A matematikában , pontosabban a topológiában a tartományi változatlansági tétel egy LEJ Brouwer (1912) következménye, amely az R n részhalmazai közötti folyamatos alkalmazásokra vonatkozik .
Ennek a tételnek a leggyakoribb formája:
Legyen U egy nyitott set-ben az R n és f : U → R n egy injekciós folytatódik , akkor V = f ( U ) nyitva van, és f jelentése homeomorfizmus között U és V .A modern bizonyítás az algebrai topológia eszközeit és Brouwer fixpontos tételét használja ; azt mondhatjuk, hogy egyszerűbben, mondván, hogy azonos feltételek mellett, f egy nyitott térkép , amely azt jelenti, hogy a kép f bármely nyitott egy nyitott.
Általánosságban annak bemutatására, hogy f homeomorfizmus, meg kell mutatnunk, hogy f és reciprok f −1 folytonos; A tétel kimondja, hogy ha a tartomány U az f nyitva, és ha a méretei a indulási és érkezési terek azonos, a folyamatos f -1 automatikus. Sőt, azt állítja, hogy ha az U és V homeomorfak, és ha U nyitva van, így V (mint egy része az R n ). E két állítás egyike sem triviális, és az általánosabb terekben már nem feltétlenül igaz.
Elengedhetetlen, hogy az indulási és érkezési területek méretei megegyezzenek. Vegyük például az f :] 0,1 [→ R 2 értéket, amelyet f ( t ) = ( t , 0) határoz meg . Ez az alkalmazás injektıv és folyamatos, saját domain nyitott egy R , de a kép nem nyitott egy R 2 . Szélsőségesebb példát ad g :] –2,1 [→ R 2 , g ( t ) = ( t 2 - 1, t 3 - t ): g injektív és folyamatos, de nem homeomorfizmus] –2,1 [képéhez (ez a toxoid egy része, és a g határértéke az 1-ben a kettős g (–1) pont , amely azt mutatja, hogy g −1 ebben a pontban nem folyamatos).
A tétel sem általánosít végtelen dimenziójú terekre. Így legyen ℓ ∞ legyen a Banach tér a valós korlátos szekvenciák, és f : ℓ ∞ → ℓ ∞ legyen a eltolás operátora f ( x 1 , x 2 , ...) = (0, x 1 , x 2 , .. .) Ekkor f injektív és folyamatos, f tartománya nyitott (mivel ez az egész tér), de az f képe nem nyitott ℓ ∞-ben .
A tartományi invarianciatétel fontos következménye, hogy R n nem lehet homeomorf R m-rel szemben, ha m ≠ n . Valóban, ha m < n , akkor tekinthetjük az E m = R m × {0} n - m alteret, homeomorf R m-re ; E m jelentése üres belső , azaz nem tartalmaz nem üres nyílásokat R n . Ha f : R n → R n értéke E m- ben veszi fel, akkor a tétel szerint nem lehet egyszerre injektív és folyamatos. A fortiori , nincs homeomorfizmus között R n és R m . Az érvelés általánosítható megnyitni (nem üres) a R n és R m .
A tétel azt is lehetővé teszi, hogy egy elégséges feltétele egy alkalmazás számára nyitva: minden lokálisan injektív folyamatos térképet (oly módon, hogy minden egyes pont egy szomszédságában , amelyen a korlátozása F injektıv) a R n , hogy R n , és általánosabban két azonos dimenziójú topológiai fajtája között nyitott.
Vannak általánosításai a tartományi változatlansági tételnek önmagában a Banach-tér néhány folyamatos alkalmazására is.