Trigonometrikus függvény

A matematika , a trigonometrikus függvények lehetővé teszik, hogy kapcsolódnak a hosszát az oldalán egy háromszög szerinti mérése szögek csúcsait. Általánosságban elmondható, hogy ezek a függvények fontosak a háromszögek és sokszögek , a körök (ún. Körfüggvények ) és a periodikus jelenségek modelljének tanulmányozása szempontjából .

A három leggyakrabban használt trigonometrikus függvény a szinusz (a megjegyzett bűn ), a koszinusz ( cos ) és az érintő ( tan , tang vagy tg ). A különböző trigonometrikus függvények közötti kapcsolatok alkotják a trigonometrikus azonosságokat . A matematikai elemzés során ezeket a függvényeket egész sorok összegéből vagy differenciálegyenletek megoldásaként is meghatározhatjuk , amely lehetővé teszi komplex számokra általánosítást .

Az alkalmazási területtől függően, különösen a tengeri vagy légi navigációban , más funkciókat használnak: kotangens, szekáns, koszekáns, szinusz vers , haversine, exsecant stb.

Sőt, a trigonometrikus függvények modelljén meghatározunk olyan hiperbolikus függvényeket is, amelyek neve az elsőből származik: hiperbolikus szinusz ( sinh ), hiperbolikus koszinusz ( cosh ), hiperbolikus tangens ( tanh ) stb.

Történelem

Nyomai a legrégebbi használata sinus jelent volna meg Sulba-szútrák írt védikus szanszkrit abban az időszakban a VIII th a VI th  évszázadok ie. J.-C.

A trigonometrikus funkciókat később Hipparchus , Nicaea (Kr. E. 185-125), Âryabhata (476-550), Varahamihira , Brahmagupta , Al-Khawarizmi , Abu l-Wafa , Omar Khayyam , Al-Battani (858-929), Bhāskara II tanulmányozta. , Nasir al-Din al-Tusi , Regiomontanus (1464), Al-Kashi ( XIV .  Század), Ulugh Beg ( XIV .  Század), Madhava (1400), Rheticus és tanítványa, Valentin Otho .

Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) című munkája nagyrészt az trigonometrikus függvények analitikai megfontolásainak eredetén alapult Európában, mivel sorozatbővítésekből határozta meg őket, és bemutatta Euler képleteit .

Trigonometrikus vonalak

Az egyenes (vagy gömb alakú ) háromszögnek hat oldala, három oldala és három sarka van . Ezek a részek nem mind hasznosak a háromszög felépítéséhez, például az oldal két oldalának hossza és az oldalak közötti szög egyetlen adatai lehetővé teszik a háromszög elkészítését. De csak a három szöget ismerve lehetetlen megtalálni a háromszöget, mivel létezik egy végtelen háromszög, amelynek ugyanaz a három szöge ( hasonló háromszög ). Valójában, egy eset kivételével, egy háromszög felépítéséhez elegendő e három rész ismerete, beleértve legalább az egyik oldalát. Az az eset, amikor két oldal ismert, de az ismert szög nem az, amelyet a két oldal hordoz, két nem hasonló háromszöget határozhat meg.

A háromszög hiányzó részeinek pontossággal történő meghatározásának problémáját különösen a középkor óta Európában vizsgálták . Az olyan geometriai módszerek , amelyek az egyszerű esetek kivételével csak hozzávetőleges és elégtelen konstrukciókat adnak a felhasznált eszközök tökéletlensége miatt, a kutatás inkább numerikus módszerekre irányult annak érdekében, hogy a kívánt pontosságú konstrukciókat megszerezzék.

A trigonometria egyik célja ezért az volt, hogy módszereket adjon a háromszög összes részének kiszámításához, vagyis a háromszög megoldásához . A geometrák sokáig hiába keresték a háromszögek szögei és oldalai közötti összefüggéseket. Az egyik legnagyobb ötletük az volt, hogy mérésekhez íveket használnak, nem pedig szögeket.

Ezeknek a köríveknek középpontjában a háromszög csúcsa van, és az erre a csúcsra utaló oldalak között vannak. Ezek a megfontolások természetesen vezetett geometers helyettesíteni ívek a vonal szegmensek , amelyek függenek.

Ezeket a szegmenseket trigonometrikus vonalaknak nevezzük . Valójában egy másik kifejezés a trigonometrikus függvények ( sin , cos , tan …) jelölése , amelyeket körkörös függvényeknek is neveznek. Az oldalak és az ívekhez kapcsolódó egyes vonalak közötti kapcsolatokat úgy alakítják ki, hogy a vonalak bizonyos ívekből és fordítva meghatározhatók legyenek. Alapvető egyezmény kötelezi tehát, hogy csak az 1 sugarú körökhöz kapcsolódó trigonometrikus vonalakat vegyék figyelembe. Ezek a trigonometrikus vonalak határozzák meg a modern trigonometrikus függvényeket.

A matematikai trigonometrikus függvények azok, amelyek a radiánban megadott szögek mérésére vonatkoznak . De továbbra is szokás ugyanazokat a függvényneveket megtartani a többi mértékegységnél is, mint a fok vagy fokozat .

Meghatározások derékszögű háromszögben

Határozzák meg a trigonometrikus függvények egy szög  , fontolja meg egy derékszögű háromszög , ahol  egyike a két hegyes szögek .

A derékszögű háromszög oldalait nevezzük:

• A átfogója  : ez a szemközti oldalon a derékszög, alkotó a lábát a szög  , és a hosszabbik oldala a háromszög;
• a szomszédos oldalsó  : ez az oldalsó összekötő derékszögben  , alkotó lábát a szög  , amely nem az átfogója;
• A szemközti oldalon  : a szemközti oldalon a szög  , csatolva a megfelelő szögben, ami nem a átfogója.

