A poláris koordináták vannak, a matematika , a koordináta-rendszer görbe vonalú a két dimenzióban , ahol minden egyes pont a sík határozza teljes egészében egy szöget és távolságot . Ez a rendszer különösen hasznos olyan helyzetekben, ahol a két pont viszonya könnyebben kifejezhető szögben és távolságban, például az inga esetében . Ebben az esetben az ismertebb derékszögű koordinátarendszer magában foglalja a trigonometrikus képletek használatát egy ilyen kapcsolat kifejezésére.
Mivel kétdimenziós rendszerről van szó, az egyes pontokat a polárkoordináták határozzák meg, amelyek a sugárirányú és a szögkoordináták. A sugárirányú koordináta (gyakran r vagy ρ, és sugárnak nevezzük) kifejezi a távolságot a ponttól a pólusnak nevezett középpontig (egyenértékű a derékszögű koordináták eredetével). A szögkoordináta (más néven poláris szög vagy azimut , és gyakran jegyezni t vagy θ ) kifejezi az intézkedés, a trigonometrikus irányban (pozitív irányban), a szög közötti pont és a fél-vonal a szög 0 °, úgynevezett sarki tengely (egyenértékű az x tengellyel derékszögű koordinátákban).
A koncepció a szög és a sugár már használják az I st évezred ie. Kr. E. Hipparchus csillagász létrehozott egy trigonometrikus táblázatot, amely megadta a kötél hosszát az egyes sarkokhoz, és a poláris koordinátákkal meghatározta a csillagok helyzetét. A spirálisok , Archimedes tanulmányozta a archimedesi spirál , amelyben a sugár egy funkciója a szög. A görögök azonban nem terjesztik ki a teljes koordinátarendszerre.
A polárkoordináták mint hivatalos koordinátarendszer bevezetésének több változata létezik. Grégoire de Saint-Vincent és Bonaventura Cavalieri önállóan vezették be ezt a koncepciót a XVII . Század közepén . Saint-Vincent 1625-ben írt erről a témáról és 1647-ben publikálta munkáját, míg Cavalieri 1635-ben publikálta írásait, 1653-ban megjelent egy javított változat. Cavalieri először polárkoordinátákat használt az archimédésziai spirál alatt álló terület relatív problémájának megoldására . Blaise Pascal széles körben használta a poláris koordinátákat a parabolák hosszának kiszámításához .
A módszer Fluxions (írásbeli 1671, megjelent 1736), Isaac Newton tanulmányozta a transzformációk közötti poláris koordináták, amit az úgynevezett „hetedik módja; A csigák”, kilenc másik koordináta-rendszerben. Az Acta Eruditorum (1691) folyóiratban Jacques Bernoulli egy ponttal és egy vonallal ellátott rendszert használt, amelyeket pólusnak és poláris tengelynek neveztek. A koordinátákat a pólustól való távolságuk és a sarki tengelyhez viszonyított szögük határozta meg. Bernoulli még ezt a rendszert is felhasználta az ebben a rendszerben kifejezett görbék görbületi sugarának meghatározására .
A jelenlegi polárkoordináták kifejezést Gregorio Fontanának tulajdonították, és a XIII . Századi olasz írók használták . A kifejezés jelenik meg angol nyelven az első alkalommal a 1816 fordítás készült George Peacock a Szerződés fogkő és a fogkő a Sylvestre François Lacroix . Alexis Clairaut volt az első, aki a polárkoordináták három dimenzióban való meghosszabbításán gondolkodott, és Leonhard Euler volt az első, aki valóban kifejlesztette őket.
A sík minden pontját a polárkoordináták határozzák meg, amelyek a sugárirányú és a szögkoordináták. A sugárirányú koordináta (gyakran r vagy ρ , és sugárnak nevezzük) kifejezi a távolságot a ponttól a pólusnak nevezett középpontig (egyenértékű a derékszögű koordináták eredetével). A szögkoordináta (más néven a poláris szög vagy a azimut , és gyakran jegyezni t vagy θ ) kifejezi az intézkedés, a trigonometrikus irányban , a bezárt szög pont és a fél-vonal a szög 0 °, az úgynevezett sarki tengely (egyenértékű az x tengelyre derékszögű koordinátákban).
