Hullám funkció
A hullámfüggvény a kvantummechanika egyik alapfogalma . Megfelel a rendszer kvantumállapotának ábrázolásának végtelen dimenziós alapon, általában a pozíciókénál . Ez utóbbi esetben meg kell jegyezni , amely definíció szerint megfelel , ha a kvantumállapot normalizálódik.
|Ψ(t)⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle}|r⟩{\ displaystyle | \ mathbf {r} \ rangle}Ψ(r,t){\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t)}Ψ(r→,t)=⟨r|Ψ(t)⟩{\ displaystyle \ Psi ({\ vec {r}}, t) = \ langle \ mathbf {r} | \ Psi (t) \ rangle}|Ψ(t)⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle}
Ez egy valószínűségi amplitúdónak felel meg , általában komplex értékkel . A valószínűsége, hogy egy részecske a közelében a helyzetben időpontban t azután arányos a tér a modulusa a hullám funkció , valószínűségi sűrűsége (térfogat) jelenlétében, és hogy az intézkedés a térfogata a közelében . A hullámfüggvény fogalmának ezt a valószínűségi értelmezését 1925 és 1927 között dolgozta ki Max Born , Werner Heisenberg és mások, és ez képezi a kvantummechanika koppenhágai értelmezését , amely ezt a valószínűségi jelleget a mérőrendszer közötti kölcsönhatásban értelmezi ( makroszkopikus , ezért klasszikus) és a kvantumrendszer, ami a hullámcsomag redukciójához vezet . Ha ez a gyakorlatban a legáltalánosabban elfogadott, ez az értelmezés különféle ismeretelméleti problémákat vet fel (vö . Kvantummérés problémája ).
r{\ displaystyle \ mathbf {r}}|Ψ(r,t)|2{\ displaystyle \ left | \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ right | ^ {2}}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}
Ha a rendszer álló állapotban van , akkor ez a valószínűségi sűrűség nem függ az időtől, és lehetőség van az állóhullám- függvény használatára, amely ebben az esetben csak tisztán összetett fázisfaktorral különbözik , fizikai érdek nélkül.
ψ(r){\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r})}Ψ(r,t){\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t)}
A hullámfüggvény kiszámítása a Schrödinger-egyenlet segítségével történik . Például egy potenciális kútban egy részecske hullámfüggvénye egy álló szinuszhullám, amelynek hullámhossza a kút szélességének többszöröse.
Történelmileg a hullámfüggvény fogalmát Louis de Broglie implicit módon vezette be 1924-es tézisében . Nevét azzal magyarázzák, hogy bármely részecskének megadta a hullámra jellemző interferencia tulajdonságokat, általánosítva az Albert Einstein által a fényre bevezetett hullám-részecske kettősséget . Ez Erwin Schrödinger , aki elmélyül ez a fogalom javasolva egyenlet, amely most a nevét viseli, 1926-ban, és lehetővé teszi, hogy meghatározza azt.
Emlékeztetés a kvantummechanika alapjaira
Állapotvektor és Schrödinger-egyenlet
A kvantummechanikában a állapotában egy adott rendszer, mindaddig, amíg ez egy tiszta állapotban , az által adott állapot vektor . Ez a vektor a rendszer állapotteréhez tartozik , amelynek Hilbert-tér tulajdonságai vannak . Az elnevezés az „ vektor ” nem okoz zavart az említett három koordinátával általában előforduló mechanika: itt egy vektor a matematikai értelemben vett, azaz egy elemének helyet. Vektort , amely itt, végtelen dimenziójú.
|Ψ(t)⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}
Bármely fizikai mennyiség (Megjegyzendő A ), mint például az energia, helyzete a rendszer, stb ezt követően egy Hermit operátor (megjegyezve ) jeleníti meg ezt a teret, amelyet megfigyelhetőnek neveznek . A megfigyelhető fontos speciális esete a rendszer teljes energiájához kapcsolódó operátor, a hamiltoni , amely általában időfüggő.
NÁL NÉL^{\ displaystyle {\ hat {A}}} H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}
Az állapotvektor ekkor engedelmeskedik a Schrödinger-egyenlet megoldásának :
énℏddt|Ψ(t)⟩=H^|Ψ(t)⟩{\ displaystyle \ imath \ hbar {\ frac {d} {dt}} | \ Psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ Psi (t) \ rangle}.
Mivel az operátor lineáris, így a Schrödinger-egyenlet is. Ezért, ha és két állami vektorok megoldások a Schrödinger egyenlet, bármilyen lineáris kombinációja , és az is egy megoldás ennek az egyenletnek. A Schrödinger-egyenlet megoldásainak ez a tulajdonsága alkotja a szuperpozíció elvét .
