SI egységek | kg m s −1 (= N s ) |
---|---|
Dimenzió | ML T-1 |
Természet | Méret Vektor konzervatív kiterjedt |
Link más méretekhez |
A fizika , a mennyisége a mozgás a termék a tömeges által sebessége vektor egy anyagi test feltételezzük, hogy pont. Ez tehát egy által meghatározott vektormennyiségről szól , amely a tanulmány referenciakeretétől függ . By additivitás, lehetőség van, hogy meghatározza a lendület a nem pontszerű test (vagy anyagi rendszer), ami kimutatható, hogy egyenlő a lendület a központja tehetetlenségi által érintett tömege összesen a rendszer, vagy a ( C , hogy a a rendszer tehetetlenségi központja).
A koncepció a lendület természetesen be dinamikus : sőt, az alapvető kapcsolatot a dinamika fejezi ki, hogy az intézkedés a külső erő a rendszer vezet változás lendületét: . Ezenkívül az energiával együtt része azoknak a mennyiségeknek, amelyek egy elszigetelt rendszer számára megmaradnak , vagyis bármilyen külső hatásnak vannak kitéve, vagy ha ezek elhanyagolhatók vagy kompenzálódnak. Ezt a tulajdonságot különösen az ütközéselméletben használják .
Az analitikai vagy kvantummechanikában a lendület természetesen a Hamilton vagy a Lagrangian invarianciájához kapcsolódó nagyságrendként jelenik meg a tér fordításában, vagyis a tér homogenitásának tulajdonságában, amelyet külső erők hiányában hatékonyan ellenőriznek. vagy mezők. Általánosabb szinten valójában Noether tételének az egyik következménye , amely lehetővé teszi a rendszer folyamatos szimmetriájának és a természetvédelmi törvények összekapcsolását.
A lineáris momentum vagy impulzus fogalma az analitikai mechanikában általánosítja a momentumét, mint az általánosított sebesség pillanat konjugátumát , azaz . A mozgás és az impulzus mennyisége az esetek többségében gyakran összezavaródik, mivel egybeesnek. Ez a két mennyiség azonban különbözik egymástól.
Az impulzus egybeesik a nyomatékkal a derékszögű koordinátákban, vagy általánosabban, ha egy lineáris változó származéka, és nem egy szög és mágneses tér hiányában. Elektromágneses térben mozgó töltött részecske esetén a lendület és a lendület egy olyan terminus miatt különbözik egymástól, amely a vektorpotenciálnak köszönhető , q pedig a részecske töltése. A lineáris impulzus „szögletes” analógja a szögimpulzus, amelyet általában összekevernek a szögimpulzussal .
Meghatározható az elektromágneses tér mozgásmennyisége is, amelyet gyakrabban impulzusnak nevezünk . Leggyakrabban a tér által adott térfogatimpulzus-sűrűségre hivatkoznak .
A relativisztikus mechanikában a lendület és az energia fogalmát összekapcsolja az energia-impulzus kvadrektor bevezetése , ahol γ a Lorentz-faktor .
A kvantummechanika , a lendület úgy definiáljuk, mint egy „vektor üzemeltető”, azaz egy sor három szolgáltató (egy per térbeli komponens), amely tiszteletben tartja az egyes kommutációs kapcsolatok (az úgynevezett kanonikus ) a komponensek a helyzetben szereplő .