Megjegyezzük:

h  : a hipotenusz hossza; a  : a szomszédos oldal hossza; o  : a szemközti oldal hossza.

A különböző jelentéseket a három hosszúságú függetlenek a kiválasztott háromszög (mindaddig, amíg tartalmazza a szög  , és derékszöget zár), mivel ezek a háromszög hasonlóak .

• A sine egy szög az aránya a hossza az ellenkező oldalon a hossza átfogója:

bűn⁡(NÁL NÉL^)=vs.o^te"oooose"hyoote"nemuse=oh{\ displaystyle \ sin ({\ widehat {A}}) = {\ frac {\ mathrm {c {\ hat {o}} t {\ akut {e}} \; ellentétes {\ akut {e}}}} {\ mathrm {hipot {\ akut {e}} nuse}}} = {\ frac {o} {h}}}.

• A szög koszinusa a szomszédos oldal és a hipotenusz hosszának aránya:

kötözősaláta⁡(NÁL NÉL^)=vs.o^te"nál néldjnál nélvs.enemthyoote"nemuse=nál nélh{\ displaystyle \ cos ({\ widehat {A}}) = {\ frac {\ mathrm {c {\ hat {o}} t {\ akut {e}} \; szomszédos}} {\ mathrm {hipot {\ akut {e}} nuse}}} = {\ frac {a} {h}}}.

• A szög érintője az ellenkező oldal és a szomszédos oldal hosszának aránya:

Cser⁡(NÁL NÉL^)=vs.o^te"oooose"vs.o^te"nál néldjnál nélvs.enemt=onál nél{\ displaystyle \ tan ({\ widehat {A}}) = {\ frac {\ mathrm {c {\ hat {o}} t {\ akut {e}} \; ellentétes {\ akut {e}}}} {\ mathrm {c {\ hat {o}} t {\ akut {e}} \; szomszédos}}} = {\ frac {o} {a}}}. Vegyük észre, hogy van: . Cser=bűnkötözősaláta{\ displaystyle \ tan = {\ frac {\ sin} {\ cos}}}

A fennmaradó három funkciót a fenti három függvény segítségével határozhatjuk meg.

• A koszekáns a  , jelöljük CSC (  ) vagy COSEC (  ) , az inverz 1 / sin (  ) a szinusz a  , azaz az arány a hossza a átfogója a hossza a másik oldalon:

csc⁡(NÁL NÉL^)=hyoote"nemusevs.o^te"oooose"=ho{\ displaystyle \ csc ({\ widehat {A}}) = {\ frac {\ mathrm {hipot {\ akut {e}} nuse}} {\ mathrm {c {\ hat {o}} t {\ akut { e}} \; ellentétes {\ akut {e}}}}} = {\ frac {h} {o}}}.

• A metsző a  , megjegyezte sec (  ) , az inverz 1 / cos (  ) a koszinusz a  , azaz az arány a hossza a átfogója a hossza a szomszédos oldalsó:

száraz⁡(NÁL NÉL^)=hyoote"nemusevs.o^te"nál néldjnál nélvs.enemt=hnál nél{\ displaystyle \ sec ({\ widehat {A}}) = {\ frac {\ mathrm {hipot {\ akut {e}} nuse}} {\ mathrm {c {\ hat {o}} t {\ akut { e}} \; szomszédos}}} = {\ frac {h} {a}}}.

• A kotangensét a  , jelöljük gyermekágy (  ) , az inverz 1 / tan (  ) a tangensét  , azaz az arány a hossza a szomszédos oldalsó a hossza az ellenkező oldalon:

költség⁡(NÁL NÉL^)=vs.o^te"nál néldjnál nélvs.enemtvs.o^te"oooose"=nál nélo{\ displaystyle \ cot ({\ widehat {A}}) = {\ frac {\ mathrm {c {\ hat {o}} t {\ akut {e}} \; szomszédos}} {\ mathrm {c {\ kalap {o}} t {\ akut {e}} \; szemben {\ akut {e}}}}} = {\ frac {a} {o}}}. Vegyük észre, hogy van: . költség=kötözősalátabűn{\ displaystyle \ cot = {\ frac {\ cos} {\ sin}}}

Definíciók az egység köréből

A hat trigonometrikus függvény az egység köréből is meghatározható . A geometriai meghatározás alig nyújt semmilyen eszközt a gyakorlati számításhoz; valójában a derékszögű háromszögeken alapszik a legtöbb szögnél. A trigonometrikus kör viszont lehetővé teszi a trigonometrikus függvények meghatározását minden pozitív vagy negatív valós értékre, nem csak a 0 és π / 2 közötti radiánokban mért szögekre .

Egy síkban van látva egy ortonormált koordinátarendszerben , a trigonometrikus kör a kör középpontú O sugarú 1. Ha figyelembe vesszük a pont A ( x A , y A ) a kör, akkor van: (O;én→,j→){\ displaystyle (O; {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}kötözősaláta⁡(én→,ONÁL NÉL→)^=xNÁL NÉL és bűn⁡(én→,ONÁL NÉL→)^=yNÁL NÉL.{\ displaystyle \ cos {\ widehat {({\ vec {i}}, {\ vec {OA}})}} = x_ {A} {\ text {és}} \ sin {\ widehat {({\ vec {i}}, {\ vec {OA}})}} = y_ {A}.}

A szemközti körön néhány közös szöget ábrázoltunk, és a méréseiket radiánban jelöltük meg, amely a [–2π, 2π] intervallumban jelenik meg , vagyis szögenként két mérést, sőt a nulla szögre hármat.

