Koszinustörvény
A matematika, a koszinusz törvény egy tétel a geometria általánosan használt trigonometrikus , amely összeköti egy háromszög a hossza az egyik oldalról a másik két, és a koszinusz a szög által alkotott két fél. Ez a törvény hasonló módon fejeződik ki síkban, gömb alakú vagy hiperbolikus geometriában .
A síkgeometriát illetően a franciaországi Al-Kashi-tétel vagy általánosított Pitagorasz-tétel alatt is ismert . Valóban általánosítja a Pitagorasz-tételt nem derékszögű háromszögekre. Bár hasonló eredményt (csak hosszúsággal) már Euklidész is ismert, Ghiyath Al-Kashi (1380–1429) perzsa matematikus francia neve az 1990-es években jelent meg a Franciaországban megjelent iskolai tankönyvekben, a fellebbezések theorème általánossá tették Pitagoraszit vagy a az addig használt koszinuszokat .
Síkgeometriában
Államok
A koszinusztörvény a következőképpen van megfogalmazva:
Vegyünk egy ABC háromszöget, amelyben az 1. ábrán kitett szokásos jelöléseket használjuk: egyrészt
α ,
β és
γ a szögekhez, másrészt
a ,
b és
c az oldalak hosszával szemben, ezeket a szögeket. Ezután a következő egyenlőséget ellenőrzik:
vs.2=nál nél2+b2-2nál nélb kötözősaláta γ.{\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ \ cos \ \ gamma.}
Történelem
Az Elements of Euclid nyúlik vissza, a III -én század ie. J. - C., már tartalmazott egy geometriai megközelítés a általánosítása a tétel Püthagorász : javaslatok 12. és 13. könyv II , élvezet külön az esetben, tompaszögű háromszög , és, hogy egy acutangle háromszög . A trigonometrikus függvény és az algebra hiánya kötelezi a tétel megfogalmazását a területek különbségei szempontjából. Ezért a 12. javaslat kimondja:
"Tompaszögű háromszögekben a tompaszög mögött álló oldal négyzete nagyobb, mint a tompaszögű oldalak négyzete, kétszerese annak a téglalapnak, amelyet a tompaszög oldalainak négyzete képez, amelynek meghosszabbítására a merőleges esik, és a tompaszögre merőlegesen merőlegesen vett vonal alatt. "
- Euklidész, Az elemek
A modern jelölések az ABC-nek a C és H tompított szögű háromszög és a B magasságának a lábát figyelembe véve lehetővé teszik az állítás az alábbiakat:
NÁL NÉLB2=VSNÁL NÉL2+VSB2+2VSH×NÁL NÉLVS{\ displaystyle AB ^ {2} = CA ^ {2} + CB ^ {2} + 2CH \ alkalommal AC}
A középkorban csak az arab-muszlim trigonometria során kellett látni, hogy a tétel alakjában és terjedelmében fejlődik. Ugyanebben az időszakban elkészítették az első trigonometrikus táblázatokat a szinusz és a koszinusz függvényekre . 1428-ban találunk egy tételt a koszinuszokat felhasználva al-Kashi , A számtan kulcsai című művében .
Ez az elején a XIX E század , hogy a modern algebrai jelöléseket lehetővé teszi, hogy írjon a tétel a jelenlegi formájában, és hogy úgy több nyelven nevét törvény (vagy tétel) a koszinuszok.
A tétel és alkalmazásai
A koszinuszok törvénye általánosítja a Pitagorasz-tételt , mivel lehetővé teszi annak kijelentését, hogy a γ szög akkor és akkor helyes (más szóval cos γ = 0 ), ha c 2 = a 2 + b 2 .
