Arc koszinusz

Arc koszinusz funkció Grafikus ábrázolás (nem szabványos koordináta-rendszerben ).

Értékelés	${\ displaystyle \ arccos (x)}$
Kölcsönös	$\ cos (x)$ a [0; π]
Derivált	${\ displaystyle {\ frac {-1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
Primitívek	${\ displaystyle x \, \ arccos (x) - {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}$

Fő jellemzők

Definíciókészlet	[−1; 1]
Képkészlet	[0; π]

A matematika , a Arkuszkoszinusz egy valós szám szerepel a széles értelemben vett -1 és 1 között az egyetlen mércéje szög , amelynek koszinusza egyenlő ez a szám, a nulla szög és a lapos szögben .

Az a függvény, amely az −1 és 1 közötti tág értelemben vett valós számokkal társítja ív koszinuszának értékét radiánban, az arccos (Arccos vagy Acos francia jelölésben, és cos −1 , néha acos vagy acs, angol jelölésben). Szász).

Ez akkor a reciproka a trigonometrikus koszinusz függvény felett intervallum [0, π ] tehát, egy derékszögű koordináta-rendszerben ortonormális hogy a gépet, a görbe reprezentatív a Arkuszkoszinusz nyerik a görbe a korlátozás a. Koszinusz által tengely szimmetria az y = x egyenletvonal .

Meghatározás

A funkció úgy definiáljuk, mint a kölcsönös függvényében a , azaz az egyedi funkció olyan, hogy: ${\ displaystyle \ arccos: [- 1,1] \ jobbra nyíl [0, \ pi]}$ $\ cos$ $[0, \ pi]$

∀x∈[0,π],arccos⁡(kötözősaláta⁡(x))=x.{\ displaystyle \ forall x \ itt: [0, \ pi], \ arccos (\ cos (x)) = x.} ${\ displaystyle \ forall x \ itt: [0, \ pi], \ arccos (\ cos (x)) = x.}$

Tulajdonságok

Trigonometrikus összefüggések

Nincs paritás

Az Arc szinusz és az Arc tangens függvényektől eltérően a függvény nem ismer fel paritást. Ennek azonban a következő tulajdonsága van: $\ arccos$

∀x∈[-1,1],arccos⁡(-x)=π-arccos⁡(x).{\ displaystyle \ forall x \ itt: [-1,1], \ arccos (-x) = \ pi - \ arccos (x).}

{\ displaystyle \ forall x \ itt: [-1,1], \ arccos (-x) = \ pi - \ arccos (x).}

Kapcsolat a sinusszal

Elegendő, hogy használja a kapcsolat a megszerzése a következő összefüggést: ${\ displaystyle \ cos (X) ^ {2} + \ sin (X) ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle X = \ arccos (x)}$

bűn⁡(arccos⁡(x))=1-x2.{\ displaystyle \ sin (\ arccos (x)) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}.}

{\ displaystyle \ sin (\ arccos (x)) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}.}

A trigonometrikus képletek "inverziója"

Bármely trigonometrikus képletből kiindulva "megfordíthatjuk", és megkapjuk a viszonosságot a kölcsönös függvények értékei között, de amely legtöbbször csak korlátozott időközönként érvényes. Például, mivel , meglesz , de csak ${\ displaystyle \ cos 2x = 2 \ cos ^ {2} x-1}$ ${\ displaystyle \ arccos (2X ^ {2} -1) = 2 \ arccos X}$ ${\ displaystyle X \ in [0,1].}$

Derivált

Mint származéka kölcsönös funkció , differenciálható , és teljesíti $\ arccos$ $-1,1 [$

{\ displaystyle \ arccos '(x) = {\ frac {-1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}.}

Ezt a képletet a reciprok függvény deriváltjára vonatkozó tételnek köszönhetjük.

Meghatározatlan integrál forma

Ez a függvény határozatlan integrál formájában írható:

{\ displaystyle \ arccos (x) = \ int _ {1} ^ {x} - {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}}}, \ mathrm {d} t.}

Primitívek

Az arccos funkció primitívjeit részekbe integrálva kapjuk :

{\ displaystyle \ int \ arccos (x) ~ \ mathrm {d} x = x \, \ arccos (x) - {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C.}

Az ív koszinusz és az ív szinusz kapcsolata

{\ displaystyle \ arccos x + \ arcsin x = {\ frac {\ pi} {2}}}

Valóban, $π / 2$ - az $arccos x$ között van - $π / 2$ és $π / 2$ és annak sinus egyenlő a koszinusza $ARccOS x$ vagyis az $x$ , ezért $π / 2$ - $arccos x$ = $arcsin x$ .

(Egy másik módszerről lásd a monoton funkciókról szóló cikk „Monotónia és a származék jele” című cikkét .)

Komplex logaritmikus forma

Az arccos függvényt a komplex logaritmus segítségével fejezhetjük ki :

{\ displaystyle \ arccos (x) = - \ mathrm {i} \, \ ln \ left (x + \ mathrm {i} \, {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right) = {\ frac {\ pi} {2}} \, + \ mathrm {i} \ ln \ bal (\ mathrm {i} \, x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ jobb) = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arcsin (x).}

Referencia

Jelölés a CPGE matematikai programjából , p. 10 .

Lásd is

Kapcsolódó cikkek