H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}|Ψ1⟩{\ displaystyle | \ Psi _ {1} \ rangle}|Ψ2⟩{\ displaystyle | \ Psi _ {2} \ rangle}|Ψ1⟩{\ displaystyle | \ Psi _ {1} \ rangle}|Ψ2⟩{\ displaystyle | \ Psi _ {2} \ rangle}
Fizikai mennyiség mérése
Az akció a állapot vektor a megfigyelhető megfelel a mérési értékének a fizikai mennyiség által képviselt megfigyelhető időpontban t : ezt a mérést csak ad sajátérték- e vállalkozó, c ', hogy az , hogy a eigenstate az üzemeltető megfelel a sajátérték-egyenletnek (megjegyezve ) . A megfigyelhető operátor hermita jellege azt sugallja, hogy minden sajátértéke valós, és ezért fizikai jelentéssel bír.
|Ψ(t)⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle}NÁL NÉL^{\ displaystyle {\ hat {A}}}NÁL NÉL^|Ψ⟩=nál nélnem|ϕnem⟩{\ displaystyle {\ hat {A}} | \ Psi \ rangle = a_ {n} | \ phi _ {n} \ rangle}|ϕnem⟩{\ displaystyle | \ phi _ {n} \ rangle}NÁL NÉL^{\ displaystyle {\ hat {A}}}nál nélnem{\ displaystyle a_ {n}}NÁL NÉL^|ϕnem⟩=nál nélnem|ϕnem⟩{\ displaystyle {\ hat {A}} | \ phi _ {n} \ rangle = a_ {n} | \ phi _ {n} \ rangle}
Közvetlenül a mérés után az állapotvektor egyenlővé válik a sajátvektorral , ha a megfelelő sajátérték nem degenerált, vagyis egyetlen sajátállamnak felel meg . Ez a kvantummechanikára jellemző folyamat, amelynek során egy fizikai mennyiség mérése módosítja a vizsgált fizikai rendszer állapotát, megfelel a hullámcsomag redukciójának .
|Ψ(t)⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle}|ϕnem⟩{\ displaystyle | \ phi _ {n} \ rangle}|ϕnem⟩{\ displaystyle | \ phi _ {n} \ rangle}
A különféle megfigyelhető operátorok, mint a hermita, az összes megfigyelhető sajátállapot-készlet ortonormális alapot jelent a rendszer állapotterének (ez az eredmény képezi a spektrális tételt ). Következésképpen az állapotvektor (amelyet szintén feltételezzük, hogy normalizálunk) ezen az alapon lebontható és felírható:
{|ϕnem⟩}{\ displaystyle \ left \ {| \ phi _ {n} \ rangle \ right \}}NÁL NÉL^{\ displaystyle {\ hat {A}}}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}
|Ψ(t)⟩=∑nemvs.nem(t)|ϕnem⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle = \ sum _ {n} c_ {n} (t) | \ phi _ {n} \ rangle},
a , amely a következő fizikai értelmezése: a valószínűsége (időpontban t ), hogy megkapjuk a mérés eredményét a fizikai nagyságrendű A értéket .
vs.nem(t)=⟨ϕnem|Ψ(t)⟩{\ displaystyle c_ {n} (t) = \ langle \ phi _ {n} | \ Psi (t) \ rangle}|vs.nem(t)|2=|⟨ϕnem|Ψ(t)⟩|2{\ displaystyle \ left | c_ {n} (t) \ right | ^ {2} = \ left | \ langle \ phi _ {n} | \ Psi (t) \ rangle \ right | ^ {2}}nál nélnem{\ displaystyle a_ {n}}
Helyhez kötött állapotok
Fontos speciális eset azoknak a rendszereknek az esete, amelyeknél a Hamilton-féle nem kifejezetten függ az időtől. Ebben az esetben ennek az operátornak a sajátállapotát az egyenlet adja, amelyet gyakran helyhez kötött Schrödinger-egyenletnek hívnak (vagy függetlenek az időtől), amelynek megfelelő sajátértékei sem függenek az időtől. A megfelelő sajátállapotokat a rendszer álló állapotainak nevezzük .
