Négyszeres sebesség

A fizika , különösen a speciális relativitáselmélet és az általános relativitáselmélet , a négy sebesség egy objektum egy négy vektor általánosítva vektor sebessége a klasszikus mechanika .

Bevezetés

A négy sebesség egyike azon elképzeléseknek, amelyeket Hermann Minkowski német matematikus és fizikus (1864-1909) Részeként vezették be annak geometriai újrafogalmazása relativitás az Albert Einstein (1879-1955).

A kvadrikus sebességet tehát azért jelöljük ki, mert a kvadrivektor az, amely általánosítja a newtoni mechanika sebességének fogalmát .

Pontosabban, a négyfokozatú kvadrivektor:

• Az idő jellege , mert az érintő görbe, amely maga az idő típus;
• a jövő felé irányul;
• amelynek álnormája egyenlő c-vel , a vákuum fénysebességével .

A speciális relativitáselméletben a négyszeres sebességet a négyes helyzet első deriváltjaként határozzuk meg a természetes időhöz viszonyítva . Ez a meghatározás az általános relativitáselméletben nem érvényes, mert ebben az összefüggésben az esemény megkeresését lehetővé tevő koordináták négyes halmaza nem képez kvadrivektort.

A négyszeres sebesség fogalma nulla tömegű részecskéknél nem létezik, mivel az ilyen részecskék megfelelő ideje nincs meghatározva.

Klasszikus mechanika

A klasszikus mechanikában az eseményeket az egyes pillanatokban elfoglalt helyzetük írja le. A háromdimenziós térben lévő objektum pályáját az idő paraméterezi. A klasszikus sebesség a térkoordináták időbeli változásának sebessége, és érinti útját.

Az objektum pályáját a háromdimenziós térben egy három komponensű vektorfüggvény határozza meg , ahol mindegyik komponens egy abszolút idő függvénye : xén(t),én∈{1,2,3}{\ displaystyle x ^ {i} (t), \; i \ a \ {1,2,3 \}}

x→=xén(t)=[x1(t)x2(t)x3(t)]{\ displaystyle {\ vec {x}} = x ^ {i} (t) = {\ begin {bmatrix} x ^ {1} (t) \\ x ^ {2} (t) \\ x ^ {3 } (t) \\\ end {bmatrix}}}

Ahol az objektum t térbeli három térbeli koordinátáját jelöli . xén(t){\ displaystyle x ^ {i} (t)}

A p pont klasszikus sebességének összetevői a következők: u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}

u→=(u1,u2,u3)=dx→dt=dxéndt=(dx1dt,dx2dt,dx3dt){\ displaystyle {\ vec {u}} = (u ^ {1}, u ^ {2}, u ^ {3}) = {\ mathrm {d} {\ vec {x}} \ over \ mathrm {d } t} = {\ mathrm {d} x ^ {i} \ over \ mathrm {d} t} = \ balra ({\ frac {\ mathrm {d} x ^ {1}} {\ mathrm {d} t }} \;, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {2}} {\ mathrm {d} t}} \;, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {3}} {\ mathrm {d} t}} \ jobbra)}

ahol a deriváltakat a p pontban vesszük . Más szavakkal, ez a két helyzet közötti különbség elosztva a közöttük lévő időintervallummal . dxén{\ displaystyle \ mathrm {d} x ^ {i}}dt{\ displaystyle \ mathrm {d} t}

Relativitás-elmélet

A relativitáselméletben az objektum pályáját az idő-térben egy adott referenciakerethez viszonyítva egy vektorfüggvény határozza meg, amelynek négy összetevője van , mindegyik egy paramétertől függően , az úgynevezett l 'objektum természetes idejének . xμ(τ),μ∈{0,1,2,3}{\ displaystyle x ^ {\ mu} (\ tau), \; \ mu \ in {0,1,2,3 \}}τ{\ displaystyle \ tau}

x=xμ(τ)=[x0(τ)x1(τ)x2(τ)x3(τ)]=[vs.tx1(t)x2(t)x3(t)]{\ displaystyle \ mathbf {x} = x ^ {\ mu} (\ tau) = {\ begin {bmatrix} x ^ {0} (\ tau) \\ x ^ {1} (\ tau) \\ x ^ {2} (\ tau) \\ x ^ {3} (\ tau) \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} ct \\ x ^ {1} (t) \\ x ^ {2 } (t) \\ x ^ {3} (t) \\\ end {bmatrix}}}