Például a polárkoordináták pontját (3; 60 °) a pólustól három távolságra kell elhelyezni a 60 ° -os szög félvonalán. A pont (–3; –120 °) ugyanazon a helyen lesz, mert a negatív távolság pozitív mérésnek számít a pólustól szemközti félvonaltól (180 ° -kal elfordítva az eredeti félvonaltól).
A polárkoordinátarendszer egyik fontos aspektusa, amely nincs jelen a derékszögű rendszerben, az, hogy a végtelen polárkoordináták jelölik ugyanazt az egyedi pontot. Valójában hozzáadhatunk egy teljes kanyar mérését anélkül, hogy befolyásolnánk a pont helyét. Például a (3; 420 °) pontot összekeverjük a (3; 60 °) ponttal. Általánosságban, az a pont ( R ; θ ) leírható ( R ; θ ± 2 n π) vagy (- R ; θ ± (2 n + 1) π), ahol n jelentése bármely egész szám , és a szögek is megfigyelhető, radiánok .
Tetszőleges koordinátái (0; θ ) hagyományosan használják, hogy képviselje a pole, függetlenül a hozzárendelt érték ebben az esetben, hogy a szög θ , egy pont sugarú r = 0 mindig a pole. Ahhoz, hogy egy egyedülálló képviselője az a pont, korlátozzuk a méretét, hogy a pozitív valós számok, és a szög -180 ° és 180 ° (vagy 0 ° és 360 °), vagy ha az általunk használt a radián közötti -π és π (vagy 0 és 2π). Azt mondjuk, hogy a szög modulo 360 ° vagy 2π.
A poláris jelölésben szereplő szöget általában fokban vagy radiánokban adjuk meg , a 2 π = 360 ° konvenciót használva . A választás a kontextustól függ. A navigációban fokozatokra van szükség, míg egyes fizikai alkalmazások (például a mechanika forgásának tanulmányozása) és a legtöbb matematika radiánokat használnak.
Az r és two két polárkoordinátát átalakíthatjuk x és y derékszögű koordinátákká a trigonometrikus szinusz és koszinusz függvények segítségével:
Két derékszögű koordináta- x és y teszik azt ki lehet számítani az első poláris koordináta r szerint:
( a Pitagorasz-tétel egyszerű alkalmazásával ).A második (a angle szög) meghatározásához két esetet kell megkülönböztetnünk:
A θ megszerzéséhez a [0, 2 π [intervallumban a következő képleteket használjuk (az arctan az érintő függvény reciprokát jelöli ):
Ahhoz, hogy a] –π, π] intervallumba kapjuk, a következő képleteket használjuk:
Ahhoz, hogy θ bejusson a] –π, π [intervallumba, a következő, tömörebb képletet is használhatjuk:
amely a sík bármely pontjára érvényes, kivéve a negatív tályogok féltengelyét.
Használhatja az atan2 függvényt is :
vagy az arccos vagy arcsin függvény : lásd # Komplex szám Poláris koordináták .
A polárkoordinátákban kifejezett algebrai görbét meghatározó egyenletet poláris egyenletnek nevezzük. A legtöbb esetben, egy ilyen egyenlet által meghatározott meghatározásával r , mint egy funkciót a θ. A kapott görbét ezután kialakítva pontok által típusú ( R ( θ ); θ ), és úgy tekinthető, mint a grafikonon a poláris funkció R .
A szimmetriák különböző formái a poláris függvény egyenletéből vezethetők le. Ha r (–θ) = r (θ), akkor a görbe a vízszintes tengelyhez képest szimmetrikus (a 0 és 180 ° -os félegyenesek). Ha r (π - θ ) = r ( θ ), akkor a görbe szimmetrikus lesz a függőleges tengellyel (90 ° és 270 °).
A polárkoordináták körkörös jellege miatt sok görbe leírható egyszerű poláris egyenlettel, míg a derékszögű egyenletük sokkal bonyolultabb lenne. A leghíresebb sarki görbék a következők: az arkhimédészi spirál , Bernoulli lemniscátja , Pascal csiga vagy akár a kardioid .