Általánosabban, a tétel használják háromszögelési hogy megoldja egy háromszög , nevezetesen, hogy meghatározzuk
- egy háromszög harmadik oldala, amelynek szögét ismerjük, és a szomszédos oldalak:
vs.=nál nél2+b2-2nál nélbkötözősalátaγ{\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma}}}![{\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee6252334ef0137bc78bb693bfeb00e032742db9)
;
- egy háromszög szöge, amelynek három oldala ismert:
γ=arccosnál nél2+b2-vs.22nál nélb.{\ displaystyle \ gamma = \ arccos {\ dfrac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}}.}![\ gamma = \ arccos \ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2} {2ab}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482b9471c8c193a2970ec5abe6f1aed8a2c75d78)
Ezek a képletek számszerűen instabilak a tűháromszögek esetében, azaz amikor c az a és b előtt kicsi, vagy ezzel egyenértékűen, ha γ az 1 előtt kicsi.
A koszinusz-törvénynek következménye van: két közvetlenül hasonló ABC és A'B'C ' háromszög esetében
vs.vs.′=nál nélnál nél′+bb′-(nál nélb′+nál nél′b)kötözősalátaγ.{\ displaystyle cc '= aa' + bb '- (ab' + a'b) \ cos \ gamma. \,}
Tüntetések
Csakúgy, mint a Pitagorasz-tétel , a koszinustörvénynek is sok bizonyítéka van, némelyik olyan területi tulajdonságokat használ, mint az Euklidész vagy a koszinusi törvény, mások pedig trigonometrikus vagy körhöz kapcsolódó tulajdonságokat. Végül a koszinuszok törvénye a tulajdonságok alkalmazásának tekinthető a pontterméken .
Euklidész bemutatója
Az Euclid bemutatása a 12. (tompaszög) és a 13. (hegyes szög) állítással a Pitagorasz-tételen alapul, és magában foglalja a B utáni H lábmagasságot . Euklidész számára ez a tulajdonság egy területek tulajdona. A tompa szögre (12. tétel) Euklidész az [ AH ] oldal AHB háromszögén kívülre építi a négyzetet, és észreveszi, hogy
NÁL NÉLH2=VSH2+VSNÁL NÉL2+2×VSH×NÁL NÉLVS{\ displaystyle AH ^ {2} = CH ^ {2} + CA ^ {2} +2-szer CH \ -szerese AC}![AH ^ 2 = CH ^ 2 + CA ^ 2 + 2-szer CH-szerese az AC-nek](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/956e9c8bada7437257d9555340b21000f33e60ca)
Ezután elegendő hozzáadni a HB oldal négyzetének területét
NÁL NÉLH2+HB2=HB2+VSH2+VSNÁL NÉL2+2×VSH×NÁL NÉLVS{\ displaystyle AH ^ {2} + HB ^ {2} = HB ^ {2} + CH ^ {2} + CA ^ {2} +2-szer CH \ -szerese AC}![AH ^ 2 + HB ^ 2 = HB ^ 2 + CH ^ 2 + CA ^ 2 + 2-szer CH-szer AC](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a457c460604809f6ee7959b79008688dfaf29884)
és kétszer használja a Pitagorasz-tételt
az AHB derékszögű háromszögben
NÁL NÉLB2=NÁL NÉLH2+HB2{\ displaystyle AB ^ {2} = AH ^ {2} + HB ^ {2}}![AB ^ 2 = AH ^ 2 + HB ^ 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40436ddc2d194039a26e69a1c64247b14aae2225)
a derékszögű CHB háromszögben
VSB2=HB2+VSH2{\ displaystyle CB ^ {2} = HB ^ {2} + CH ^ {2}}
Az egyszerűsítés után megkapjuk
NÁL NÉLB2=VSNÁL NÉL2+VSB2+2×VSH×NÁL NÉLVS{\ displaystyle AB ^ {2} = CA ^ {2} + CB ^ {2} +2-szer CH \ -szerese AC}![AB ^ 2 = CA ^ 2 + CB ^ 2 + 2-szer CH-szerese az AC-nek](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05916609926e1708d688e1b22e6870136736cd8)
Hasonló bemutatás tehető az éles szögről is.
Al-Kashi bemutató
Al-Kashi az aritmetika kulcsának 1429-ben című könyvében általánosítja a Pitagorasz-tételt, és bevezeti a trigonometriát az egyenlőségbe.