H^|Φnem⟩=Enem|Φnem⟩{\ displaystyle {\ hat {H}} | \ Phi _ {n} \ rangle = E_ {n} | \ Phi _ {n} \ rangle}
Valóban, ha a rendszer ilyen állapotban van, vagyis a Schrödinger-egyenletet írjuk:
|Ψ(t)⟩=|Φnem⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle = | \ Phi _ {n} \ rangle}
énℏddt|Φnem⟩=Enem|Φnem⟩{\ displaystyle \ imath \ hbar {\ frac {d} {dt}} | \ Phi _ {n} \ rangle = E_ {n} | \ Phi _ {n} \ rangle},
amelynek nyilvánvaló megoldása van , ahol t-től függetlenül . A sajátállamok időbeli függősége tehát pusztán komplex fázistényező, különösebb fizikai jelentőség nélkül. Különösen, ha a rendszer kezdetben álló állapotban van egy adott energiával , akkor ez a jövőbeni fejlődése során is így marad.
|Φnem(t)⟩=exp(-énEnemtℏ)|Φnem(t=0)⟩=exp(-énEnemtℏ)|ϕnem⟩{\ displaystyle | \ Phi _ {n} (t) \ rangle = \ exp \ left (- \ imath {\ frac {E_ {n} t} {\ hbar}} \ right) | \ Phi _ {n} ( t = 0) \ rangle = \ exp \ left (- \ imath {\ frac {E_ {n} t} {\ hbar}} \ right) | \ phi _ {n} \ rangle}|ϕnem⟩=|Φ(t=0)⟩{\ displaystyle | \ phi _ {n} \ rangle = | \ Phi (t = 0) \ rangle}Enem{\ displaystyle E_ {n}}
A hullámfüggvény fogalma
A rendszer állapotterének ábrázolása
A rendszer fizikai állapotának leírása a Hilbert-térhez tartozó állapotvektor, valamint a különféle fizikai mennyiségek leírása az ezen állapottér elemeire ható operátorok szempontjából azzal az előnnyel jár, hogy elegánsan leírja a egy kvantumrendszer állapota és evolúciója, amely különféle helyzetekre alkalmazható, ideértve azokat a részecskéket is, amelyeknél a klasszikus egyenérték nélküli szabadságfokok vannak, például a spin . Másrészt a felhasznált fogalmak nagyon elvontak, és a gyakorlatban szükséges, hogy a különböző operátorokat, különösen a hamiltoni és az állapotvektort számításokhoz hozzáférhető formában fejezhessük ki , hogy a Schrödinger-egyenlet.
H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}
Ehhez olyan alapot kell választani, amelyben a különböző operátorok és az állapotvektor kifejezhetők lesznek: az ilyen alapválasztást az állapottér reprezentációjának nevezzük . A választott bázis egy adott megfigyelhetőhöz társított operátor sajátvektorai által képzett alap lesz. Különösen alkalmazhatók azok a reprezentációk, amelyek a sajátértékek folyamatos spektrumával rendelkező operátorokkal társulnak, amelyek sajátállamai az állapotok térének "folyamatos bázisát" alkotják, mint például a helyzet és a lendület operátoraihoz társítottak , amelyek "bázisai" megjegyezte és . Ez a két ábrázolások megfelelnek rendre a helyzetbe képviseletet , és a impulzus képviseletét .
r^=(x^,y^,z^){\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} = \ balra ({\ hat {x}}, {\ hat {y}}, {\ hat {z}} \ jobbra)}o^=(ox^,oy^,oz^){\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {p}}} = \ balra ({\ hat {p_ {x}}}, {\ hat {p_ {y}}}, {\ hat {p_ {z}}} \ jobb)}{|r⟩}{\ displaystyle \ left \ {| \ mathbf {r} \ rangle \ right \}}{|o⟩}{\ displaystyle \ left \ {| \ mathbf {p} \ rangle \ right \}}
- Helyzetábrázolásban az alapvektorok a részecske helyzetoperátorának sajátállamai . Ez az operátor egy példa egy "vektoroperátorra", amely valójában három "skaláris" operátorból áll , és amelyeknek az egyik sajátállamra gyakorolt hatása egyszerű szorzást jelent:|r⟩{\ displaystyle | \ mathbf {r} \ rangle}r^{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}(x^,y^,z^){\ displaystyle \ left ({\ hat {x}}, {\ hat {y}}, {\ hat {z}} \ right)}|r⟩{\ displaystyle | \ mathbf {r} \ rangle}
x^|r⟩=x|r⟩{\ displaystyle {\ hat {x}} | \ mathbf {r} \ rangle = x | \ mathbf {r} \ rangle}(ugyanaz és .)
y^{\ displaystyle {\ hat {y}}}z^{\ displaystyle {\ hat {z}}}Ilyen ábrázolás esetén a részecske impulzus-operátorát mágneses tér hiányában írják fel .