A lendület első megfogalmazását megtalálhatjuk Jean Buridan (1292 - 1363) kérdésében: Questiones sur la physique d ' Aristote : A beültetett lendület ugyanabban az arányban növekszik, mint a sebesség. Amikor a mozgató mozgásba hozza a testet, bizonyos lendületet ad benne . Ez egy bizonyos erő, amely lehetővé teszi a test számára, hogy mozogjon abba az irányba, amelyben a mozgató elindítja ezt a mozgást, legyen az akár felfelé, lefelé, oldalra vagy körbe. Ennek a lendületnek köszönhető, hogy egy kő mozog, miután a görgő leállította. De a levegő ellenállása (és a kő gravitációja) miatt, amely megpróbálja azt ellenkező irányba mozgatni, mint a lendület által okozott mozgás , folyamatosan gyengülni fog. Ezért a kő mozgása fokozatosan lassabb lesz, és végül a lendület annyira lecsökken vagy megsemmisül, hogy a kő gravitációja érvényesül, és a kő természetes helyére kerül. Azt mondja, elfogadhatja ezt a magyarázatot, mert a többi magyarázat hamisnak bizonyul, míg az összes jelenség egyetért ezzel. Meg kell jegyezni, hogy a beültetett impulzust a sebesség okozza, és feltételezhető, hogy arányos vele. Buridan másutt a testtömeggel arányosnak tekintette. Helyesen megválasztott egységekben. Az Olaf Pedersen (in) tudománytörténész által a súly × sebesség kifejezés pontos jelentést ad a lendületnek , amely koncepció korábban meglehetősen homályos volt. Formálisan ez az új koncepció a dinamikában megegyezik a klasszikus fizika lendületével, de a valóságban a kettő nagyon különbözik egymástól, mert különböző részeik vannak a dinamikus elméleteikben. A fontos pont az, hogy középkori értelmében a lendület szó olyan erő, amelynek fizikai állapota megegyezik a gravitációval, könnyedséggel, mágnességgel stb. Azonban az elmélet lehet, hogy megnyílt az út a koncepciót a tehetetlenség , hogy végleg felváltja a XVII th században .
A diskurzusok dimostrazioni Matematiche intorno kellő nuove scienze a galileai , lendületmegmaradás, mégis teljesen elismert és alkalmazott, csak akkor az előadás során. René Descartes , teljes terjedelmét mérve, "természet törvényeként" vezeti be természetes filozófiájának küszöbén. Descartes rendszerének alkalmazási területei azonban filozófiai kozmológia maradnak. Nem rendelkezik olyan tudományos javaslat minőségével, amely szorosan kapcsolódik a geometrizált mozgáselmélet által megkövetelt feltételekhez. A pihenés és mozgás szempontjából közömbös anyag fogalmával való kapcsolata révén a Galileo a klasszikus tehetetlenségi elv közvetlen előfutára, megnyitva az utat egy első matematikai mozgáselmélet előtt, amelynek eredményei teljes mértékben átjutnak a newtoni szintézisbe ..
Az impulzus SI mértékegysége a kilogramm méter másodpercben kg m s −1 , ami egyenértékű a newton-másodperccel ( N s ).
Az egység a Imperial rendszer van font-erő- másodperc ( LBF s ): 1 LBF s = 4,448 221 N s . Ez a zavart a két egység közötti, metrikus és Imperial, amely az oka a veszteség a szonda Mars Mars Climate Orbiter a1999. szeptember 23, a szonda körüli pálya kis korrekcióinak nyomását ~ 4,5-es tényező alábecsülte.
A klasszikus mechanikában az m tömeg anyagi pontjának egy adott referenciakeretben animált momentumát a tömeg és a sebesség szorzataként határozzuk meg:
Ezért a sebességhez hasonlóan egy vektormennyiség , amelynek SI mértékegysége a kilogramm méter másodpercben ( kg m s −1 ).
Ez a mennyiség additív , így egy N részecskéből álló anyagrendszer esetében a rendszer teljes lendületét (vagy kinetikus eredményét ) a következő határozza meg:
.A rendszer C tehetetlenségi középpontjának bevezetésével, amelynek pozícióvektora definíciója szerint azonnal megkapja a kapcsolatot:
más szavakkal, a rendszer teljes lendülete megegyezik a C tehetetlenségi központjának impulzusával, amelyet a rendszer teljes tömege befolyásol :
Ez az összefüggés bármilyen típusú anyagrendszerre érvényes, akár deformálható, akár nem.
A szilárd mechanikában a lendület a kinetikus torzor eredménye .