Vegye figyelembe, hogy a pozitív szögeket az óramutató járásával ellentétes, az óramutató járásával ellentétes és a negatív szögeket az óramutató járásával megegyező irányban mérjük. A fél-vonal, amely szöget zár θ a pozitív fél-line Ox az X-tengely metszi a kört egy pont koordinátáit (cos θ , sin θ ) . Geometriai szempontból ez abból adódik, hogy a derékszögű háromszög hipotenusa, amelynek csúcsaihoz a (0, 0) , (cos θ , 0) és (cos θ , sin θ ) koordináták pontjai egyenlőek a kör sugárával 1-ig. Az egység kör elképzelhető úgy, hogy végtelen számú háromszöget nézünk meg, amelyet úgy kapunk, hogy megváltoztatjuk az ellentétes és a szomszédos oldal hosszát, de hipotenuszuk hosszát 1-vel tartjuk.

Tehát van: bűn⁡θ=y1=y,kötözősaláta⁡θ=x1=xésCser⁡θ=bűn⁡θkötözősaláta⁡θ{\ displaystyle \ sin \ theta = {y \ over 1} = y, \ quad \ cos \ theta = {x \ over 1} = x \ quad {\ text {és}} \ quad \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}} továbbá száraz⁡θ=1kötözősaláta⁡θ,csc⁡θ=1bűn⁡θésköltség⁡θ=kötözősaláta⁡θbűn⁡θ.{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {1} {\ cos \ theta}}, \ quad \ csc \ theta = {\ frac {1} {\ sin \ theta}} \ quad {\ text {and} } \ quad \ cot \ theta = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}.}

Az egység körének egyenlete: x2+y2=1.{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1.} Ez azonnal megadja a kapcsolatot

kötözősaláta2⁡θ+bűn2⁡θ=1.{\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1.}

Definíció a dot termékből

A vektorgeometriában a koszinust két u és v vektor skaláris szorzatából és azok normáiból határozzuk meg u || és || v || keresztül: kötözősaláta⁡(u,v)=⟨u,v⟩‖u‖×‖v‖.{\ displaystyle \ cos (u, v) = {\ frac {\ langle u, v \ rangle} {\ | u \ | \ times \ | v \ |}}.}

Definíciók az egész sorozatból

Itt - és általában elemzésben - rendkívül fontos, hogy az összes szöget radiánban mérjük . Ezután egész sorok segítségével definiálhatjuk a sin és cos értékeket  :

bűn⁡x=x-x33!+x5.5.!+⋯+(-1)kx2k+1(2k+1)!+⋯=∑nem=0+∞(-1)nemx2nem+1(2nem+1)!,{\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} + \ cdots + (- 1) ^ { k} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} + \ cdots = \ összeg \ korlátozza _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {(- 1) ^ { n}} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}},}

kötözősaláta⁡x=1-x22!+x44!+⋯+(-1)kx2k(2k)!+⋯=∑nem=0+∞(-1)nemx2nem(2nem)!.{\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + \ cdots + (- 1) ^ { k} {\ frac {x ^ {2k}} {(2k)!}} + \ cdots = \ összeg \ korlátozza _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {(- 1) ^ {n}} { \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}.}

Ezek a meghatározások megegyeznek a fent megadottakkal; igazolható a Taylor-sorok elméletével , és azzal, hogy a szinusz származéka a koszinusz, a koszinusz pedig a szinusz ellentéte .

Ezek a definíciók gyakran használják kiindulópontként szigorú értekezést elemzése és meghatározása a számot π mivel az elmélet sorozat jól ismert. Ezután a levezethetőség és a folytonosság könnyen meghatározható, valamint az Euler képletei a komplex elemzés során, amely a trigonometrikus függvényeket az exponenciális függvényhez kapcsolja , valamint az Euler azonosságát . A sorozatokat használó meghatározásoknak további előnye, hogy lehetővé teszik a szinusz és a koszinusz funkciók kiterjesztését analitikai funkciókra az egész komplex síkon .

Ilyen egyszerű sorozatokat nem lehet beszerezni a többi trigonometrikus függvényhez, de például megvan

Cser⁡x=∑nem=1∞(-1)nem-122nem(22nem-1)B2nemx2nem-1(2nem)!=x+x33+2x5.15+17.x7315+⋯,mert |x|<π2{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ tan x & {} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1} 2 ^ {2n} (2 ^ {2n} -1) B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}} \\ & {} = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + { \ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} {315}} + \ cdots, \ qquad {\ text {for}} | x | <{\ frac {\ pi} {2}} \ end {igazítva}}}

ahol B n az n- edik Bernoulli-szám . Ezeket a kifejezéseket általánosított folytonos frakciók formájában fordítják le  ; megengedték Lambertnek, hogy bizonyítsa a π szám irracionalitását (vö. " Folyamatos frakció és diofantin közelítés  " című cikkel  ).

Egyszerű egész sorozat hiányában létezik a kotangens függvény számára egy abszolút konvergens sorozat , amelyet az ellentétes pólusoknak megfelelő egyszerű elemek összegének határértékeként kapunk : πköltség⁡(πx)=limNEM→∞∑nem=-NEMNEM1x+nem=1x+∑nem=1∞2xx2-nem2.{\ displaystyle \ pi \ cot (\ pi x) = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {n = -N} ^ {N} {\ frac {1} {x + n}} = { \ frac {1} {x}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2x} {x ^ {2} -n ^ {2}}}.} Következtethetünk: π2bűn2⁡(πx)=∑nem=-∞∞1(x+nem)2,πCser⁡(πx2)=∑nem=0∞4x(2nem+1)2-x2,πbűn⁡(πx)=1x+∑nem=1∞(-1)nem2xx2-nem2,πkötözősaláta⁡(πx)=2∑nem=0∞(-1)nemnem+12(nem+12)2-x2.{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ pi ^ {2}} {\ sin ^ {2} (\ pi x)}} & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty } {\ frac {1} {(x + n) ^ {2}}}, \ quad & \ pi \ tan \ bal ({\ frac {\ pi x} {2}} \ jobb) & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {4x} {(2n + 1) ^ {2} -x ^ {2}}}, \\ {\ frac {\ pi} {\ sin (\ pi x)}} & = {\ frac {1} {x}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {2x} {x ^ {2} -n ^ {2}}}, \ quad és {\ frac {\ pi} {\ cos (\ pi x)}} & = 2 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {n + {\ tfrac {1} {2}}} {(n + {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2} -x ^ {2}}}. \ end {igazítva}}}

Grafikus ábrázolások

A szinusz- és koszinusz- görbéket szinuszoidoknak nevezzük .