Az általános egyenlete kör közepén ( R 0 ; φ ), és sugara a következő:
Sok esetben ez az egyenlet leegyszerűsödik. Például,
A rózsaablak egy nagyon jól ismert görbe, amely virágszirmokhoz hasonlít, és amelyet egyszerű poláris egyenlettel lehet kifejezni:
bármely valós konstansra φ 0 . Ha k jelentése egész szám, ez az egyenlet termel egy virág 2 k szirom (ok), ha k jelentése is , és a K szirom (ok), ha k jelentése páratlan . Ha k egy racionális szám , az egyenlet termel virág alakú görbét átfedő szirmok. Ezek az egyenletek nem eredményezhetnek virág alakú görbét 2, 6, 10, 14 ... szirommal. Az igazi konstans egy hosszát határozza meg egy szirom a központtól a végéig.
Az Archimedes spirál egy Archimedes által felfedezett spirál , amelyet poláris egyenletből is kifejezhetünk:
Megváltoztatása paraméter egy forog a spirál a pólus körül, míg b meghatározza a távolságot a karok között, amely egy adott spirális állandó. Az archimedesi spirál két karja, csatlakozik a pólus: az egyik a θ ≥ 0 , és a másik a θ ≤ 0 , ha a = 0 , majd mindegyik kar a szimmetrikus a másik képest a függőleges tengely (90 ° / 270 °). Ez a görbe a kúpok után az egyik első görbe, amelyet matematikai szempontból kell leírni, és hogy egy pólus legyen egyszerűen polárkoordinátákban kifejezve.
Egy kúpos metszetet , amelynek fókusza egybeesik a pólussal, és egy másik a poláris tengelyen (0 °), a fő tengely egybeesik a poláris tengellyel) az egyenlet adja:
ahol e az excentricitás , p- t pedig a kúp paraméterének nevezzük, és megegyezik a szegmens hosszával, amely merőleges a fókuszpontot és a görbét összekötő fő tengelyre. Ha e > 1, akkor az egyenlet meghatároz egy hiperbolát , ha e = 1, akkor egy parabolt , ha e <1 ellipszist . Végül e = 0 esetén megkapjuk a p sugarú kört .
Minden komplex számot ábrázolhatunk a komplex sík egy pontjával , és kifejezhetjük annak derékszögű koordinátáival (a komplex szám algebrai alakjának nevezve) vagy poláris koordinátáival. Az z komplex szám algebrai alakja a következő :
ahol x és y valós és i a képzeletbeli egység . Poláris formája (a fent megadott képletek szerint ):
ahol r nem nulla pozitív valós és θ valós. Onnan következtetünk:
ami Euler képletével egyenértékű (vegye figyelembe, hogy ezek a képletek, csakúgy, mint az összes többi, az exponenciális vagy a szögeket alkalmazzák, a radiánokat használják). Az egyik űrlapról a másikra való átalakításhoz a fent megadott képletek alkalmasak).
A komplex számok összeadása egyszerűbb algebrai formában, de a szorzást , osztást és hatványozást könnyebb megtenni exponenciális formában (vagy ennek megfelelő poláris formában):
A számítás alkalmazható a polárkoordinátákban kifejezett egyenletekre. A θ szögkoordinátát radiánban fejezzük ki, ami az elemzés során természetes választás.
A sarki változó változásának jakobiai mátrixát írják
,amelyet szintén a következő formában írnak:
; .A második származékokat szintén mátrixon keresztül fejezzük ki.
Homogén operátorok
matrikusan nyerik:
,ahol megjegyezte, hogy egyszerűsítse a kifejezést, c helyett cos θ és s bűnért θ .
Ugyanazt a típusú származtatott származtatást alkalmazzuk a származtatás összes mátrixán keresztül.
Az r ( θ ) poláris görbe érintőjének derékszögű meredekségének megtalálásához egy adott pontban a görbét először paraméteres rendszerben kell kifejezni :
.Ezután megkülönböztetjük a két egyenletet:
.Ha elosztjuk a második egyenletet az elsővel, megkapjuk a poláris görbe érintőjének derékszögű meredekségét az ( r ( θ ); θ ) pontban:
.Így az ( r ( θ ); θ ) pontban az Ox tengely és a görbe érintője közötti γ szöget a következő összefüggés adja:
. A kör esete:Az origón áthaladó, Ω = ( r 0 ; α ) középponttal és r 0 sugárral rendelkező kör esetén az egyenlet:
,a γ képlet (lásd a szemközti ábrát) oda vezet
,ami a beírt szög és a középen lévő szög tételének áthaladásával bizonyítja .