A dinamika alapvető viszonya azt a tényt fejezi ki, hogy egy erő hatása megváltoztatja az anyagi pont lendületét egy galilei vonatkoztatási rendszerben :
Ez az összefüggés könnyen általánosítható egy anyagi rendszerre a rendszer teljes lendülete szempontjából, vagyis annak C tehetetlenségi központjának, amelyet a rendszer teljes tömege befolyásol:
Ez az eredmény a kinetikus eredmény vagy a tehetetlenségi központ tételének neve alatt ismert : ez azt mutatja, hogy egy anyagi rendszer számára a külső erők hatása a tehetetlenségi központ lendületének változásához vezet. rendszer.
A lendület megőrzéseKülső erők hiányában , vagy ha ezek eredője nulla, az anyagi rendszer lendülete tehát állandó mozgás , azóta . Az analitikai mechanikában a természetvédelmi törvény összekapcsolható a Lagrangian fordítási invarianciájával az űrben, lásd . lent.
A lendület megőrzésének klasszikus illusztrációját Newton inga szolgáltatja , amelyet gyakran dekorációs tárgyként használnak ( lásd a szemközti ábrát). Az egyik végén lévő labda sebesség nélkül elengedhető, és bizonyos mértékű mozgást szerez, majd ütközik a többi összefüggő golyóval. A másik végén lévő labda újból ugyanabban az irányban indul, mint a beeső labda, miután megkapta lendületét, amelyet az összefüggő golyókon keresztül "továbbítanak".
Általában a lendület megőrzése nagyon fontos a részecske sokkok vagy a rendszer bomlásának (több részre történő szétválasztásának) tanulmányozása során. Két (vagy több) anyagi test sokkja esetén a testek közötti interakció időtartama nagyon rövid, és elhanyagolható a rendszeren kívüli kölcsönhatások hatása, amelyet a testek alkotnak ütközés közben., amelynek teljes lendülete tehát konzerváltnak tekinthető. Fontos hangsúlyozni, hogy a kinetikus energia általában nem konzerválódik egy ütközés során, mert az ütközés során gyakran megváltozik a testek belső állapota: például két részecske, amelyek egymás mellett maradnak egy ütközés során. csak akkor, ha az ütközés rugalmas , a mozgási energia konzerválódik a lendület mellett ( lásd a szemközti ábrákat).
Két klasszikus példa szemlélteti a lendület megőrzésének alkalmazását a sokkok vagy a rendszer felbomlásának tanulmányozásában:
hol van az első labda sebességének változása a sokk során. Ha a lökés teljes erővel van, és kollineáris, akkor a második golyó értéksebességgel megy le . A határon átadható a lendület összessége az első labdától a másodikig, majd azután .
Ennek eredményeként a fegyver gyors ütközése visszahúzódik .
Ugyanez a jelenség akkor fordul elő, amikor nehéz tárgyat (követ) dobnak ki egy csónakból (szemközti kép). Ez Csiolkovszkij hajójának híres élménye .
Általánosságban ez a jelenség lehetővé teszi a rakétamotor elvének megértését ( lásd a szemközti ábrát): az anyag tömegének (dm az edény tömegének változása negatív) kinyomása a d t vezet - miatt lendületmegmaradás - (elhanyagolva a keresetet a külső erők ), hogy változik a sebesség a helyet rakéta származó . Integrálásával egy véges ideig , a sebesség a rakéta (a kiindulási tömege m 0 ) ezért változik a Δ m <0 , mivel a rakéta veszít tömeget. Így a rakéta a kilökődő gázokkal ellentétes irányban mozog (vö. Csiolkovsky egyenlet ).
Az erő hatásából adódó lendületváltozást tehát az erő integráljának számítják ki az erő hatásának időtartama alatt. Egy olyan t 1 pillanatnyi kezdeti impulzusú tárgy esetében , amely t 2 - t 1 időtartamú erőnek van kitéve , ezen erő integrálja az időhöz képest, ezen időtartam alatt egyenlő:
.A dinamika alapvető viszonyát felhasználva a következőket kapjuk:
.Az egyéni származó angolszász név impulzus , hogy hívja ezt a mennyiséget „impulzus”. Mindazonáltal, szigorúan véve, az impulzió a konjugált momentumot, a lagrangi mechanika nagyságát jelöli . Ha az erő hatásának időtartama nagyon rövid, akkor az előző I mennyiséget mechanikus ütőhangszereknek nevezzük , mivel fontos a sokk elméletében.