A trigonometrikus függvények tulajdonságai

Figyelemre méltó értékek

Vannak trigonometrikus függvények értéktáblái, de ezeket az értékeket számológéppel is ki lehet számítani. Néhány egyszerű szög esetén az értékeket pontosan kézzel lehet kiszámítani: ezeket a következő táblázat mutatja. Példák:

• 45 fok ( π / 4 radián ) esetén: a derékszögű háromszög két szöge egyenlő; ha az a és b hosszúság egyenlő, akkor választhatunk a = b = 1 értéket . Ezután a Pitagorasz-tétel segítségével meghatározzuk a 45 fokos szög szinuszát, koszinuszát és érintőjét (lásd a bal oldali ábrát):vs.=nál nél2+b2=2.{\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} = {\ sqrt {2}}.}
• 30 fok ( π / 6 radián) és 60 fok ( π / 3 radián) esetén: egy egyenlő oldalú háromszöget tekintünk, amelynek oldalhossza 2. Minden belső szöge 60 fok. Két egyenlő részre osztva figyelembe vesszük a kapott két derékszögű háromszög egyikét, amelynek szöge 30 ° és szöge 60 °. Ennek a derékszögű háromszögnek a kicsi oldala egyenlő az egyenlő oldalú háromszög felével: egyenlő 1-vel. A derékszögű háromszög harmadik oldalának c hosszúsága olyan, hogy (lásd a jobb oldali ábrát):2=vs.2+12, van vs.=22-12=3.{\ displaystyle 2 = {\ sqrt {c ^ {2} + 1 ^ {2}}}, {\ text {vagy}} c = {\ sqrt {2 ^ {2} -1 ^ {2}}} = {\ sqrt {3}}.}

Szög		Sinus		Koszinusz		Tangens
Fokozat	Radiánok	Pontos	Decimális	Pontos	Decimális	Pontos	Decimális
0∘{\ displaystyle {0 ^ {\ circ}}}	0	02{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {0}} {2}}}	0	42{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {4}} {2}}}	1	0	0
15∘{\ displaystyle {15 ^ {\ circ}}}	π12.{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {12}}}	2-32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 - {\ sqrt {3}}}} {2}}}	0,2588 ...	2+32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {3}}}} {2}}}	0,9659 ...	2-3{\ displaystyle 2 - {\ sqrt {3}}}	0.2679…
22.,5.∘{\ displaystyle {22.5 ^ {\ circ}}}	π8.{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {8}}}	2-22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} {2}}}	0,3826 ...	2+22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2}}}	0,9238 ...	2-1{\ displaystyle {\ sqrt {2}} - 1}	0.4142 ...
30∘{\ displaystyle {30 ^ {\ circ}}}	π6.{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {6}}}	12{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {1}} {2}}}	0.5	32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	0,8660…	13{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}	0.5773 ...
45∘{\ displaystyle {45 ^ {\ circ}}}	π4{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}	22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	0,7071 ...	22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	0,7071 ...	1{\ displaystyle 1}	1
60∘{\ displaystyle {60 ^ {\ circ}}}	π3{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3}}}	32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	0,8660…	12{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {1}} {2}}}	0.5	3{\ displaystyle {\ sqrt {3}}}	1,7320 ...
67,5.∘{\ displaystyle {67.5 ^ {\ circ}}}	3π8.{\ displaystyle {\ frac {3 \ pi} {8}}}	2+22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2}}}	0,9238 ...	2-22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} {2}}}	0,3826 ...	2+1{\ displaystyle {\ sqrt {2}} + 1}	2.4142 ...
75∘{\ displaystyle {75 ^ {\ circ}}}	5.π12.{\ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {12}}}	2+32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {3}}}} {2}}}	0,9659 ...	2-32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 - {\ sqrt {3}}}} {2}}}	0,2588 ...	2+3{\ displaystyle 2 + {\ sqrt {3}}}	3.7320 ...
90∘{\ displaystyle {90 ^ {\ circ}}}	π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}	42{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {4}} {2}}}	1	02{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {0}} {2}}}	0	∞{\ displaystyle \ infty} ind.	végtelen
120∘{\ displaystyle {120 ^ {\ circ}}}	2π3{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {3}}}	32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	0,8660…	-12{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {1}} {2}}}	–0,5	-3{\ displaystyle - {\ sqrt {3}}}	–1,7320…
135∘{\ displaystyle {135 ^ {\ circ}}}	3π4{\ displaystyle {\ frac {3 \ pi} {4}}}	22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	0,7071 ...	-22{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	–0,7071…	-1	–1
150∘{\ displaystyle {150 ^ {\ circ}}}	5.π6.{\ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {6}}}	12{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {1}} {2}}}	0.5	-32{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	–0,8660…	-13{\ displaystyle - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}	–0,5773…
180∘{\ displaystyle {180 ^ {\ circ}}}	π	02{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {0}} {2}}}	0	-42{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {4}} {2}}}	–1	0	0

A következő táblázat összeállításával emlékezhetünk ezekre az értékekre: 0, π / 6 (30 °), π / 4 (45 °), π / 3 (60 °) és π / 2 (90 ° rendbetétele ) ), a szinusz a √ n / 2 értékeket veszi fel, a koszinuszra pedig fordított sorrendet veszünk fel.