Négyszeres sebesség speciális relativitáselméletben

A négyszeres sebesség meghatározása

Az objektum négyszeres sebességét az univerzum vonalának érintőjeként határozzuk meg . Így a világegyetemi vonal által leírt objektum négyszeres sebességgel rendelkezik: x(τ){\ displaystyle \ mathbf {x} (\ tau)}

U=dxdτ=(dx0dτ,dx1dτ,dx2dτ,dx3dτ){\ displaystyle \ mathbf {U} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x}} {\ mathrm {d} \ tau}} = \ balra ({\ frac {\ mathrm {d} x ^ { 0}} {\ mathrm {d} \ tau}}, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {1}} {\ mathrm {d} \ tau}}, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {2}} {\ mathrm {d} \ tau}}, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {3}} {\ mathrm {d} \ tau}} \ jobbra}}

A quadri sebesség komponensei a speciális relativitáselméletben

Az idő tágulása a relativitáselmélet , tudjuk, hogy hol van a Lorentz faktor , meghatározott és u a norma a vektor Vektor sebesség konstansnak időpontja: . t=γτ{\ displaystyle t = \ gamma \ tau \,}γ{\ displaystyle \ gamma}γ=11-u2vs.2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}u=|| u→ ||=(u1)2+(u2)2+(u3)2{\ displaystyle u = || \ {\ vec {u}} \ || = {\ sqrt {(u ^ {1}) ^ {2} + (u ^ {2}) ^ {2} + (u ^ {3}) ^ {2}}}}

Az időbeli koordináta és a t idő közötti kapcsolatot a x0{\ displaystyle x ^ {0}}

x0=vs.t=vs.γτ{\ displaystyle x ^ {0} = ct = c \ gamma \ tau \,}

A megfelelő idő figyelembevételével úgy találjukτ{\ displaystyle \ tau \,}

U0=dx0dτ=vs.γ{\ displaystyle U ^ {0} = {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {0}} {\ mathrm {d} \ tau \;}} = c \ gamma}

A lánc szabály , az 1, 2, 3, azt látjuk, μ=én={\ displaystyle \ mu = i =}

Uén=dxéndτ=dxéndx0dx0dτ=dxéndx0vs.γ=dxénd(vs.t)vs.γ=1vs.dxéndtvs.γ=γdxéndt=γuén{\ displaystyle U ^ {i} = {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {i}} {\ mathrm {d} \ tau}} = {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {i}} {\ mathrm {d} x ^ {0}}} {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {0}} {\ mathrm {d} \ tau}} = {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {i}} {\ mathrm {d} x ^ {0}}} c \ gamma = {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {i}} {\ mathrm {d} (ct)}} c \ gamma = {1 \ felett c} {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {i}} {\ mathrm {d} t}} c \ gamma = \ gamma {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {i }} {\ mathrm {d} t}} = \ gamma u ^ {i}}

ahol a klasszikus sebesség meghatározását használtuk

uén=dxéndt{\ displaystyle u ^ {i} = {dx ^ {i} \ over dt}}

Így a négyszeres sebességre : U{\ displaystyle {U}}

U=γ(vs.,u→){\ displaystyle {U} = \ gamma \ bal (c, {\ vec {u}} \ jobb)}

Tiszta sebesség

A négyszeres sebesség három térkomponense meghatározza az objektum természetes sebességét , vagy a térkoordináták változásának sebességét a természetes időhöz képest. η→=dx→/dτ{\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = d {\ vec {x}} / d \ tau}

Különleges relativitáselméletben van . η→=γu→=dx→/dτ{\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = \ gamma {\ vec {u}} = d {\ vec {x}} / d \ tau}

Alapértelmezett

A quadrispeed quadrivector, normája quadriscalar , ezért a referenciakeret megválasztásától függetlenül invariáns. Az összes képkockát a referencia, mind a speciális relativitáselmélet és az általános relativitáselmélet, a pszeudo-norma a négyszeres sebesség

|U|=U∗U=γ2vs.2-γ2u2=γ2(vs.2-u2)=vs.2-u21-u2/vs.2=vs.2(vs.2-u2)vs.2-u2=vs.{\ displaystyle | {U} | = {\ sqrt {{U} * {U}}} = {\ sqrt {{\ gamma} ^ {2} c ^ {2} - {\ gamma} ^ {2} { u} ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ gamma} ^ {2} (c ^ {2} -u ^ {2})}} = {\ sqrt {\ frac {c ^ {2} - u ^ {2}} {1-u ^ {2} / c ^ {2}}}} = {\ sqrt {\ frac {c ^ {2} (c ^ {2} -u ^ {2})} {c ^ {2} -u ^ {2}}}} = c \,}

Így a négyszeres sebesség álnormája mindig megegyezik a fénysebességgel. Ezért bármelyik masszív tárgyat úgy tekinthetjük, hogy a tér-időben fénysebességgel mozog.