A Lagrangian-mechanikában az N részecskék (3 N szabadságfok) rendszere állapotát annak megjegyzett Lagrangianja írja le , ahol és az i-edik részecske vektoros formáiban általánosított koordinátákat és sebességeket jelöli ( i = 1, .. , N ).
A konjugált pillanat vagy az általános lendület fogalmaAz egyes részecskéknél meg lehet határozni a konjugált momentumot (vagy általánosított impulzust) a következő összefüggéssel:
A gradiens operátort jelölő szimbólum, amelyet az i- edik részecske általános sebességének összetevőihez viszonyítva értékeltek .
Szerint a Lagrange-egyenletek , amelyek meg vannak írva az azonos jelölések, akkor azonnal jön , és ha a koordináta a ciklikus , azaz, hogy a Lagrange- L nem függ, akkor ezért a konjugált pillanat megmarad.
Konjugált pillanat - lendület megkülönböztetésA konjugált pillanat fogalma általában nem felel meg a lendületnek.
Például, abban az esetben a mozgás egy egyetlen anyagból pont egy központi potenciális V ( R ) , attól függően, csak a távolságot R egy származási O , a mozgás síkban (2 szabadsági fok), és a Lagrange-a rendszer könnyen írható hengerpoláris koordinátákban a következő formában:
,és a konjugált nyomatéka tehát az, ami a részecske szögmomentumának értéke (amely ebben az esetben konzervált, mert L nem függ θ-től ).
Csak akkor, ha az általánosított koordináták egybeesnek a derékszögű koordinátákkal ( azaz q i = ( x i , y i , z i ) ), és elektromágneses tér hiányában a konjugált pillanat megfelel a mozgás mennyiségének. minden részecske. Ebben az esetben a Lagrange-egyenleteket azonosítjuk az egyes részecskékre alkalmazott dinamika alapvető viszonyaival .
Ha derékszögű koordinátákat használunk, és a Q i töltést hordozó részecskék elektromágneses mező jelenlétében vannak, amelyet a skalárpotenciálok és a feljegyzett mezővektor határoznak meg , a rendszer Lagrangianja magában foglalja az általános potenciált:, és ebben az esetben a konjugált momentumot a Lagrange-egyenletek miatt írják
, megjegyezve a részecske lendületét.A konjugált momentumot ebben az esetben impulzusnak nevezzük, hogy megkülönböztessük a lendülettől .
A mozgás és az invariancia mennyisége az űrben történő fordítássalA rendszer végtelen kicsi transzlációját az űrben az egyes részecskékre alkalmazott transzformáció határozza meg , amely az elemi transzlációs vektor. Nyilvánvaló, mivel ez a fordítás változatlanul hagyja a részecskék sebességvektorait , amelyek egybeesnek a derékszögű koordináták általánosított sebességeivel.
Ha a rendszer Lagrangianja invariáns az űrben történő fordítással, akkor annak megfelelő elemi változása szükségszerűen nulla az első rendben .
Lagrange egyenletei szerint és derékszögű koordinátákban történő működéssel ezt a feltételt a következő formában írják:
,azonban az elemi fordítás tekinthető, hogy önkényes, invarianciájának által fordítását a Lagrange azt jelenti, hogy a teljes lendületet a rendszer van tartósítva .
Így a mozgásmennyiség az analitikai mechanikában természetesen úgy jelenik meg, mint az invarianciával összefüggő konzervált mennyiség a Lagrangian (vagy a Hamilton-féle) fordításával, vagyis a tér homogenitásának tulajdonságával . Ez Noether tételének speciális esete .
