Alosztály	Statisztikai
Névre hivatkozva nevezték el	Satyendranath Bose , Albert Einstein
Szempontja	Részecske statisztika ( in )
Képlet	${\ displaystyle {\ frac {N} {V}} \ geq n_ {q} ~}$

A kvantummechanika és statisztikus fizika , Bose-Einstein statisztika lásd a statisztikai eloszlás a megkülönböztethetetlen (összes hasonló) bozon az energia állapotok a rendszer termodinamikai egyensúlyban . A szóban forgó eloszlás a bozonok sajátosságából adódik : az egész spin- részecskékre nem vonatkozik a Pauli-kizárási elv , nevezetesen az, hogy több bozon egyszerre foglalhatja el ugyanazt a kvantumállapotot .

Bose-Einstein eloszlás

A Bose-Einstein statisztika vezette be Satyendranath Bose ben 1920 a fotonok és általánosítható atomok által Albert Einstein a 1924 . Statisztikailag, termodinamikai egyensúlyban, száma $n i$ a részecskék energia $E i$ jelentése

{\ displaystyle n_ {i} = {\ frac {g_ {i}} {\ exp \ balra ({\ frac {E_ {i} - \ mu} {k _ {\ rm {B}} T}} \ jobbra ) -1}} \,}

vagy:

$g i$ az $E$ $i$ energiaszint degenerációja , nevezetesen az ezen energiával rendelkező állapotok száma;
$μ$ a kémiai potenciál ;
$k B$ jelentése Boltzmann állandó ;
$T$ a hőmérséklet .

Entrópia és levezetés a mikrokanonikus együttesben

Az entrópia a rendszer, amely a megkülönböztethetetlen bozonok , által leírt szimmetrikus hullám funkciók ( integer centrifugálás ), megtalálhatók a statisztikai leírása miatt J. Willard Gibbs . Akar

{\ displaystyle S = k _ {\ rm {B}} \ sum _ {j} G_ {j} \ balra [(1 + n_ {j}) \ log {(1 + n_ {j})} - n_ { j} \ log n_ {j} \ right]}

vagy

$k B$	Boltzmann állandó ,
$n j$	foglalkozások száma (a bozonok aránya egy adott energiaállapotban),
$G j$	lehetséges állapotok száma a j csoportban ( degeneráció ).

Demonstráció

A JW Gibbs által a statisztikai fizikában megfogalmazott módszer követésével a vizsgált rendszerben megszámoljuk az $E j$ energia $bozonjait$ , ezek számát ebben az $N j$ csoportban , ezeknek a csoportoknak mindegyike képes befogadni $G j$ állapotokat. Az entrópia kiszámítása egy ilyen rendszer $Ω$ statisztikai súlyának kiszámítását jelenti, vagyis a makrostátum végrehajtásához rendelkezésre álló mikroállapotok számát . Ha feltételezzük, hogy minden csoport független, akkor $Ω = Π j Ω j$ . A probléma ezért $Ω j$ ismeretére redukálódik .

A lehetőségek száma elosztására $N j$ megkülönböztethetetlen részecskék a $G j$ államokban

{\ displaystyle \ Omega _ {j} = {\ frac {(G_ {j} + N_ {j} -1)!} {(G_ {j} -1)! N_ {j}!}}}

A Stirling-formula , fenntartjuk a közelítés kiszámítjuk az entrópia (feltételezzük, hogy 1 képest elhanyagolható $N$ $j$ vagy $G$ $j$ ) ${\ displaystyle \ log {N!} \ kb N \ log {N}}$

{\ displaystyle S = k _ {\ rm {B}} \ log \ Omega = k _ {\ rm {B}} \ sum _ {j} \ log \ Omega _ {j} = k _ {\ rm {B }} \ sum _ {j} \ balra [-G_ {j} \ log {G_ {j}} - N_ {j} \ log {N_ {j}} + (G_ {j} + N_ {j}) \ napló {(G_ {j} + N_ {j})} \ jobbra}}

Akár a foglalkozások számának megadásával ${\ displaystyle n_ {j} = {\ tfrac {N_ {j}} {G_ {j}}}}$

{\ displaystyle S = k _ {\ rm {B}} \ sum _ {j} G_ {j} \ balra [(1 + n_ {j}) \ log {(1 + n_ {j})} - n_ { j} \ log n_ {j} \ right]}

