Jakob mátrix
A vektor analízis , a Jacobi mátrix a mátrix az elsőrendű parciális származékok egy vektor funkció egy adott pontban. A neve Charles Jacobi matematikustól származik . Ennek a mátrixnak a Jacobian- nak nevezett meghatározója fontos szerepet játszik az integrációban a változó megváltoztatásával és a nemlineáris problémák megoldásában .
Meghatározás
Legyen F lehet egy funkciója, amely a nyílt halmaz a ℝ n értékekkel a ℝ m . Egy ilyen függvényt m komponensfüggvényei határoznak meg valós értékekkel:
F:(x1⋮xnem)⟼(f1(x1,...,xnem)⋮fm(x1,...,xnem)){\ displaystyle F: {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} \ longmapsto {\ begin {pmatrix} f_ {1} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \\\ vdots \\ f_ {m} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ end {pmatrix}}}.
Ezeknek a függvényeknek az M pontban levő részleges származékai , ha léteznek, egy m sorban és n oszlopban tárolhatók , az úgynevezett F Jacob-mátrix :
JF(M)=(∂f1∂x1⋯∂f1∂xnem⋮⋱⋮∂fm∂x1⋯∂fm∂xnem).{\ displaystyle J_ {F} \ balra (M \ jobbra) = {\ begin {pmatrix} {\ dfrac {\ részleges f_ {1}} {\ részleges x_ {1}}} és \ cdots és {\ dfrac {\ részleges f_ {1}} {\ részleges x_ {n}}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ dfrac {\ partial f_ {m}} {\ részleges x_ {1}}} és \ cdots & {\ dfrac {\ részleges f_ {m}} {\ részleges x_ {n}}} \ vége {pmatrix}}.}
Az i sor és a j oszlop mezője tartalmazza azt, amely f i részleges deriváltja az x j változó szerint . Ezt a mátrixot megjegyezzük:∂fén∂xj{\ displaystyle {\ frac {\ részleges f_ {i}} {\ részleges x_ {j}}}}
JF(M),∂(f1,...,fm)∂(x1,...,xnem)vagyD(f1,...,fm)D(x1,...,xnem){\ displaystyle J_ {F} \ bal (M \ jobb), \ qquad {\ frac {\ részleges \ bal (f_ {1}, \ ldots, f_ {m} \ jobb)} {\ részleges \ bal (x_ { 1}, \ ldots, x_ {n} \ right)}} qqad {\ text {vagy}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {D} \ bal (f_ {1}, \ ldots, f_ {m} \ jobbra)} {\ mathrm {D} \ balra (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ jobbra)}}}.
Az i = 1, ..., m , a i -edik sora ez a mátrix a transzponáltját gradiens vektor pontjában M függvény F i , amikor ez az egy létezik. A jakob mátrix egyben a függvény differenciál mátrixa is , ha létezik. Megmutatjuk, hogy a függvény F azon osztály C 1 akkor és csak akkor, ha a parciális deriváltak léteznek és folytonosak.
Példa:
A Jacobi mátrix a függvény
F a
ℝ 3 figyelembe
ℝ 4 által meghatározott:
F(x1,x2,x3)=(x1,5.x3,4x22-2x3,x3bűnx1){\ displaystyle F \ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} \ right) = \ left (x_ {1}, 5x_ {3}, 4x_ {2} ^ {2} -2x_ {3 }, x_ {3} \ sin x_ {1} \ jobbra}}van
JF(x1,x2,x3)=(100005.08.x2-2x3kötözősalátax10bűnx1){\ displaystyle J_ {F} \ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} \ right) = {\ kezdődik {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_ {2} & - 2 \\ x_ {3} \ cos x_ {1} & 0 & \ sin x_ {1} \ end {pmatrix}}}.
Tulajdonságok
A differenciálható funkciójú F ∘ G vegyület differenciálható, és jakobiai mátrixát a következő képlettel kapjuk meg:
JF∘G=(JF∘G)⋅JG{\ displaystyle J_ {F \ circ G} = {\ bigl (} J_ {F} \ circ G {\ bigr)} \ cdot J_ {G}},
amelynek egy konkrét esete a képlet egy valódi változó , f és g két valós függvényéből álló levezetésére :
(f∘g)′(x)=(f′∘g)(x)×g′(x){\ displaystyle (f \ circ g) '(x) = (f' \ circ g) (x) \ g '(x)}.