• Egyéb figyelemre méltó értékek:

kötözősaláta⁡(π5.)=bűn⁡(3π10.)=1+5.4=φ2kötözősaláta⁡(2π5.)=bűn⁡(π10.)=5.-14=12φ}{\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {5}} \ right) = \ sin \ left ({\ frac {3 \ pi} {10}} \ jobbra) = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {4}} = {\ frac {\ varphi} {2}} \\\ cos \ balra ({\ frac {2 \ pi} {5 }} \ right) = \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {10}} \ right) = {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {4}} = {\ frac {1 } {2 \ varphi}} \ end {mátrix}} \ right \}}a φ jelöli az arany arány .

Nullák

A nullák a sin a valós számok vannak írva k π (egy bizonyos relatív egész k ). A cos- ok a π / 2 + k π .

Szinuszok és koszinuszok kapcsolata

Megjegyzés: A szögértékek radiánban vannak megadva.

A szigorúan 2π- nél nagyobb vagy szigorúan negatív szögek definiálásához elegendő a kör körüli forgatásokat végrehajtani. Ily módon a szinusz és a koszinusz a 2π periódus periodikus függvényévé válik , azaz bármely angle szög és bármely k egész szám esetén  :

kötözősaláta⁡(θ+2kπ)=kötözősaláta⁡θ és bűn⁡(θ+2kπ)=bűn⁡θ.{\ displaystyle \ cos (\ theta + 2k \ pi) = \ cos \ theta {\ text {és}} \ sin (\ theta + 2k \ pi) = \ sin \ theta.}

A körnek köszönhetően és egyszerű geometriai szempontok alapján ezt láthatjuk

1.kötözősaláta⁡(θ+π)=-kötözősaláta⁡θésbűn⁡(θ+π)=-bűn⁡θ,2.kötözősaláta⁡(π2-θ)=bűn⁡θésbűn⁡(π2-θ)=kötözősaláta⁡θ,3.kötözősaláta⁡(θ+π2)=-bűn⁡θésbűn⁡(θ+π2)=kötözősaláta⁡θ,4.kötözősaláta⁡(π-θ)=-kötözősaláta⁡θésbűn⁡(π-θ)=bűn⁡θ,5.kötözősaláta⁡(-θ)=kötözősaláta⁡θésbűn⁡(-θ)=-bűn⁡θ.{\ displaystyle {\ begin {mátrix} 1. & \ cos (\ theta + \ pi) & = & - \ cos \ theta & {\ text {and}} & \ sin (\ theta + \ pi) & = & - \ sin \ theta, \\ 2. & \ cos \ balra ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) & = & \ sin \ theta & {\ text {and}} & \ sin \ bal ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) & = & \ cos \ theta, \\ 3. & \ cos \ left (\ theta + {\ frac {\ pi} { 2}} \ jobbra] & = & - \ sin \ theta és {\ text {et}} & \ sin \ balra (\ theta + {\ frac {\ pi} {2}} \ right) & = & \ cos \ theta, \\ 4. & \ cos (\ pi - \ theta) & = & - \ cos \ theta & {\ text {et}} & \ sin (\ pi - \ theta) & = & \ sin \ theta , \\ 5. & \ Cos (- \ theta) & = & \ cos \ theta & {\ text {et}} & \ sin (- \ theta) & = & - \ sin \ theta. \ End {mátrix} }}

Demonstráció

1. mert a θ + π és diamet ellentétesek egymással a körön;
2. mert π / 2 - θ a szimmetrikus pont θ tekintetében a felezővonal a  ;(én→,j→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}})}
3. mert θ + π / 2- et negyedfordulat-forgatással levezetjük θ-ből .
4. mert π - θ a θ szimmetrikusja a vonatkozásában  ;(O,j→){\ displaystyle (O, {\ vec {j}})}
5. mert –θ a θ szimmetrikusja a vonatkozásában(O,én→).{\ displaystyle (O, {\ vec {i}}).}

Ezek a képletek a trigonometrikus azonosságok részét képezik .

Trigonometrikus összefüggések

Az összeadási képletekből ( amelyekből a különbségképleteket levezetjük)  :

{kötözősaláta⁡(nál nél+b)=kötözősaláta⁡nál nélkötözősaláta⁡b-bűn⁡nál nélbűn⁡bbűn⁡(nál nél+b)=bűn⁡nál nélkötözősaláta⁡b+kötözősaláta⁡nál nélbűn⁡bCser⁡(nál nél+b)=Cser⁡nál nél+Cser⁡b1-Cser⁡nál nélCser⁡b{\ displaystyle {\ begin {esetben} \ cos (a + b) & = \ cos a \ cos b- \ sin a \ sin b \\\ sin (a + b) & = \ sin a \ cos b + \ cos a \ sin b \\\ tan (a + b) & = {\ dfrac {\ tan a + \ tan b} {1- \ tan a \ tan b}} \ end {esetek}}}

bebizonyítjuk a Simpson-képleteket  :

{kötözősaláta⁡nál nélkötözősaláta⁡b=12[kötözősaláta⁡(nál nél+b)+kötözősaláta⁡(nál nél-b)]bűn⁡nál nélbűn⁡b=12[kötözősaláta⁡(nál nél-b)-kötözősaláta⁡(nál nél+b)]bűn⁡nál nélkötözősaláta⁡b=12[bűn⁡(nál nél+b)+bűn⁡(nál nél-b)]{\ displaystyle {\ begin {cases} \ cos a \ cos b & = {\ dfrac {1} {2}} [\ cos (a + b) + \ cos (ab)] \\\ sin a \ sin b & = {\ dfrac {1} {2}} [\ cos (ab) - \ cos (a + b)] \\\ sin a \ cos b & = {\ dfrac {1} {2}} [\ sin (a + b) + \ sin (ab)] \ end {esetek}} \ quad} és kölcsönösen, {kötözősaláta⁡o+kötözősaláta⁡q=2kötözősaláta⁡o+q2kötözősaláta⁡o-q2kötözősaláta⁡o-kötözősaláta⁡q=-2bűn⁡o+q2bűn⁡o-q2bűn⁡o+bűn⁡q=2bűn⁡o+q2kötözősaláta⁡o-q2bűn⁡o-bűn⁡q=2kötözősaláta⁡o+q2bűn⁡o-q2 {\ displaystyle \ quad {\ begin {esetben} \ cos p + \ cos q & = 2 \ cos {\ dfrac {p + q} {2}} \ cos {\ dfrac {pq} {2}} \\\ cos p - \ cos q & = - 2 \ sin {\ dfrac {p + q} {2}} \ sin {\ dfrac {pq} {2}} \\\ sin p + \ sin q & = 2 \ sin {\ dfrac {p + q} {2}} \ cos {\ dfrac {pq} {2}} \\\ sin p- \ sin q & = 2 \ cos {\ dfrac {p + q} {2}} \ sin {\ dfrac {pq} {2}} \ end {eset}} \}