o^=-énℏ∇→{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {p}}} = - \ imath \ hbar {\ vec {\ nabla}}}Az állapotok a kifejezés szokásos értelmében nem összegezhetők és nem normalizálható négyzetek. Következésképpen, és bár a rendszer állapotainak terét „alap” vektoroknak minősítik, ezért nem tartoznak ebbe a térbe. Normálizálni őket azonban "az eloszlások értelmében" lehet a feltétel előírásával .
|r⟩{\ displaystyle | \ mathbf {r} \ rangle}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}⟨r′|r⟩=δ(r′-r){\ displaystyle \ langle \ mathbf {r} '| \ mathbf {r} \ rangle = \ delta \ left (\ mathbf {r}' - \ mathbf {r} \ right)}- Az impulzusábrázolásban a pulzus-operátor sajátállapotainak folyamatos alapját kell használni , amely a helyzet-operátorhoz hasonlóan a három operátor halmazának megfelelő vektor-operátor , amely megfelel a részecske lendületének három összetevőjének. Ugyanúgy, mint korábban, ezeknek az operátoroknak az egyik sajátállamon végzett tevékenysége szorzattá csökken a megfelelő impulzus értékével: például .{|o⟩}{\ displaystyle \ left \ {| \ mathbf {p} \ rangle \ right \}}o^{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {p}}}}(ox^,oy^,oz^){\ displaystyle \ left ({\ hat {p_ {x}}}, {\ hat {p_ {y}}}, {\ hat {p_ {z}}} \ right)}|o⟩{\ displaystyle | \ mathbf {p} \ rangle}ox^|o⟩=ox|o⟩{\ displaystyle {\ hat {p_ {x}}} | \ mathbf {p} \ rangle = p_ {x} | \ mathbf {p} \ rangle}
Ebben az ábrázolásban az operátor pozíciója van megadva , kijelölve a változókra ható gradiens operátort .
r^{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}r^=énℏ∇→o{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} = \ imath \ hbar {\ vec {\ nabla}} _ {p}}∇→o{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} _ {p}}(ox,oy,oz){\ displaystyle (p_ {x}, p_ {y}, p_ {z})}Ami a helyzetábrázolást illeti , az állapotok a kifejezés szokásos értelmében nem összegezhetők és nem normalizálható négyzetek, hanem a feltétel előírásával "eloszlások értelmében" vannak .
|o⟩{\ displaystyle | \ mathbf {p} \ rangle}⟨o′|o⟩=δ(o′-o){\ displaystyle \ langle \ mathbf {p} '| \ mathbf {p} \ rangle = \ delta \ left (\ mathbf {p}' - \ mathbf {p} \ right)}
Hullámfüggvény pozíció ábrázolásban (részecske centrifugálás nélkül)
Kiemelés
Helyzetábrázolásban és egy spin nélküli részecske esetében az állapotvektor ezt követően felbontható , ami:
|Ψ(t)⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle}{|r⟩}{\ displaystyle \ left \ {| \ mathbf {r} \ rangle \ right \}}
|Ψ(t)⟩=∫⟨r|Ψ⟩|r⟩d3r{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle = \ int \ langle \ mathbf {r} | \ Psi \ rangle | \ mathbf {r} \ rangle \, d ^ {3} \ mathbf {r}},
és így megfelel a definíció a hullámfüggvény helyzetben képviselete a rendszerben. Ez akkor ugyanazt a szerepet tölti be, mint az állapotvektor lebontása során bevezetett együtthatók bármely megfigyelhető sajátállapotának diszkrét alapján . Ez utóbbi esetben azonban annak a valószínűségnek felel meg, hogy a megfigyelhető mérése ennek eredményeként megadja a sajátértéket . Ugyanígy képviseli annak a valószínűségnek a sűrűségét, amelyet a helyzet t pillanatában végzett mérés eredményez , feltéve, hogy az állapotvektor egységre normalizálódik.