Legyen R egy sík felülete , amelyet az folytonos r ( θ ) görbe és a θ = a és θ = b félegyenes határol , ahol 0 < b - a <2 π ( a és b valósok). Ekkor ennek a felületnek az S területe
.Az eredmény a következő érveléssel található meg. Először is, a intervallum [ a , b ] van felosztva n al-időközönként, ahol n pozitív egész szám. Ezután delta θ , a hossza az egyes al-intervallum, egyenlő b - egy osztva n , száma al-időközönként. Minden egyes al-intervallum i = 1, 2, ..., n , legyen θ i legyen a felezőpontja az egyes al-intervallum i . Ezután felépíthetünk egy kör alakú szektort, ahol a középpont a pólus, sugara r ( θ i ), szöge Δ θ és íve hossza r ( θ i ) Δ θ . Az egyes szektorok S i területe tehát
és ezért az összes szektor teljes területe:
.Ha n végtelenbe hajlik, a közelítés jobbá válik, és ez az összeg Riemann-összeg, és ezért konvergál a szükséges integrálhoz:
.A derékszögű koordináták felhasználásával a végtelenül kis terület elemei kiszámíthatók d A = d x d y . A változás a változó szabály többszörös integrálok kimondja, hogy ha más koordináta rendszerek, a Jacobi a koordináta konverziós mátrix:
.A végtelenül kis terület elemét tehát annak tekinthetjük
.Most egy polárkoordinátákban megadott függvény integrálható így
.Itt R ugyanaz a terület, mint fent, vagyis az r ( θ ) görbe és a θ = a és θ = b félvonal közötti terület .
A fent említett R terület képletét úgy kapjuk meg, hogy f az 1-gyel egyenlő konstans függvényt vesszük . E képletek egyik alkalmazása a Gauss-integrál kiszámítása .
A vektoranalízis poláris koordinátákra is alkalmazható. Legyen a pozícióvektor , ahol r és θ függ a t időtől , és hagyjon egységvektor, amelynek iránya megegyezik és a vele merőleges egységvektor . A helyzetvektor első és második deriváltját a következők adják meg:
; .A polárkoordinátarendszer két módon kiterjeszthető a szokásos háromdimenziós térre, aminek eredményeként létrejön a hengeres koordináta-rendszer és a gömbös koordináta-rendszer. A hengeres koordináták koncepciója a távolsági koordináták hozzáadása, míg a gömbös rendszer szögletes koordinátákat ad hozzá.
A hengeres koordináta-rendszer olyan koordináta-rendszer, amely a poláris koordinátarendszert két dimenzióra terjeszti ki egy harmadik dimenzió hozzáadásával, amely egy pont magasságát méri a polárkoordinátákkal azonosított síkhoz képest; ugyanúgy, ahogy a derékszögű koordináta-rendszert kiterjesztjük két-három dimenzióra. A harmadik koordinátát gyakran megjegyezzük h vagy z értékkel . Az r jelölést szisztematikusan gömbkoordinátákban használják (lásd alább), itt inkább a görög ρ betűt részesítjük előnyben .
A három hengeres koordinátát derékszögű koordinátákká alakíthatjuk át:
A polárkoordináták az euklideszi háromdimenziós térre is kiterjeszthetők, különféle jelölési konvenciók követésével.
A fizikában leggyakrabban a koordinátákat ( r , θ , φ ) használjuk, ahol r a ponttól a pólusig terjedő távolságot jelöli, θ a z tengelytől számított szög (úgynevezett colatitude vagy zenith, 0 ° és 180 ° között) és φ az x tengelytől számított szög (a polárkoordinátákhoz hasonlóan 0 ° és 360 ° között).
A matematikában a koordináták ( ρ , θ , φ ) megnevezésével, ahol ρ mindig a pont és a pólus közötti távolságot jelöli, míg θ a hosszúságot (az x tengelytől mért szög –180 ° és 180 között) °) és φ szélesség, az Egyenlítői síktól (–90 ° és 90 ° között) lévő szög.