valamint azokat, amelyek a „érintő ív fele” ,  : t=Cser⁡nál nél2{\ displaystyle t = \ tan {\ frac {a} {2}}}

kötözősaláta⁡nál nél=1-t21+t2,bűn⁡nál nél=2t1+t2,Cser⁡nál nél=2t1-t2.{\ displaystyle \ cos a = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}, \ quad \ sin a = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2} }}, \ quad \ tan a = {\ frac {2t} {1-t ^ {2}}}.}

A funkciók paritása

A szinusz és az érintő függvények páratlanok  : bármely valós x esetén

bűn⁡(-x)=-bűn⁡x{\ displaystyle \ sin (-x) = - \ sin x}

és (ha x a tan meghatározási tartományába tartozik , azaz ha nem π / 2 + k π formában van k ∈ ℤ -vel )

Cser⁡(-x)=-Cser⁡x.{\ displaystyle \ tan (-x) = - \ tan x.}

A koszinusz függvény pár  : bármely valós x esetén

kötözősaláta⁡(-x)=kötözősaláta⁡x.{\ displaystyle \ cos (-x) = \ cos x.}

Származékok

Funkció	bűn	kötözősaláta	Cser	költség	arcsin	arccos	arctan	száraz	csc
Derivált	kötözősaláta{\ displaystyle \ cos}	-bűn{\ displaystyle - \ sin}	1+Cser2=1kötözősaláta2{\ displaystyle 1+ \ tan ^ {2} = {\ frac {1} {\ cos ^ {2}}}}	-1-költség2=-1bűn2{\ displaystyle -1- \ cot ^ {2} = {\ frac {-1} {\ sin ^ {2}}}}	x↦11-x2{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}	x↦-11-x2{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {-1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}	x↦1x2+1{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {x ^ {2} +1}}}	bűnkötözősaláta2{\ displaystyle {\ sin \ over \ cos ^ {2}}}	-kötözősalátabűn2{\ displaystyle {- \ cos \ over \ sin ^ {2}}}

Egyéb kapcsolatok megtalálhatók a Trigonometrikus azonosságok oldalon .

Határértékek

Mivel a trigonometrikus függvények periodikusak, nem állandóak, nincs korlátjuk a végtelenségig .

A tangens függvény, amelyet nem határoz meg a π / 2 + k π , a végtelen határértékkel rendelkezik bal és jobb oldalon az alábbi pontokon: limx→π/2-Cser⁡x=+∞ és limx→π/2+Cser⁡x=-∞.{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ pi / 2 ^ {-}} \ tan x = + \ infty {\ text {et}} \ lim _ {x \ to \ pi / 2 ^ {+}} \ tan x = - \ infty.}

Kapcsolatok az exponenciális függvénnyel és a komplex számokkal

A sorozat meghatározása alapján megmutathatjuk, hogy a szinusz és a koszinusz függvények az exponenciális függvény képzeletbeli és valós részei , ha az argumentuma tiszta képzeletbeli  :

∀x∈Rkötözősaláta⁡x=Újra (eénx) és bűn⁡x=Im (eénx){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ cos x = {\ mbox {Re}} ({\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x}) {\ text { és}} \ sin x = {\ mbox {Im}} ({\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x})}

ahol i 2  = –1 , vagy ismét:

eénx=kötözősaláta⁡x+énbűn⁡x.{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} = \ cos x + {\ rm {i}} \ sin x.}

Ez a kapcsolat közismert nevén Euler-formula . Erre következtetünk

bűn⁡z=∑nem=0∞(-1)nem(2nem+1)!z2nem+1=eénz-e-énz2én=sinh⁡(énz)én.{\ displaystyle \ sin z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} z ^ {2n + 1} = {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} z} - {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} z} \ több mint 2 {\ rm {i}}} = {\ frac {\ operátornév {sinh} \ balra ({\ rm {i}} z \ jobbra)} {\ rm {i}}}.}kötözősaláta⁡z=∑nem=0∞(-1)nem(2nem)!z2nem=eénz+e-énz2=kényelmes⁡(énz).{\ displaystyle \ cos z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} z ^ {2n} = {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} z} + {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} z} \ over 2} = \ operátornév {cosh} \ bal ({\ rm {i}} z \ jobbra).}

Fordított függvények: ciklometrikus függvények

A trigonometrikus függvények nem bijektívek . Ezzel korlátozzák őket , hogy bizonyos időközönként , a trigonometrikus függvények végre bijekciókat. A kölcsönös ciklométriques függvényeknek nevezett alkalmazásokat ( arcsin , arccos , arctan , arccsc , arcsec és arccot ) általában meghatározzuk (minden valós x és y esetében ):

• y = arcsin x akkor és csak akkor, ha –π / 2 ≤ y ≤ π / 2 és x = sin y ,
• y = arccos x akkor és csak akkor, ha 0 ≤ y ≤ π és x = cos y ,
• y = arctan x akkor és csak akkor, ha –π / 2 < y < π / 2 és x = tan y ,
• y = arccsc x akkor és csak akkor, ha –π / 2 ≤ y ≤ π / 2 , y ≠ 0 és x = csc y ,
• y = arcsec x akkor és csak akkor, ha 0 ≤ y ≤ π , y ≠ π / 2 és x = sec y ,
• y = arccot x csak akkor, ha 0 < y < π és x = cot y .