Számára is ez a tulajdonság kapcsolódik a területekhez. Így az ABC acutangle háromszögben A , B és C által vezeti a háromszög 3 magasságát, amelyek téglalapokat vágnak ki a négyzetekben a CB , CA és AB alapján .
A szemközti ábrán a zöld téglalapok területeinek egyenlőségét bizonyítjuk a háromszögek területeinek egyenlőségének bizonyításával
-
JAE és JAB egy csúccsal csúsztatva az alappal;
-
JAB és CAM derékszögű forgatással;
-
CAM és FAM csúccsal csúsztatva egy bázissal.
Ugyanezt tesszük a piros téglalapok esetében is.
Ami a kék téglalapokat illeti, amelyeknek az oldala CL (= CA ) és CE (= CB cos C ) hosszú, az egyik, CI (= CB ) és CD (= CA cos C ) a másik, azonos területűek egyenlő a CA × CB × cos C értékkel .
Összeggel következtetünk
VSNÁL NÉL2+VSB2=NÁL NÉLB2+2VSNÁL NÉL×VSB×kötözősalátaVS{\ displaystyle CA ^ {2} + CB ^ {2} = AB ^ {2} + 2CA \ szoros CB \ idők \ cos C}
Hasonló bemutatás lehetséges egy tompa háromszög esetében is, ha területeket kivonunk.
A területek felosztása szerint
A demonstrációk számos tétele, amely magában foglalja a területek kiszámítását . Valójában meg kell jegyezni, hogy
-
egy 2 , b 2 és c 2 azok a területek, négyzetek a megfelelő oldalai egy , b és c ;
-
ab | cos γ | az a és b oldalak paralelogramma ,amely π / 2 - γ szöget képez, a cos γ előjelének változása,amikor a γ szög tompává válik, kötelezővé teszi az esettanulmányt.
A 6a. Ábra (szemben) két különböző módon vág egy heptagont, hogy bemutassa Al-Kashi tételét hegyes szög esetén. Hangszórók:
- rózsaszín, a területek a 2 , b 2 a bal oldalon, és azokat a területeket ab cos γ és c 2 a jobb oldalon;
- kék színnel az ABC háromszög, jobbra, mint balra;
- szürke színben néhány további háromszög, azonos az ABC háromszöggel, és ugyanannyi a két kivágásban.
A jobb és a bal oldali területek egyenlősége adja
nál nél2+b2=vs.2+2nál nélbkötözősalátaγ{\ displaystyle \, a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} + 2ab \ cos \ gamma}![\, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 + 2ab \ cos \ gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf400e6971567686fab0fb971d9d9a9196cc0ead)
.
A 6b. Ábra (szemben) két különböző módon vág ki egy hatszöget annak érdekében, hogy bemutassa Al-Kashi tételét tompa szög esetén. Az ábra mutatja
- rózsaszínben a bal oldalon az a 2 , b 2 és –2 ab cos γ , jobb oldalon a c 2 terület ;
- kék színnel, az ABC háromszög kétszerese, jobb és bal oldalon.
A jobb és a bal oldali területek egyenlősége adja
nál nél2+b2-2nál nélbkötözősalátaγ=vs.2{\ displaystyle \, a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma = c ^ {2}}![\, a ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cos \ gamma = c ^ 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3090a527a020bdefae4b44bef867a98b6056212b)
.
A szigorú demonstrációhoz meg kellene bizonyítani, hogy a két felosztás valóban megegyezik, ami főleg a háromszögek egyenlőségének eseteit használja .