A vegyes rendszer abból áll, hogy a sorrendben mindig felhasználjuk a sugárt, a hosszúságot, majd a vastagságot ( ρ , θ , φ ).
Ez a három koordináta-rendszer a gömb alakú koordináták példája, és hasonlít ahhoz a rendszerhez, amelyet a Föld felszínén való elhelyezkedésre használnak . Mindegyiküknek megvan a maga hasznossága, de vigyáznunk kell arra, hogy a fizikában θ colatitást, míg a matematikában általában θ hosszúságot nevezünk . Latitude ( φ matematika) és colatitude ( θ fizika), hogy kiegészítik egymást, könnyen lehet váltani egyik rendszerből a másikba.
A három gömb alakú koordinátát derékszögű koordinátákká alakíthatjuk át:
a sugár-colatitude-longitude (fizikai) rendszerben, és
a sugár-hosszúság-szélesség rendszerben (matematika).
A polárkoordináták kétdimenziósak, ezért csak olyan esetekben használhatók, amikor a pontok ugyanabban a síkban vannak. Ezek megfelelőbbek minden olyan esetben, amikor a figyelembe vett jelenség összefügg egy központi pont irányával és hosszával. Például a fent definiált poláris görbék példái megmutatják, hogy a poláris koordinátákkal miként lehet előállítani ezeket az görbéket előállító egyszerű egyenleteket, például az archimédészi spirált. Ugyanezek az egyenletek a derékszögű koordinátákban sokkal bonyolultabbak lennének. Ezenkívül a fizikai rendszerek számos tanulmánya, például az inga vagy bármely olyan jelenség vizsgálata, amikor a szilárd anyagok egy központi pont körül mozognak, leegyszerűsödnek a polárkoordinátákra való áttéréssel. A polárkoordináták bevezetését mindenekelőtt a körkörös és az orbitális mozgások tanulmányozására végezték .
A polárkoordinátákat gyakran használják a navigáció során . Valójában az utazás meghatározható távolság és szög alapján a célhoz képest. Például a repülőgépek egy kissé módosított sarki koordinátarendszert használnak a navigációhoz.
A polárkoordináták a természetes rendszerek modelljének egyszerűsítéséhez vezetnek, amelyben egy központi pont játszik szerepet. Ez különösen vonatkozik a forgásszimmetriával rendelkező rendszerekre, vagyis azokra, amelyek egy állandó pont körüli forgatással invariánsak.
Ez a helyzet az úgynevezett központi erőrendszerekkel , vagyis olyan erőnek van kitéve, amely egy rögzített ponton halad át. A klasszikus példák közé tartozik a két test problémája (a gravitációban vagy az elektromágnesességben ), és általánosabban a bolygók mozgásának tanulmányozása, valamint a pontforrással (in) rendelkező rendszerek , például a rádióantennák .
Ez vonatkozik a rögzített pont körüli forgásmozgásokra , mint például az egyszerű inga , a kút körüli egyensúlyi felületekre, például a talaj vízáramlásának egyenletére, vagy egy mennyiség változására egy ilyen szög függvényében. mint a sarki repüléstechnikai vagy irányítottság egy mikrofon , amely jellemzi az a mikrofon érzékenységére függvényében az eredete a hang központi tengelye mentén a mikrofont.
Ez a jelenség poláris görbével ábrázolható. A mikrofonok közül a leggyakoribb standard kardioid mikrofon görbéje r = (1 + sin θ ) / 2.
Végül vannak olyan speciális esetek, amikor a polárkoordinátákra való váltás hasznos lehet. Például a statisztikák Laplace-Gauss-törvényének van egy eloszlása, amely nem integrálható elemi függvényekkel. Ennek a görbének az y tengely körüli elforgatásával azonban egy végtelen harangot kapunk, amely poláris koordinátákban kifejezve integrálható. Ez az a módja, hogy a Gauss tudta, hogy normalizálják a statisztikai törvény, amelynek Laplace mutatott egyetemességét.
(en) spherical.pdf Javaslat a 2D és 3D poláris jelölések egységesítésére.