Jakobiai meghatározó
Ha m = n , akkor az F jakobiai mátrixa négyzetmátrix. Meghatározó det J F -jét jakobiai , vagy jakobiai determinánsnak nevezzük . Ha azt mondjuk, hogy a jakob nem nulla, az azt jelenti, hogy a jakob mátrix megfordíthatatlan.
Egy függvény F osztályú C 1 jelentése invertálható a szomszédságában az M egy reciprok F -1 osztályú C 1 , ha, és csak akkor, ha a Jacobi a M nem nulla ( helyi inverziós tétel ). A Jacobi mátrixa F -1 ezután levezethető, hogy a F , amelyet a képlet
JF-1=(JF∘F-1)-1{\ displaystyle J_ {F ^ {- 1}} = {\ bigl (} J_ {F} \ circ F ^ {- 1} {\ bigr)} ^ {- 1}}.
A tétel a változás a változók a többszörös integrálok magában abszolút értéke Jacobi.
Tétel - Legyen U lehet nyílt halmaza ℝ N , F egy injekció osztály C 1 a U be ℝ n és V = F ( U ) .
- Ha g egy mérhető funkciója a V a [0, + ∞] , van egyenlő integrálok a Lebesgue mérték a ℝ n :
∫Vg(y1,...,ynem) dy1...dynem=∫Ug(F(x1,...,xnem))|detJF(x1,...,xnem)| dx1...dxnem{\ displaystyle \ int _ {V} g (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) ~ \ mathrm {d} y_ {1} \ ldots \ mathrm {d} y_ {n} = \ int _ { U} g \ bal (F \ bal (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ jobb) \ jobb) \ bal | \ det J_ {F} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} ) \ right | ~ \ mathrm {d} x_ {1} \ ldots \ mathrm {d} x_ {n}}.
- Ha g egy integrálható függvény a V a komplex értékek , majd ( g ∘ F ) | det J F | integrálható az U-ra, és a két integrál még mindig egybeesik.
Nem szükséges, hogy feltételezzük, hogy V nyitott, sem azt, hogy F egy homeomorfizmus a U feletti V : ez abból a hipotézisek szerint a tartományba invariancia tétel .
Először bizonyítani ennek a tételnek, ha F egy diffeomorphism (amely szerint a helyi inverziós tétel, egyszerűen összege hozzátéve azt a hipotézist, hogy a Jacobi F nem vész bármely pontján U ), akkor megszabadulni ezt a hipotézist köszönhetően Sard tétele .
Példa
A polárkoordinátákra való áttérés az ( x , y ) → ( r , θ ) változók változása, amelyet a következő alkalmazás határoz meg:
F:R+×[0,2π]⟶R2(r,θ)⟼(rkötözősalátaθ,rbűnθ).{\ displaystyle {\ begin {tömb} {rcl} F: \ mathbb {R} _ {+} \ szor [0,2 \ pi] & \ longrightarrow & \ mathbb {R} ^ {2} \\\ balra ( r, \ theta \ right) & \ longmapsto & \ left (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta \ right). \ end {tömb}}}
A jakob mátrix az ( r , θ ) pontban :
JF(r,θ)=(kötözősalátaθ-rbűnθbűnθrkötözősalátaθ){\ displaystyle J_ {F} \ left (r, \ theta \ right) = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & -r \ sin \ theta \\\ sin \ theta & r \ cos \ theta \\\ vége {pmatrix}}}.
Az átjárás jakobiusa polárkoordinátákban tehát:
rkötözősaláta2θ+rbűn2θ=r{\ displaystyle r \ cos ^ {2} \ theta + r \ sin ^ {2} \ theta = r}.