Ψ(r,t)=⟨r|Ψ⟩{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ langle \ mathbf {r} | \ Psi \ rangle}vs.nem(t){\ displaystyle c_ {n} (t)}NÁL NÉL^{\ displaystyle {\ hat {A}}}|vs.nem(t)|2{\ displaystyle \ bal | c_ {n} (t) \ jobb | ^ {2}}NÁL NÉL^{\ displaystyle {\ hat {A}}}nál nélnem{\ displaystyle a_ {n}}|Ψ(r,t)|2=|⟨r|Ψ⟩|2{\ displaystyle \ left | \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ right | ^ {2} = \ left | \ langle \ mathbf {r} | \ Psi \ rangle \ right | ^ {2}}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}
Valóban, mivel ebben az esetben a záródás kapcsolatának bevezetésével jön létre a sajátállamokban :
⟨Ψ|Ψ⟩=1{\ displaystyle \ langle \ Psi | \ Psi \ rangle = 1}∫|r⟩⟨r|d3r=1^{\ displaystyle \ int | \ mathbf {r} \ rangle \ langle \ mathbf {r} | \, d ^ {3} \ mathbf {r} = {\ hat {1}}}{|r⟩}{\ displaystyle \ left \ {| \ mathbf {r} \ rangle \ right \}}
1=⟨Ψ|∫(|r⟩⟨r|d3r)|Ψ⟩=∫⟨Ψ|r⟩⟨r|Ψ⟩d3r=∫Ψ∗(r,t)Ψ(r,t)d3r=∫|⟨r|Ψ⟩|2d3r{\ displaystyle {\ begin {aligned} 1 & = \ langle \ Psi | \ int \ left (| \ mathbf {r} \ rangle \ langle \ mathbf {r} | \, d ^ {3} \ mathbf {r} \ right) | \ Psi \ rangle \\ & = \ int \ langle \ Psi | \ mathbf {r} \ rangle \ langle \ mathbf {r} | \ Psi \ rangle \, d ^ {3} \ mathbf {r} = \ int \ Psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \ Psi (\ mathbf {r}, t) \, d ^ {3} \ mathbf {r} \\ & = \ int \ balra | \ langle \ mathbf {r} | \ Psi \ rangle \ right | ^ {2} \, d ^ {3} \ mathbf {r} \ end {aligned}}},
vagy végül , ez az utolsó összefüggés ( normalizálási feltétel ) szükséges ahhoz, hogy valószínűségi módon értelmezhető legyen, annak valószínűsége, hogy a részecskét az egész térben megtalálja, egyenlő 1-vel.
∫|Ψ(r,t)|2d3r=1{\ displaystyle \ int \ left | \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ right | ^ {2} \, d ^ {3} \ mathbf {r} = 1}|Ψ(r,t)|2{\ displaystyle \ left | \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ right | ^ {2}}
Maga a hullámfüggvény általában komplex értékű, és azt a "valószínűség amplitúdóját" képviseli, hogy a részecskét egy adott helyzetben megtalálja a t időpontban . Tekintettel a részecske hullámfüggvényére , a részecske állapotban megfigyelhető átlagértékét aΨ(r,t){\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t)}|Ψ⟩{\ displaystyle | \ Psi \ rangle}⟨NÁL NÉL^⟩=⟨Ψ|NÁL NÉL^|Ψ⟩=∫Ψ∗(r,t)(NÁL NÉL^Ψ(r,t))d3r{\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = \ langle \ Psi | {\ hat {A}} | \ Psi \ rangle = \ int \ Psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \ balra ({\ hat {A}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ jobbra) \, d ^ {3} \ mathbf {r}}
Demonstráció
Ennek a kapcsolatnak a feloldásához be kell vezetni a záró relációt a skaláris szorzaton belül . Akkor jön:
∫|r⟩⟨r|d3r=1^{\ displaystyle \ int | \ mathbf {r} \ rangle \ langle \ mathbf {r} | \, d ^ {3} \ mathbf {r} = {\ hat {1}}}⟨Ψ|NÁL NÉL^|Ψ⟩{\ displaystyle \ langle \ Psi | {\ hat {A}} | \ Psi \ rangle}
⟨Ψ|NÁL NÉL^|Ψ⟩=⟨Ψ|(∫|r⟩⟨r|d3r′)(NÁL NÉL^|Ψ⟩)=∫⟨Ψ|r⟩⟨r|NÁL NÉL^|Ψ⟩d3r=∫Ψ∗(r,t)(NÁL NÉL^Ψ(r,t))d3r{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ langle \ Psi | {\ hat {A}} | \ Psi \ rangle & = \ langle \ Psi | \ left (\ int | \ mathbf {r} \ rangle \ langle \ mathbf {r} | \, d ^ {3} \ mathbf {r} '\ right) \ bal ({\ hat {A}} | \ Psi \ rangle \ right) \\ & = \ int \ langle \ Psi | \ mathbf {r} \ rangle \ langle \ mathbf {r} | {\ hat {A}} | \ Psi \ rangle \, d ^ {3} \ mathbf {r} \\ & = \ int \ Psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \ balra ({\ hat {A}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ jobbra) \, d ^ {3} \ mathbf {r} \ end {igazítva} }}.