Hamiltoni formalizmusA hamiltoni formalizmusban a rendszer N szabadságfokú állapotának leírása az N koordináták és az általánosított q i és p i impulzusok alapján történik , amelyek beavatkoznak a hamiltoni H ( q , p , t ) kifejezésbe . a rendszer.
Be lehet vezetni két tetszőleges f ( q , p ) és g ( q , p ) mennyiség Poisson-zárójelét a koordináták és az általános impulzusok függvényében, amelyeket a következők határoznak meg:
.Abban a konkrét esetben, ahol f = q i és g = p i jön { q i , p i } = 1 : ez az eredmény lehetővé teszi a helyzet és a lendület fogalmának általánosítását a kvantummechanikában, lehetővé téve a definiálást a megfelelés elve alapján kanonikus kommutációs viszony a két operátor között.
A folyadékok euleri leírása kapcsán az egyenleteket általában helyi formában (egy ponton) mutatják be. Ezután az ember megszabadul a térfogat fogalmától azáltal, hogy a folyadék bármely pontján meghatározza a lendületvektort
azzal ρ a sűrűsége a folyadék vizsgált pontban M időpontban t és a sebesség a folyadék részecske ponton elhelyezett M időpontban t . Ha a folyadék összenyomhatatlan, a ρ állandó időben és térben.
A folyadék lendületének tétele meg van írva:
Ne feledje, hogy a kívülről a folyadékra kifejtett erők kétféle típusúak: a távolságban lévő erők (térfogat) és az érintkező erők (a felszín):
A térfogati erő példája a súly, a felületi erőre pedig a súrlódási erők (helyette viszkozitásról beszélünk ).
Amikor Albert Einstein megfogalmazta speciális relativitáselméletét , a lendület definícióját egy négydimenziós ( kvadrivektoros ) vektorhoz igazította, amelyet négy pillanatnak neveznek , egyenlő a négy sebességgel, szorozva a test tömegével. A kvadrimomentum idővel állandó marad, külső erő hiányában.
Ezenkívül a quadri-pillanat normája invariáns az inerciális referenciakeret változásával . Pontosabban, az álnormát változatlanok a Lorentz-transzformációk , amelyek a test m tömegének (és nyugalmi energiájának : mc² ) invarianciáját jelentik . Másrészt a quadri-pillanat koordinátáiban az egyik referenciakeret a másikban megváltozik, és ez azt a tényt tükrözi, hogy a test sebessége és mozgási energiája eltér az egyes referenciakeretektől.
A kifejezés a Quadri-sebessége egy részecske egy térsebességgel v kisebb, mint c jelentése:
ahol a részecske klasszikus sebességvektorát képviseli, és olyan tényező, amelyet relativisztikus gamma- vagy Lorentz-tényezőnek nevezünk , c a fénysebesség . Ennek a kvadrivektornak a normája négyzetét az adja meg .
Az impulzus-energia kvadrivektor, amely a relativisztikus mechanikában általánosítja a lendület fogalmát, úgy kapjuk meg, hogy p α = μ α-t veszünk figyelembe a klasszikus definíció analógiájával, amely a következőket adja :
Ennek a kvadrivektornak a négyzete az a mennyiség, amely változatlan marad egy Lorentz-transzformáció során, és amely szükségszerűen megegyezik a μ α, azaz m 2 c 2 normájának négyzetével , ezért
A relativisztikus invariáns társított quadrivector tehát a tömege energiája a részecske (ahogy a tömeg változatlan marad a newtoni mechanika által változása referenciakeret).
A nulla tömegű tárgyaknak , például a fotonoknak is van egy 4 pillanatuk, amikor a p kvadrivektor álnormája nulla. Ebben az esetben:
ezért p = E / c a klasszikus impulzus mértékére.A lendület fogalma nem korlátozódik egy anyagi testre, hanem kiterjeszthető egy olyan mezőre is, mint az elektromágneses mező, amelynek helyett impulzusnak hívják, hogy elkerüljék az összetévesztést. Az V térfogatnak megfelelő elektromágneses tér impulzusát a következő adja:
.A mennyiség megfelel az elektromágneses impulzus sűrűségének , vagyis az elektromágneses tér egységnyi térfogatú impulzusának. Azóta közvetlenül kapcsolódik a Poynting vektorhoz .