A mikrokanonikus halmazban az egyensúlyi hőmérsékleten termodinamikai változókat úgy kapjuk meg, hogy a kényszer alatt az entrópiát maximalizáljuk, figyelembe véve a bozonok teljes számát és az összes energiát . A Lagrange szorzók módszere , $α$ a részecskék számát, és $β$ az energia, az oldatot ellenőrzi ${\ displaystyle N = \ sum _ {i} G_ {i} n_ {i}}$ ${\ displaystyle E = \ sum _ {i} n_ {i} G_ {i} E_ {i}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges} {\ részleges n_ {j}}} \ bal (S- \ alfa N- \ béta E \ jobb) = 0 \ ,, \ qquad \ minden j}

A független egyenletrendszer megoldása Bose-Einstein statisztikai eloszlása

{\ displaystyle n_ {j} = {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {\ alpha + \ beta E_ {j}} - 1}}}

Találunk értékei $α$ és $β$ a első elv a termodinamika . Tehát, $α = - μ β$ és $β = ( k B T ) -1$ .

Klasszikus határérték és összehasonlítás a fermionokkal

Magas hőmérsékleten, amikor a kvantumhatások már nem érezhetők, a Bose-Einstein statisztika , akárcsak a fermionokat irányító Fermi-Dirac statisztika , a Maxwell-Boltzmann statisztika felé mutat . Alacsony hőmérsékleten azonban a két statisztika eltér egymástól. Így nulla hőmérsékleten:

a Bose-Einstein statisztikával a legalacsonyabb energiaszint tartalmazza az összes bozont;
a Fermi-Dirac statisztikával a legalacsonyabb energiaszintek mindegyike legfeljebb $g i$ fermionokat tartalmaz .

Bose-Einstein kondenzátum

Amint azt korábban láttuk, a Bose-Einstein statisztika azt jósolja, hogy nulla hőmérsékleten minden részecske ugyanazt a kvantumállapotot foglalja el, mint a legalacsonyabb energia. Ez a jelenség makroszkopikus skálán megfigyelhető, és Bose-Einstein kondenzátumot képez .

Megjegyzések és hivatkozások

Ez a cikk részben vagy egészben az „ Entrópia (bozonok) ” című cikkből származik (lásd a szerzők felsorolását ) .

(in) Lev Landau és Jevgenyij Lifshitz , statisztikus fizika , Pergamon Press ,1969( online olvasás )

Lásd is

Bibliográfia

[Bose 1924] (de) Satyendra Nath Bose ( angolból Albert Einstein fordításában ), " Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese " ["Planck-törvény és a fényhipotézis kvantuma"], Zeitschrift für Physik , vol. 26,december 1924, P. 178-181 ( OCLC 4646217659 , DOI 10.1007 / BF01327326 , Bibcode 1924ZPhy ... 26..178B , összefoglalás , online olvasás [PDF] ) :
- [Bose 2005] Satyendra Nath Bose ( németből fordította Georges Frick), Planck törvénye és a könnyű hipotézis kvantumai, José Leite-Lopes és Bruno Escoubès ( szerk. és elõzetes ) ( elõzõ : Jean-Marc Lévy-Leblond ), A kvantumfizika forrásai és evolúciója: alapító szövegek , Les Ulis, EDP Sciences , kívül koll. . ,2005. nov, 1 st ed. , 1 köt. , XIV -316 p. , beteg. , ábra. , grafikon. és portr. , 16 × 24 cm-es ( ISBN 2-86883-815-4 , EAN 9782868838155 , OCLC 80.146.859 , nyilatkozat BNF n o FRBNF39987077 , SUDOC 094.109.842 , online bemutatót , olvasható online ) , CHAP. 3 , szekta. 3.1 . Cikk VIII [„Boson statisztika”], p. 85-88.
[Einstein 1924] (de) Albert Einstein , " Quantentheorie des einatomigen idealen Gases " [" Egyatomikus ideális gázkvantum- elmélet"], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften ,1924, P. 261-267.
[Einstein 1925a] (de) Albert Einstein , " Quantentheorie des einatomigen idealen Gases: zweite Abhandlung " [" Monatomikus ideális gázkvantum- elmélet: második értekezés"], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften ,1925, P. 3-14.
[Einstein 1925b] (de) Albert Einstein , „ Zur Quantentheorie des idealen Gases ” [„ Az ideális gáz kvantumelmélete”], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften ,1925, P. 18-25.

Kapcsolódó cikkek

Egyéb statisztikai eloszlások a statisztikai fizikában:
- a kvantummechanikában: Fermi-Dirac és Anyon statisztikák
- a klasszikus mechanikában: Maxwell-Boltzmann statisztika
Bose funkció
Kvantumfizika
Statisztikai fizika