Állandó állapot esete
Amikor a rendszer álló állapotban van, állapotvektora formájú , megírja a megfelelő hullámfüggvényét , ahol egy tisztán térbeli hullámfüggvény az álló Schödinger-egyenlet megoldási módja ábrázolási helyzetben:
|Φnem⟩=exp(-énEnemtℏ)|ϕnem⟩{\ displaystyle | \ Phi _ {n} \ rangle = \ exp \ left (- \ imath {\ frac {E_ {n} t} {\ hbar}} \ right) | \ phi _ {n} \ rangle}Ψnem(r,t)=⟨r|Φnem⟩=exp(-énEnemtℏ)⟨r|ϕnem⟩=exp(-énEnemtℏ)ψnem(r){\ displaystyle \ Psi _ {n} (\ mathbf {r}, t) = \ langle \ mathbf {r} | \ Phi _ {n} \ rangle = \ exp \ left (- \ imath {\ frac {E_ { n} t} {\ hbar}} \ jobb) \ langle \ mathbf {r} | \ phi _ {n} \ rangle = \ exp \ bal (- \ imath {\ frac {E_ {n} t} {\ hbar }} \ jobbra] \ psi _ {n} (\ mathbf {r})}ψnem(r)=⟨r|ϕnem⟩{\ displaystyle \ psi _ {n} (\ mathbf {r}) = \ langle \ mathbf {r} | \ phi _ {n} \ rangle}
H^ψnem(r)=Enemψnem(r){\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi _ {n} (\ mathbf {r}) = E_ {n} \ psi _ {n} (\ mathbf {r})}.
Helyhez kötött állapotban tehát elkülönül a hullámfüggvény "térbeli" és "időbeli" része, az utóbbi rész tisztán képzelt fázistényező. Ez a fázistényező nem érdekel fizikai szempontból, ha a rendszer ilyen állapotban van, mivel a különféle megfigyelhető átlagértékek kiértékelése során kiküszöböli.
Fontos azonban hangsúlyozni, hogy az általános esetben, és a Schrödinger-egyenlet linearitása miatt, az álló állapotok bármilyen szuperpozíciója is megoldást jelent ennek az egyenletnek, és következésképpen egy adott pillanatban a rendszer olyan állapotok szuperpozíciója, amelyek mindegyikének van bizonyos "súlya", a megfelelő hullámfüggvény ekkora alakú:
exp(-énEnemtℏ)ψnem(r){\ displaystyle \ exp \ left (- \ imath {\ frac {E_ {n} t} {\ hbar}} \ right) \ psi _ {n} (\ mathbf {r})}
Ψ(r,t)=∑nemnál nélnemexp(-énEnemtℏ)ψnem(r){\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ sum _ {n} {a_ {n} \ exp \ balra (- \ imath {\ frac {E_ {n} t} {\ hbar}} \ jobbra) \ psi _ {n} (\ mathbf {r})}}.
Ilyen esetben nyilvánvaló, hogy nincs globális fázistényező, és az adott megfigyelhető átlagértékeinek értékelése során figyelembe kell venni az időbeli részt : azóta:
NÁL NÉL^{\ displaystyle {\ hat {A}}}
⟨NÁL NÉL^⟩=⟨Ψ|NÁL NÉL^|Ψ⟩=∑nem′∑nemnál nélnem′∗nál nélnemexp(énωnem′nemt)NÁL NÉLnem′nem{\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = \ langle \ Psi | {\ hat {A}} | \ Psi \ rangle = \ sum _ {n '} \ sum _ {n} a_ {n' } ^ {*} a_ {n} \ exp \ balra (\ imath \ omega _ {n'n} t \ jobbra) A_ {n'n}},
ahol a mátrix eleme az üzemeltető a két stacionárius állapot és , és a Bohr frekvenciák a vizsgált rendszert.
NÁL NÉLnem′nem=⟨nem′|NÁL NÉL^|nem⟩=∫ψnem∗(r)(NÁL NÉL^ψnem(r))d3r{\ displaystyle A_ {n'n} = \ langle n '| {\ hat {A}} | n \ rangle = \ int \ psi _ {n} ^ {*} (\ mathbf {r}) \ balra ({ \ hat {A}} \ psi _ {n} (\ mathbf {r}) \ right) \, d ^ {3} \ mathbf {r}}NÁL NÉL^{\ displaystyle {\ hat {A}}}ψnem′{\ displaystyle \ psi _ {n '}}ψnem{\ displaystyle \ psi _ {n}}ωnem′nem=Enem′-Enemℏ{\ displaystyle \ omega _ {n'n} = {\ frac {E_ {n '} - E_ {n}} {\ hbar}}}
A megfigyelhető átlagértéke tehát a rendszer különböző Bohr-frekvenciáin oszcilláló kifejezések összege, hacsak a rendszer nem álló állapotban van, vagy ha a megfigyelhető összes nem átlós mátrixeleme nulla.