Megmutatható, hogy ez a mennyiség jól megfelel az elektromágneses mezőhöz kapcsolt impulzus sűrűségnek, figyelembe véve annak kölcsönhatását a tetszőleges V térfogatban jelen levő töltésekkel és áramokkal , amelyeket a zárt felület ( S ) határol: a globális rendszer (töltések + áramok + em mező), a töltések és áramok, valamint a tér impulzussűrűségének változásának meg kell egyeznie az impulzus sűrűségének a felületen átáramló áramával ( S ) .
A mező és a töltések és áramok közötti kölcsönhatás magában foglalja a Lorentz-erő sűrűségét , és Maxwell egyenletei szerint ez jön:
amely helyettesítéssel:
,de az identitás szerint jön:
,a megfelelő kifejezés szimmetrikusabbá tehető a Maxwell két egyenletének felhasználásával, amely megadja a mező szerkezetét:
ami végül:
,a megfelelő kifejezés akkor feltehető a Maxwell-korlátok tenzorának eltérése formájában :
,vagy végül:
,Ez utóbbi egyenlet valóban formájában jelennek meg a helyi egyensúly egyenlet, a kifejezés, a bal oldalon, amely időbeli változásának a helyi impulzus sűrűsége díjrendszer és áramok ( ), és a mező (kifejezés ), a kifejezés az a többivel való cseréknek megfelelő vonal. Így összehasonlítható az elektromágneses tér impulzussűrűségével.
A kvantummechanikában egy rendszer állapotát t pillanatban a rendszer állapotterébe tartozó jelölt állapotvektor írja le (ennek Hilbert- térszerkezete van ). A különféle szokásos fizikai mennyiségeket (helyzet, energia stb.) Ekkor Hermiti operátorok alkotják , tehát valódi sajátértékekkel, megfigyelhetőknek nevezzük .
A részecske impulzusának fogalma, amelyet gyakrabban impulzusnak nevezünk , operátornak felel meg, valójában három operátor halmaza, amelyek mindegyike megfelel a tér három alkotóelemének, skaláris operátoroknak nevezzük, és amelyeket a klasszikus analógiájával lehet csoportosítani. egy úgynevezett vektor operátor, az úgynevezett impulzus operátor esetében .
Definíció szerint a pozíció operátor és az impulzus operátor vektor operátor, amelynek három skaláris operátora, amelyek a j = x , y , z különböző komponensekre hatnak , megfelelnek a tér különböző irányainak, és a következő kanonikus kommutációs összefüggéseknek felelnek meg:
Az első kommutációs kapcsolatban formálisan levezethető az analógia alapján a Poisson konzol { q j , p k } = δ jk közötti generalizált koordinátákat és pulzus mechanikai Hamilton alkalmazásával a vényköteles (levelezés elv) .
A és a közti nem kommutativitás ( más komponensekkel megegyezik ) azt jelenti , hogy nem lehet egy részecske helyzetét és lendületét (és ezért sebességét) egyszerre mérni . Tehát vannak egyenlőtlenségek, az úgynevezett Heisenberg , a szórás segítségével kijelölt Δ x és Δ p x A mérés a két mennyiség: .
Ezeknek a kapcsolatoknak az a következménye, hogy a pálya fogalma nem létezik egy kvantumrészecske esetében.
Heurisztikusan ez a helyzet könnyen érthető. Valóban, ha valaki pontosan meg akarja találni egy részecskét, akkor rövid hullámhosszú, tehát nagy energiájú hullámot kell használni. Ez az energia azonban szükségszerűen részben vagy egészben át fog szállni a részecskére, érezhetően módosítva annak lendületét. Hosszabb hullámhosszú hullámot lehet majd használni, de akkor a helyzet mérésével kapcsolatos bizonytalanság növekszik.