Ezek a függvények meghatározhatatlan integrálok formájában írhatók:

∀x∈[-1,1]arcsin⁡x=∫0x11-t2dtésarccos⁡x=∫x111-t2dt,∀x∈Rarctan⁡x=∫0x11+t2dtésarccot⁡x=∫x∞11+t2dt,{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ forall x \ in [-1,1] & \ arcsin x & = & \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} t & {\ text {et}} & \ arccos x & = & \ int _ {x} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt { 1-t ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} t, \\\ forall x \ in \ mathbb {R} & \ arctan x & = & \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {1 + t ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t & {\ text {et}} & \ operátornév {arccot} x & = & \ int _ {x} ^ {\ infty } {\ frac {1} {1 + t ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t, \ end {mátrix}}} arcsec⁡x={∫1x1tt2-1dtha x≥1π+∫x-11tt2-1dtha x≤-1ésarccsc⁡x={∫x∞1tt2-1dtha x≥1∫-∞x1tt2-1dtha x≤-1.{\ displaystyle \ kezelőnév {arcsec} x = {\ begin {cases} \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {1} {t {\ sqrt {t ^ {2} -1}}}} \ , \ mathrm {d} t & {\ text {si}} x \ geq 1 \\\ pi + \ int _ {x} ^ {- 1} {\ frac {1} {t {\ sqrt {t ^ { 2} -1}}}} \, \ mathrm {d} t & {\ text {si}} x \ leq -1 \ end {esetek}} \ quad {\ text {et}} \ quad \ operátornév {arccsc } x = {\ elején {esetek} \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {1} {t {\ sqrt {t ^ {2} -1}}}}}, \ mathrm {d} t & {\ text {si}} x \ geq 1 \\\ int _ {- \ infty} ^ {x} {\ frac {1} {t {\ sqrt {t ^ {2} -1}}}} \, \ mathrm {d} t & {\ text {si}} x \ leq -1. \ end {esetek}}}

Gyakorlati egyenlőség:

kötözősaláta⁡(arcsin⁡x)=1-x2,Cser⁡(arcsin⁡x)=x1-x2,{\ displaystyle \ cos (\ arcsin x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}, \ quad \ tan (\ arcsin x) = {\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ { 2}}}},} bűn⁡(arccos⁡x)=1-x2,Cser⁡(arccos⁡x)=1-x2x,{\ displaystyle \ sin (\ arccos x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}, \ quad \ tan (\ arccos x) = {\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}} } {x}},} kötözősaláta⁡(arctan⁡x)=11+x2,bűn⁡(arctan⁡x)=x1+x2.{\ displaystyle \ cos (\ arctan x) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}, \ quad \ sin (\ arctan x) = {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}.}

Alkalmazások

A trigonometriai függvények, amint a nevük is mutatja, döntő fontosságúak a trigonometria szempontjából , de részt vesznek a periodikus funkciók tanulmányozásában is.

A trigonometriában

A trigonometria során érdekes összefüggéseket biztosítanak az oldalak hossza és bármely háromszög szöge között.

Tekintsünk bármilyen háromszöget:

• a szinuszok törvénye meg van írva:

bűn⁡NÁL NÉL^nál nél=bűn⁡B^b=bűn⁡VS^vs.{\ displaystyle {\ frac {\ sin {\ widehat {A}}} {a}} = {\ frac {\ sin {\ widehat {B}}} {b}} = {\ frac {\ sin {\ widehat {CC}}}

Ez a kapcsolat megmutatható a háromszög két derékszögű háromszögre osztásával és a szinusz fenti definíciójának alkalmazásával.

A tételben megjelenő közös szám a háromszögre körülírt kör átmérőjének inverze (a három A , B és C ponton áthaladó kör ). A szinuszok törvénye bármely háromszög oldalainak ismeretlen hosszúságának kiszámításához hasznos, ha két szög és egy oldal ismert. Ez a háromszögelésnél gyakori helyzet , az ismeretlen távolságok meghatározására szolgáló technika két szög és egy távolság mérésével. bűn⁡(NÁL NÉL^)nál nél{\ displaystyle {\ frac {\ sin ({\ widehat {A}})} {a}}}

• a koszinuszok törvénye vagy az Al-Kashi-tétel a Pythagoreus-tétel általánosítása

vs.2=nál nél2+b2-2nál nélbkötözősaláta⁡(VS^){\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos ({\ widehat {C}})}

Ez a tétel ismét megmutatható, ha a háromszöget két derékszögű háromszögre osztjuk. A koszinusztörvény akkor hasznos, ha meghatározzuk a háromszög ismeretlen adatait, ha az oldal két oldala és egy szöge ismert. Vegye figyelembe, hogy az ismert szögnek tartalmaznia kell azt a két oldalt, amelynek hosszát ismerjük.

• Az érintők törvénye is létezik  :

nál nél-bnál nél+b=Cser⁡((NÁL NÉL^-B^)/2)Cser⁡((NÁL NÉL^+B^)/2),{\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {\ tan (({\ widehat {A}} - {\ widehat {B}}) / 2)} {\ tan (({ \ widehat {A}} + {\ widehat {B}}) / 2)}},}

valamint a kotangensek törvénye és Mollweide formulái .

