Összetett függvények levezetése
A matematika , a területén elemzés , a levezetése tétel kompozit funkciók (néha szabály származtatási lánc vagy lánc a szabály , és így nevezték angol ) egy általános képletű elmagyarázza a származékot egy funkció áll két differenciálható függvények .
Ez lehetővé teszi az i- edik résztérkép j- edik részderiváltjának megismerését, amely két változó két függvényéből áll . Vázlatosan ha egy változó y függ egy második variábilis u , ami viszont függ a változó x , a változási sebessége y mentén x lehet kiszámítani a termék a változási sebessége y mentén u , és a sebesség variációs az u szerinti x :
.
dydx=dydu⋅dudx{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} u}} \ cdot {\ frac { \ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}}}![{\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} u}} \ cdot {\ frac {\ mathrm { d} u} {\ mathrm {d} x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cef5bcf1f8b4f0f74f96063eabb2905607e70607)
Ebből a szabályból következik az integrálok kiszámításához használt változó változása .
Valódi eset
Tétel - Legyen , és két intervallum az , és két funkciót úgy, hogy , és egy pont a .
én{\ displaystyle I}
J{\ displaystyle J}
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
f:én→R{\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}
g:J→R{\ displaystyle g: J \ to \ mathbb {R}}
f(én)⊂J{\ displaystyle f (I) \ J részhalmaz
nál nél{\ displaystyle a}
én{\ displaystyle I}![én](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f)
Ha differenciálható a ponton , és differenciálható azon a ponton , akkor a vegyület differenciálható azon a ponton , és
f{\ displaystyle f}
nál nél{\ displaystyle a}
g{\ displaystyle g}
f(nál nél){\ displaystyle f (a)}
g∘f{\ displaystyle g \ circ f}
nál nél{\ displaystyle a}![nál nél](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
(g∘f)′(nál nél)=(g′(f(nál nél)))×f′(nál nél){\ displaystyle (g \ circ f) '(a) = (g' (f (a))) \ f-szeres (a)}![{\ displaystyle (g \ circ f) '(a) = (g' (f (a))) \ f-szeres (a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2090fff30fc0cf8d83fc3e30dd848557e185fd49)
,
hol van a szokásos terméke .
×{\ displaystyle \ times}
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}![\ mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
Bemutató érhető el a
Wikiverzióban (
lásd alább ).
Ha megkülönböztethető és megkülönböztethető nálunk, ezért :
f{\ displaystyle f}
én{\ displaystyle I}
g{\ displaystyle g}
J{\ displaystyle J}
én{\ displaystyle I}![én](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f)
(g∘f)′=(g′∘f)×f′{\ displaystyle (g \ circ f) '= (g' \ circ f) \ f alkalommal![(g \ circ f) '= (g' \ circ f) \ f-szer '](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24bcf20c358c1c5b13171b6323ec502ab32989cc)
.
Lehetőség van Leibniz-jelöléssel a következő formában is megírni :
d(g∘f)dx=dgdfdfdx{\ displaystyle {\ frac {{\ text {d}} (g \ circ f)} {{\ text {d}} x}} = {\ frac {{\ text {d}} g} {{\ text {d}} f}} {\ frac {{\ text {d}} f} {{\ text {d}} x}}}![{\ frac {{\ text {d}} (g \ circ f)} {{\ text {d}} x}} = {\ frac {{{\ text {d}} g} {{\ text {d }} f}} {\ frac {{\ text {d}} f} {{\ text {d}} x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28261edf71e79a3fb6548c12a23e6f6f4a1ccca8)
ahol azt jelzi, hogy attól függ , mintha egy változó lenne.
dgdf{\ displaystyle {\ frac {{\ text {d}} g} {{\ text {d}} f}}}
g{\ displaystyle g}
f{\ displaystyle f}
f{\ displaystyle f}![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
A jobb olvasás érdekében gyakran kérünk és kapunk:
u=f(x){\ displaystyle u = f (x)}![u = f (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5b5c6e6b5e74dd31a3397110985e046d366dab5)
ddxg∘f(x)=dg(u)du⋅dudx{\ displaystyle {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} x}} g \ circ f (x) = {\ frac {{\ text {d}} g (u)} {{ \ text {d}} u}} \ cdot {\ frac {{\ text {d}} u} {{\ text {d}} x}}}![{\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} x}} g \ circ f (x) = {\ frac {{\ text {d}} g (u)} {{\ text { d}} u}} \ cdot {\ frac {{\ text {d}} u} {{\ text {d}} x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5319d0f98af2c05fe5ee49d59677bea271da86f3)
.
Általános eset
Tétel - Legyen E , F két normalizált vektortér , G pedig külön topológiai vektortér . Legyen U nyitott E , V nyitott F , f egy U alkalmazás V-ben , g egy alkalmazás V -hez G-ben , és van egy U pontja . Ha f jelentése differenciálható pontban egy és g differenciálható pontban F ( a ), majd g ∘ f differenciálható pontban egy , és
Dnál nél(g∘f)=(Df(nál nél)g)∘Dnál nélf{\ displaystyle {\ rm {D}} _ {a} (g \ circ f) = ({\ rm {D}} _ {f (a)} g) \ circ {\ rm {D}} _ {a } f}![{\ rm {D}} _ {a} (g \ circ f) = ({\ rm {D}} _ {f (a)} g) \ circ {\ rm {D}} _ {a} f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3fcb63d1048b3483df6aa80d1441f88887ad4b)
.
Különösen, ha E = R n , F = R m és G = R p , a Jacobi mátrix a g ∘ F pontban egy a termék, amely a g pontban F ( a ) által az F pontban egy , ezt a amelyet meg lehet írni, megjegyezve
f(x)=(f1(x),...,fm(x)),g(y)=(g1(y),...,go(y))és(g∘f)(x)=h(x)=(h1(x),...,ho(x)){\ displaystyle f (x) = (f_ {1} (x), \ ldots, f_ {m} (x)), \ qquad g (y) = (g_ {1} (y), \ ldots, g_ { p} (y)) \ quad {\ text {és}} \ quad (g \ circ f) (x) = h (x) = (h_ {1} (x), \ ldots, h_ {p} (x ))}![{\ displaystyle f (x) = (f_ {1} (x), \ ldots, f_ {m} (x)), \ qquad g (y) = (g_ {1} (y), \ ldots, g_ { p} (y)) \ quad {\ text {és}} \ quad (g \ circ f) (x) = h (x) = (h_ {1} (x), \ ldots, h_ {p} (x ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f2758ce6d7ec1f1e768382287d31b29b057b989)
:
∂hén∂xj(nál nél)=∑k=1m∂gén∂yk(f(nál nél))∂fk∂xj(nál nél){\ displaystyle {\ frac {\ részleges h_ {i}} {\ részleges x_ {j}}} (a) = \ összeg _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {\ részleges g_ {i}} {\ részleges y_ {k}}} (f (a)) {\ frac {\ részleges f_ {k}} {\ részleges x_ {j}}} (a)}![{\ frac {\ részleges h_ {i}} {\ részleges x_ {j}}} (a) = \ összeg _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {\ részleges g_ {i}} {\ részleges y_ {k}}} (f (a)) {\ frac {\ részleges f_ {k}} {\ részleges x_ {j}}} (a)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0538a692b9f0abf4fa04ddb7cd81849abf5dcf11)
.
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
Külső hivatkozás
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">