Helyzetábrázolásban, ahol a rendszer állapota hullámfüggvényével leírható, egy adott x komponens helyzetoperátora egyszerűen megfelel a hullámfüggvény általi szorzásának:
,ezután könnyű ellenőrizni, hogy az elektromos töltés nélküli és forgás nélküli részecskék közti és az impulzus közötti kanonikus kommutációs viszony miatt a kezelő megadja:
,a lendület vektoroperátorát a következőképpen írjuk belső formában:
.Az impulzusábrázolásban a rendszer állapotát a „pulzus” hullámfüggvény írja le, az adott x komponens impulzus-operátora egyszerűen megfelel a hullámfüggvénynek ezzel a szorzatával:
,ezután könnyű ellenőrizni, hogy az elektromos töltés nélküli és forgás nélküli részecskék közötti kanonikus kommutációs kapcsolat és a kezelői helyzet kifejezése miatt az alábbiak adják meg:
,a pozícióvektor-operátort a következőképpen írjuk ebben az ábrázolásban belső formában:
.A lendület-operátor sajátállamait, vagyis azokat az állapotokat, amelyeknél a részecske impulzusának meghatározott értéke van, egydimenziós helyzetábrázolásban adjuk meg x mentén az egyenlet a saját értékekkel:
vagy azonnal jön .A p x értékét előzetesen nem számszerűsítjük , kivéve, ha a részecskére külön feltételeket írnak elő, például ha egy mezőbe van zárva .
Ez az eredmény azonnal általánosítja a dimenzió három formáját , ahol a részecske hullámvektora található. Ezeket az állapotokat a szokásos értelemben nem lehet normalizálni (ezek nem összegezhető négyzetfüggvények), de normalizálni "eloszlások értelmében" lehetséges:
.Ezzel a normalizálási feltétellel meg lehet mutatni, hogy a valós C fázist konvenciónak tekintve, és az impulzus-operátor normalizált sajátállapotát tehát helyzetábrázolásban írjuk:
.Helyhez kötött rendszer esetén a rendszer hamiltoni operátorát a lendület operátorának függvényében fejezzük ki: (részecske spin nélkül, mágneses tér hiányában). Általánosságban elmondható, hogy az impulzus és a pozíció operátor közötti nem kommutáció miatt az impulzus sajátállapotai nem a Hamilton-féle sajátállamok.
Azonban a teljes térben szabad részecske és a Hamilton-féle sajátállamok a lendületben vannak, mert akkor és ingáznak közöttük. Az energia sajátállapotát ezért nem számszerűsítik, és folyamatosnak minősítik . Mindegyikük megfelel az impulzus adott értékének. Ez a helyzet a kvantummechanikában megfelel a klasszikus lendület megőrzésének.
A „teljes” hullámfüggvény egy ilyen rendszer, azaz a megoldás a Schrödinger egyenlet időfüggő, adja , a , jelentése társított energiát E . A sajátállamoknak tehát haladó hullámaik vannak , tükrözve a kvantum szintjén a részecske klasszikus elmozdulását az impulzus irányában.
A folyamatos jellege ezen sajátfüggvényeket impulzus eltűnik, ha a részecske már nem szigorúan ingyenes , de korlátozott egy adott régióban a tér ( „barrier végtelen potenciál”). Matematikai szempontból ez azt jelenti, hogy peremfeltételeket szab a hullámfüggvényre, amelyet ki kell törölni a részecske behatárolt „dobozának” határán, mivel az utóbbi valószínűséggel nem tartózkodik kívül ebben a régióban. Ezeket a peremfeltételeket fizikailag tükrözi az energia és így a lendület számszerűsítése (további részletekért lásd a részecske egy dobozban című cikket ). A megfelelő sajátállamok a szabad sajátállamok összegének formájában lesznek, és az állóhullámoknak felelnek meg , kvantum szinten lefordítva a részecske bezártságát, vö. ábra szemközti.