Nulla tömegű test esete

A nulla tömegű részecske (klasszikus) sebességgel megegyezik a fénysebességgel: Ebben az esetben a pszeudo-norma megegyezik a referenciakerettől független állandóval, ezért kvadrivektor: a masszázsra megállapított egyenletek a testnek nem kell nulla tömegű testnek lennie, ráadásul nem is, ennek a testnek a megfelelő ideje nulla ( ).  v=vs..{\ displaystyle \ v = c \;.}(dx0dt;dx1dt;dx2dt;dx3dt)=(vs.;x˙;y˙;z˙){\ displaystyle \ left ({\ frac {dx ^ {0}} {dt}}; {\ frac {dx ^ {1}} {dt}}; {\ frac {dx ^ {2}} {dt}} ; {\ frac {dx ^ {3}} {dt}} \ right) = (c; {\ dot {x}}; {\ dot {y}}; {\ dot {z}})}vs.1-v2vs.2=0{\ displaystyle c {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} = 0 \;} dτ=1-v2vs.2.dt=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ d \ tau = {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}. dt = 0 \;}

Általában, az egyenlőség mutatja, hogy minden paraméter lehet választani, hogy állítsa be a test röppályáját, mert a „  sebesség  ” így kapott állandó pszeudo-szabvány (nulla), és így egy négy-vektor: .  vs.2dt2-dx2-dy2-dz2=0{\ displaystyle \ c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} = 0} λ{\ displaystyle \ \ lambda}V=dMdλ{\ displaystyle \ scriptstyle V = {\ frac {dM} {d \ lambda}}}Vén.Vén=(vs.dtdλ)2-(dxdλ)2-(dydλ)2-(dzdλ)2=0{\ displaystyle \ scriptstyle V ^ {i} .V_ {i} = \ balra ({\ frac {cdt} {d \ lambda}} \ jobbra) ^ {2} - \ balra ({\ frac {dx} {d \ lambda}} \ jobbra) ^ {2} - \ balra ({\ frac {dy} {d \ lambda}} \ jobbra) ^ {2} - \ balra ({\ frac {dz} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} = 0}

Négyszeres sebesség az általános relativitáselméletben

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

1. A négy sebességet négy vektor sebességnek és 4 sebességnek is nevezik .
2. Az univerzum vonalának, a quadrispeednek és a quadriaccelerációnak a fogalma Minskowskinak köszönhető, akiben először jelentek meg egy1908. Megállapították, hogy ha, -től1905, egy négydimenziós vektor - amely nem más, mint a négyfokozatú - jelenik meg Henri Poincaré-ban (1854-1912), ez nem kifejezetten utal az univerzum vonal fogalmára.

Hivatkozások

1. Taillet, Febvre és Villain 2013 , sv quadrivitées, p.  564, oszlop  1 .
2. Rouge 2008 , §  4.3.2 , p.  55.
3. Gourgoulhon 2010 , p.  39, n.  történelmi .
4. Taillet, Febvre és Villain 2013 , sv Minkowski (formalizmusa), p.  439.
5. Kelemen 2017 , fickó.  2 , §  1.3 , p.  22.
6. Hobson, Efstathiou Lasenby 2009 , §  5.6 , p.  114.
7. Penrose 2007 , §  18,7 , p.  422.
8. Semay és Silvestre-Brac 2016 , §  8,5 , p.  150.
9. Taillet, Febvre és Villain 2013 , sv műfaj, p.  312, oszlop  1 .
10. Hakim 2001 , p.  89-90.
11. Fabre, Antoine és Treps 2015 , §  7.3.5 , p.  85.
12. Semay és Silvestre-Brac 2016 , §  8,5 , p.  154.
13. Taillet, Febvre és Villain 2013 , sv quadrivector position, p.  564, oszlop  1 .
14. Taillet, Febvre és Villain 2013 , sv quadrivitées, p.  564, oszlop  2 .
15. Ezt az eredményt a tér-idő intervallum figyelembe vételével is megkapjuk vs.2.dτ2=vs.2.dt2-dx2-dy2-dz2{\ displaystyle c ^ {2} .d \ tau ^ {2} = c ^ {2} .dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2}}
16. James H. Smith , Bevezetés a relativitáselméletbe , Párizs, InterÉditions,1997, 317  o. ( ISBN  2-225-82985-3 )

Lásd is

Bibliográfia