A Pitagorasz-tétel szerint
A 7. ábra (szemben) szemlélteti, hogyan lehet folytatni a koszinusz törvényének bemutatását hegyesszögű háromszög esetén a Pitagorasz-tétel használatával a derékszögű háromszögre, amely a magasság lábának megadásával jön létre. Csak az utolsó lépést nem tüntettük fel az ábrán: a Pitagorasz-tétel arra a derékszögű háromszögre vonatkozik, amelynek hipotenusa a c oldala :
vs.2=(b-nál nélkötözősalátaγ)2+(nál nélbűnγ)2=b2-2nál nélbkötözősalátaγ+nál nél2kötözősaláta2γ+nál nél2bűn2γ.{\ displaystyle c ^ {2} = (ba \ cos \ gamma) ^ {2} + (a \ sin \ gamma) ^ {2} = b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma + a ^ {2} \ cos ^ {2} \ gamma + a ^ {2} \ sin ^ {2} \ gamma.}![{\ displaystyle c ^ {2} = (ba \ cos \ gamma) ^ {2} + (a \ sin \ gamma) ^ {2} = b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma + a ^ {2} \ cos ^ {2} \ gamma + a ^ {2} \ sin ^ {2} \ gamma.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f60f1815957aa728605bb10286fc2e075137d9be)
A figyelemre méltó identitás felhasználásával
kötözősaláta2γ+bűn2γ=1,{\ displaystyle \ cos ^ {2} \ gamma + \ sin ^ {2} \ gamma = 1,}![{\ displaystyle \ cos ^ {2} \ gamma + \ sin ^ {2} \ gamma = 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79cac45a53169ab0d03c01b9146c7e3280e0e7ff)
egyszerűsítés után megkapjuk a várt eredményt:
vs.2=b2+nál nél2-2nál nélbkötözősalátaγ.{\ displaystyle c ^ {2} = b ^ {2} + a ^ {2} -2ab \ cos \ gamma.}![{\ displaystyle c ^ {2} = b ^ {2} + a ^ {2} -2ab \ cos \ gamma.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd12424e8821293f6a63441b9578be0d50896dc)
A módszer minden ponton hasonló a tompaszögekhez, és azonos eredményhez vezet.
Egy pont erejének felhasználása egy körhöz képest
Figyelembe vesszük a B középpontú és [ BC ] sugarú kört (vö. A szemközti ábrával). Metszi a C és K egyeneset ( AC ) . A hatalom a lényeg A helyzetben az említett kör van:
NÁL NÉLB2-BVS2=NÁL NÉLVS¯⋅NÁL NÉLK¯=NÁL NÉLVS¯⋅(NÁL NÉLVS¯+VSK¯){\ displaystyle \ mathrm {AB} ^ {2} - \ mathrm {BC} ^ {2} = {\ overline {\ mathrm {AC}}} \ cdot {\ overline {\ mathrm {AK}}} = {\ overline {\ mathrm {AC}}} \ cdot ({\ overline {\ mathrm {AC}}} + {\ overline {\ mathrm {CK}}})}![\ mathrm {AB} ^ 2 - \ mathrm {BC} ^ 2 = \ overline {\ mathrm {AC}} \ cdot \ overline {\ mathrm {AK}} = \ overline {\ mathrm {AC}} \ cdot (\ overline {\ mathrm {AC}} + \ overline {\ mathrm {CK}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a876f61b9ba6bbd65e523e992eeb889fe9f844)
honnan
vs.2-nál nél2=b(b-2nál nél kötözősaláta γ){\ displaystyle c ^ {2} -a ^ {2} = b \, (b-2a \ \ cos \ \ gamma)}![c ^ 2-a ^ 2 = b \, (b-2a \ \ cos \ \ gamma)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d0a1ca68f892deeb1eee37780b1fcf61eae0b61)
.
A korábbiaktól eltérően ehhez a demonstrációhoz nem szükséges esettanulmányhoz folyamodni. Az algebrai mérések valóban lehetővé teszik az akut szög ( CK <0) és a tompaszög ( CK > 0) ugyanolyan kezelését.
Találunk nyomai a használata a hatalom egy pont tekintetében egy kört, hogy meghatározzák a háromszög szögei, amelynek hosszúsága ismert, a munka Nicolas Copernicus , forradalmak az égi szférák . Így két algoritmust mutat be, az egyik az Euklidész munkájában jelen lévő általánosított Pitagorasz-tétel felhasználásával, a másik pedig a pont erejét használja egy körhöz képest.