A trigonometrikus függvények használata nem korlátozódik csak a háromszögek vizsgálatára. A trigonometrikus függvények olyan periodikus függvények, amelyek grafikus ábrázolása megfelel a jellegzetes hullámmodelleknek, amelyeket oszcillációs jelenségek, például zaj vagy fényhullámok modellezésére használnak. Minden jel felírható különböző frekvenciájú szinusz- és koszinusz-függvények összegeként (általában végtelenül); ezek a Fourier-sorozatok .

Harmonikus elemzésben

A szinusz és a koszinusz funkció az egyszerű harmonikus mozgás leírásában is megjelenik , ami a fizika egyik fontos fogalma. Ebben az összefüggésben a szinusz és a koszinusz függvényeket használjuk az egyenletes körmozgás , a rugó végén lévő tömeg mozgásának vagy a d 'kis szögeltérés oszcillációinak közelítésének egydimenziós terének vetületeinek leírására . egy inga.

A trigonometrikus függvények a háromszögek vizsgálatán kívül más területeken is fontosak. Ezek rendszeres és grafikai ábrázolások szinuszoidok és használható modellezésére periodikus jelenségek, mint a hang, a fény hullámai . Bármely, bizonyos tulajdonságokat kielégítő jel leírható különböző frekvenciájú szinusz- és koszinusz-függvények összegével (általában végtelen); ez a Fourier-elemzés alapgondolata , amelyben trigonometrikus sorokat használnak sok határérték-probléma megoldására részleges differenciálegyenletekben. Például egy négyzet alakú jelet egy Fourier-sorozattal lehet leírni  :

xnégyzet(t)=4π∑k=1∞bűn⁡((2k-1)t)(2k-1).{\ displaystyle x _ {\ text {square}} (t) = {\ frac {4} {\ pi}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ sin {{\ bigl (} ( 2k -1) t {\ bigr)}} \ over (2k-1)}.}

Átmeneti funkciók

Amikor x áthalad [-π / 2; π / 2] , a szinuszfüggvény az -1 értékről az 1 értékre megy. Folyamatos és levezethető, tangensei az intervallum végén vízszintesen helyezkednek el (a deriváltak -π / 2-ben és π- ben törlik egymást. / 2 . Ezért a választott funkcióvá válik a Heaviside funkció cseréje , amely önmagában nem folyamatos.

Például, ha azt akarjuk, egy eszközt, hogy menjen egy érték y = a értékre b időpontban t 0 , irányítani tudjuk azt a típusú törvény

y(t)=nál nél+b-nál nél2bűn⁡(π⋅tτ-t0){\ displaystyle y (t) = a + {\ frac {ba} {2}} \ sin \ bal ({\ frac {\ pi \ cdot t} {\ tau}} - t_ {0} \ jobb)}

ahol τ az átmenet időtartama. Ez a típusú szabályozási törvény lehetővé teszi a célérték és a pillanatnyi érték közötti túl nagy különbség, valamint a csillapított oszcillációs jelenségek elkerülését .

Például, ha egy mozgó testnek gyorsulási szakaszon kell átesnie, majd egy lassulási szakaszon, akkor a sebességváltásokhoz szinuszos törvényeket lehet alkalmazni. Ez biztosítja, hogy a gyorsulás folyamatos legyen.

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

1. Or6.-24.{\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}} {4}}.}
2. Or6.+24.{\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}}.}

Hivatkozások

1. Martin Aigner és Günter M. Ziegler , Isteni érvelések , Springer ,2002, 245  p. ( ISBN  978-2-287-59723-7 , online olvasás ) , fejezet.  19. („A kotangens függvény és a Herglotz- trükk  ”), p.  139-142.
2. (in) Reinhold Remmert , A komplex funkciók elmélete Springer al.  "  GTM  " ( n °  122)1991, 453  p. ( ISBN  978-0-387-97195-7 , online olvasás ) , p.  327.
3. Remmert 1991 , p.  329-330. Lásd még M. Lerch , „  elemi bizonyítéka a képlet:π2bűn2⁡πx=∑v=-∞∞1(x+v)2{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {\ sin ^ {2} {\ pi x}}} = \ sum _ {\ nu = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1 } {(x + \ nu) ^ {2}}}}  ”, L'Enseignement mathématique , vol.  5,1903, P.  450-453 ( online olvasás ).

Lásd is

Bibliográfia

• Adrien Guilmin , Elemi tanfolyam a lineáris trigonometria területén (1863), a Gallica- on
• Étienne-Louis Lefébure de Fourcy , A trigonometria elemei (1836), a Gallica-on
• en) Eli Maor , Trigonometriai élvezetek , Princeton Univ. Nyomja meg. (1998). Újranyomás kiadás (2002) ( ISBN  0-691-09541-8 )
• (en) Tristan Needham  (en) , "A vizuális komplex elemzés előszava " . Oxford University Press, 1999 ( ISBN 0-19-853446-9 ) 
• (hu) John J. O'Connor és Edmund F. Robertson , „A trigonometrikus függvények” , a MacTutor History of Mathematics archiválni , University of St Andrews ( olvasható online ).
• (en) Ian Pearce , „Sangamagramma Madhava” , John J. O'Connor és Edmund F. Robertson, a MacTutor University of St Andrews matematikatörténeti archívuma ( online olvasható )
• (en) Eric W. Weisstein , „  tangens  ” , a MathWorld- on

Kapcsolódó cikkek

• Alap (geometria)
• Háromszög magassága
• Lejtő (matematika)
• Pitagorai trigonometrikus identitás
• Trigonometria
• CORDIC (számítási algoritmus)
• Trigonometrikus táblázat
• Koszinusz hasonlóság
• Sinus bíboros
• Komplex trigonometria
• Hiperbolikus funkció

Külső linkek

• A "sinus" szó etimológiája a történelem és a tudományfilozófia "Principia" oldalán
• Szinuszos izometriák és morfizmus  : jegyzet középiskolásoknak (középiskolásoknak), X. Hubaut, a Brüsszeli Szabadegyetem professzora helyén

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">