Ha g egy integrálható függvény egy nyitott V a ℝ 2 , beállításával
U=F-1(V)={(r,θ)∈R+×[0,2π]∣(rkötözősalátaθ,rbűnθ)∈V}{\ displaystyle U = F ^ {- 1} (V) = \ bal \ {(r, \ theta) \ in \ mathbb {R} _ {+} \ szor [0,2 \ pi] \ bal \ közepe ( r \ cos \ theta, r \ sin \ theta \ right) \ in V \ right \}}
és a fenti tétel alkalmazását nem közvetlenül U-ra és V-re ( F nem injektív és U nem nyitott ℝ 2-ben ), hanem a köztes nyílásokra
V′=V∖(R+×{0})ésU′=F-1(V′)=U∩(R+∗×]0,2π[){\ displaystyle V '= V \ setminus (\ mathbb {R} ^ {+} \ szor \ {0 \}) \ quad {\ text {et}} \ quad U' = F ^ {- 1} (V ' ) = U \ cap (\ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ szor] 0,2 \ pi [)},
jutunk (mivel U \ U ' és V \ V' jelentése elhanyagolható ):
∬Vg(x,y)dxdy=∬Ug(rkötözősalátaθ,rbűnθ)rdrdθ{\ displaystyle \ iint _ {V} g \ left (x, y \ right) \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ iint _ {U} g \ left (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta \ right) r \, \ mathrm {d} r \ mathrm {d} \ theta}.
Értelmezés
Jakob mátrix
A Jacobi mátrix beavatkozik a korlátozott fejlesztési funkciók több változó: a közelében a pont M , a lineáris közelítés a függvény F adja meg:
F(x)≈F(M)+JF(M)Mx→{\ displaystyle F \ bal (X \ jobb) \ kb F \ bal (M \ jobb) + J_ {F} \ bal (M \ jobb) {\ overrightarrow {MX}}}.
Jakobiai
Ha a jakob pozitív az M pontban , akkor a tér orientációja ennek a pontnak a közelében helyezkedik el. Ezzel szemben az orientáció megfordul, ha a jakobiai negatív.
Ha „kicsi” tartományt veszünk figyelembe, akkor ennek a tartománynak az F funkcióval képének térfogata megegyezik a kezdő tartomány térfogatával, megszorozva a jakobiai abszolút értékével .
Alkalmazás
A kontinuum , a törzs tenzor kis törzsek (vagy zöld tenzor) a szimmetrikus része a Jacobi mátrix az elmozdulás vektor minden egyes pontja a szilárd. Az analitikai mechanikában tudjuk, hogy egy átalakítás akkor és csak akkor kanonikus, ha jakobusza a szimplektikus csoportba tartozik .
Az egymást követő jakob mátrixok szorzatának inverziója szintén hasznos a bizonytalanságok terjedésének meghatározásához egy kísérlet során. Például három olyan érzékelő esetében, amelyek három megfigyelést nyújtanak, amelyek mindegyike három mérési tartományra érzékeny, a relatív mérési tartományok Jacobi-mátrixának inverziója a megfigyelések felé lehetővé teszi az egyes mérési tartományok bizonytalanságának meghatározását, kísérletileg ismerve az egyes bizonytalanságokat. megfigyelések (kísérleti háttérzaj). Amikor mindhárom érzékelő teljesen leválasztott, ideális esetben a jakob mátrixok átlósak, és a bizonytalanság nem terjed drámai módon.
Megjegyzések és hivatkozások
-
Lásd például: François Laudenbach , Calculus differenciál és integrale , Éditions École Polytechnique,2000, 214 p. ( ISBN 978-2-7302-0724-9 , online olvasás ) , p. 48, 1. példa és p. 51 , Proposition II.1.9 (és, egy általánosítás osztályú funkciók C r , o. 53 ), vagy a bekezdések „Differentials a funkciók R p az R q ” és „elégséges feltétele a differenciálhatósági egy meghatározott függvény egy termék ” Című fejezetben a Wikiverzitás differenciálhatóságáról .
-
Laudenbach 2000 , p. 177-182.
-
Laudenbach 2000 , p. 184.
Lásd is
Hessian mátrix
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">