Hullámfüggvény impulzusábrázolásban (részecske spin nélkül)
Kiemelés
Ugyanúgy, mint a helyzetábrázolásnál, amely a teljes bázist alkotja , a bázis lebontja a részecske állapotvektorát , amely:
{|o⟩}{\ displaystyle \ left \ {| \ mathbf {p} \ rangle \ right \}}|Ψ(t)⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle}
|Ψ(t)⟩=∫⟨o|Ψ⟩|o⟩d3o{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle = \ int \ langle \ mathbf {p} | \ Psi \ rangle | \ mathbf {p} \ rangle \, d ^ {3} \ mathbf {p}},
és így megfelel a definíció a hullám funkció a pulzus képviseletét a rendszer. Ugyanúgy, mint a helyzetábrázolás esetén, annak a valószínűségnek a sűrűségének felel meg, hogy a részecske momentumának t időpontban történő mérése megadja az értéket , feltéve, hogy az egységre normalizálódik, vagyis kielégíti a feltételt :
Φ(o,t)=⟨o|Ψ⟩{\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {p}, t) = \ langle \ mathbf {p} | \ Psi \ rangle}|Φ(o,t)|2{\ displaystyle \ left | \ Phi (\ mathbf {p}, t) \ right | ^ {2}}o{\ displaystyle \ mathbf {p}}
∫|Φ(o,t)|2d3o=1{\ displaystyle \ int \ left | \ Phi (\ mathbf {p}, t) \ right | ^ {2} \, d ^ {3} \ mathbf {p} = 1},
az integrációt úgy kell érteni, hogy az az „impulzusok terének” összességére vonatkozik.
Stacionárius állapot esetén ugyanúgy meg lehet mutatni, mint korábban, hogy a hullámfüggvény formába kerül , ahol egy hullámfüggvény van "tisztán az impulzusok térében", az álló Schödinger-egyenlet megoldása lendületes ábrázolásban:
Φ(o,t)=exp(-énEnemtℏ)ϕnem(o){\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {p}, t) = \ exp \ left (- \ imath {\ frac {E_ {n} t} {\ hbar}} \ right) \ phi _ {n} (\ mathbf {p})}ϕnem(o)=⟨o|ϕnem⟩{\ displaystyle \ phi _ {n} (\ mathbf {p}) = \ langle \ mathbf {p} | \ phi _ {n} \ rangle}
H^ϕnem(o)=Enemϕnem(o){\ displaystyle {\ hat {H}} \ phi _ {n} (\ mathbf {p}) = E_ {n} \ phi _ {n} (\ mathbf {p})}.
A hullámfüggvények kapcsolata a két ábrázolásban
A szoros kapcsolat alapján történő felhasználása következik:
{|r⟩}{\ displaystyle \ left \ {| \ mathbf {r} \ rangle \ right \}}
Φ(o,t)=⟨o|Ψ⟩=⟨o|(∫|r⟩⟨r|d3r)|Ψ⟩=∫⟨o|r⟩Ψ(r,t)d3r{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Phi (\ mathbf {p}, t) & = \ langle \ mathbf {p} | \ Psi \ rangle = \ langle \ mathbf {p} | \ balra (\ int | \ mathbf {r} \ rangle \ langle \ mathbf {r} | \, d ^ {3} \ mathbf {r} \ right) | \ Psi \ rangle \\ & = \ int \ langle \ mathbf {p} | \ mathbf {r} \ rangle \ Psi (\ mathbf {r}, t) \, d ^ {3} \ mathbf {r} \ end {igazítva}}},
hol van azonban a normalizált hullámfüggvény helyzetábrázolásban az operátor impulzus sajátállapotaival, amelyet a (vö. cikk lendület ) ad meg , következésképpen jön:
⟨o|r⟩=ψo∗(r){\ displaystyle \ langle \ mathbf {p} | \ mathbf {r} \ rangle = \ psi _ {\ mathbf {p}} ^ {*} (\ mathbf {r})}ψo(r){\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {p}} (\ mathbf {r})}ψo(r)=1(2πℏ)3/2exp(éno⋅rℏ){\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {p}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {\ balra (2 \ pi \ hbar \ jobbra) ^ {3/2}}} \ exp \ balra (i {\ frac {\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r}} {\ hbar}} \ jobbra)}
Φ(o,t)=1(2πℏ)3/2∫exp(-éno⋅rℏ)Ψ(r,t)d3r{\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {p}, t) = {\ frac {1} {\ balra (2 \ pi \ hbar \ jobbra) ^ {3/2}}} \ int \ exp \ balra (-i {\ frac {\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r}} {\ hbar}} \ right) \ Psi (\ mathbf {r}, t) \, d ^ {3} \ mathbf {r}},
más szavakkal, a hullámfüggvény impulzusábrázolásban a hullámfüggvény Fourier-transzformációja a helyzetábrázolásban .
Φ(o,t){\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {p}, t)}Ψ(r,t){\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t)}
Azonnal igaz, hogy fordítva igaz, tehát a fordított Fourier-transzformáció .
Ψ(r,t)=1(2πℏ)3/2∫exp(éno⋅rℏ)Φ(o,t)d3o{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {\ balra (2 \ pi \ hbar \ jobbra) ^ {3/2}}} \ int \ exp \ balra (i { \ frac {\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r}} {\ hbar}} \ right) \ Phi (\ mathbf {p}, t) \, d ^ {3} \ mathbf {p}}Φ(o,t){\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {p}, t)}
Megjegyzések és hivatkozások
Megjegyzések
-
Valójában "kiküszöböli" a hullámfüggvény modulusának négyzetének értékelése során.
-
Ha a sajátérték degenerált, az állapotvektor közvetlenül a mérés után a sajátvektorok szuperpozíciója (ahol i = 1, ..., g , g a figyelembe vett sajátérték degenerációjának mértéke) a megfelelő nem megfelelő térhez a sajátértékkel|ϕnemén{\ displaystyle | \ phi _ {n} ^ {i}}nál nélnem{\ displaystyle a_ {n}}
-
Az állapotvektornak egy megfigyelhető sajátállapotok alapján történő lebontásának ez a lehetősége természetesen szorosan összefügg a Schrödinger-egyenlet linearitásával.
-
Fontos hangsúlyozni, hogy ha az energia sajátértékei nem függenek egy álló állapot idejétől, akkor a rendszer állapotterének elemei , a sajátállamok általában a t-től függenek .|Φnem⟩{\ displaystyle | \ Phi _ {n} \ rangle}
-
A gyakorlatban az ilyen "folyamatos alapok" bevezetése komoly matematikai problémákat vet fel. A sajátfüggvényeket nem négyzetesen integrálható hatását, és meg kell ortogonalizálhatók „értelemben eloszlás”: .⟨r′|r⟩=δ(r′-r){\ displaystyle \ langle \ mathbf {r} '| \ mathbf {r} \ rangle = \ delta \ left (\ mathbf {r}' - \ mathbf {r} \ right)}
-
Ezt az eredményt a kanonikus kommutációs reláció , az identitásoperátort jelölő jelölés okozza .[x^,ox^]=énℏ1^{\ displaystyle \ left [{\ hat {x}}, {\ hat {p_ {x}}} \ right] = \ imath \ hbar {\ hat {1}}}1^{\ displaystyle {\ kalap {1}}}
-
A jelölés „ δ ” megfelel a Dirac eloszlás , gyakran nevezik visszaélésszerűen „Dirac-delta”, bár ez nem szigorúan véve a funkciót . Ennek a "függvénynek" a legfőbb tulajdonsága, hogy bármely f függvény esetében .∫δ(r′-r)f(r′)d3r′=f(r){\ displaystyle \ int \ delta \ left (\ mathbf {r} '- \ mathbf {r} \ right) f (\ mathbf {r}') \, d ^ {3} \ mathbf {r} '= f ( \ mathbf {r})}
-
Vagyis annak a valószínűsége, hogy a részecske helyzetének mértéke beleszámít a körül lévő elemi térfogatba .|Ψ(r,t)|2d3r{\ displaystyle \ left | \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ right | ^ {2} \, d ^ {3} \ mathbf {r}} d3r{\ displaystyle d ^ {3} \ mathbf {r}}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}
-
Az álló helyzet tehát hasonló az állóhullámhoz , amelyet a térbeli és időbeli részek elválasztása is jellemez.
-
Ez a fent említett "szuperpozíció elve" következménye.
Hivatkozások
-
Vö. Shankar, Kvantummechanika alapelvei , 2. kiadás, Plenum, New York, 1994, ( ISBN 0-306-44790-8 ) , 4. fejezet.
-
Lásd: Cohen-Tannoudji et al. , Kvantummechanika , I. kötet, Herman, Párizs, 1977, ( ISBN 2-7056-6074-7 ) .
-
Vö. Lev Landau és Evgueni Lifchits , elméleti fizika [ a kiadások részlete ], 2. bek.
-
Vö. Shankar, op. cit. .
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">