Így egy ellentétes ábrán rámutat arra, hogy mivel a és c ismert, az A pont hatalma a rajzolt körhöz képest ismert
a jelenlegi matematikai nyelvben ez
c 2 - a 2
Arra a következtetésre jutott, hogy mivel b ismert, AK ismert.
Valóban ezért
NÁL NÉLK×b=vs.2-nál nél2{\ displaystyle AK \ times b = c ^ {2} -a ^ {2}}
NÁL NÉLK=vs.2-nál nél2b.{\ displaystyle AK = {\ frac {c ^ {2} -a ^ {2}} {b}}.}
Mivel AK ismert, akkor CK is ismert.
Valóban, a szemközti ábrán
VSK=NÁL NÉLK-b=vs.2-nál nél2-b2b.{\ displaystyle CK = AK-b = {\ frac {c ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2}} {b}}.}
Végül rámutat arra, hogy a CK ismert, a KCB szög ismert.
Valóban,
kötözősaláta(KVSB)=VSK2nál nél=vs.2-nál nél2-b22nál nélb.{\ displaystyle \ cos (KCB) = {\ frac {CK} {2a}} = {\ frac {c ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2}} {2ab}}.}
És mivel a KCB szög ismert, az ACB szög is ismert .
Így megtaláljuk a koszinusz-szabályt:
kötözősaláta(γ)=nál nél2+b2-vs.22nál nélb{\ displaystyle \ cos (\ gamma) = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}}}
Az algebrai méréseket nem kezelve Nicolas Copernicus két forgatókönyvet mutat be a tompaszög és az élesszög vonatkozásában, olyan körön dolgozik, amelynek sugara a legkisebb oldalnak felel meg, és nem képletet, hanem számítási algoritmust mutat be. A pont erejét egy körhöz hasonlóan használja a koszinusz-szabály megtalálásához Pitiscus .
A dot termék használata
A vektorszámítás , pontosabban a skaláris szorzat felhasználásával néhány sorban megtalálható a koszinusz törvénye:
vs.2=‖NÁL NÉLB→‖2=‖VSB→-VSNÁL NÉL→‖2=‖VSB→‖2-2⋅VSB→⋅VSNÁL NÉL→+‖VSNÁL NÉL→‖2=VSB2-2⋅|VSB|⋅|VSNÁL NÉL|kötözősalátaNÁL NÉLVSB^+VSNÁL NÉL2=nál nél2+b2-2nál nélbkötözősalátaγ.{\ displaystyle {\ begin {aligned} c ^ {2} & = \ lVert {\ overrightarrow {AB}} \ lVert ^ {2} \\ & = \ lVert {\ overrightarrow {CB}} - {\ overrightarrow {CA }} \ lVert ^ {2} \\ & = \ lVert {\ overrightarrow {CB}} \ lVert ^ {2} -2 \ cdot {\ overrightarrow {CB}} \ cdot {\ overrightarrow {CA}} + \ lVert {\ overrightarrow {CA}} \ lVert ^ {2} \\ & = CB ^ {2} -2 \ cdot \ left | CB \ right | \ cdot \ left | CA \ right | \ cos {\ widehat {ACB} } + \ mathrm {CA} ^ {2} \\ & = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma \ ,. \ end {igazítva}}}![{\ displaystyle {\ begin {aligned} c ^ {2} & = \ lVert {\ overrightarrow {AB}} \ lVert ^ {2} \\ & = \ lVert {\ overrightarrow {CB}} - {\ overrightarrow {CA }} \ lVert ^ {2} \\ & = \ lVert {\ overrightarrow {CB}} \ lVert ^ {2} -2 \ cdot {\ overrightarrow {CB}} \ cdot {\ overrightarrow {CA}} + \ lVert {\ overrightarrow {CA}} \ lVert ^ {2} \\ & = CB ^ {2} -2 \ cdot \ left | CB \ right | \ cdot \ left | CA \ right | \ cos {\ widehat {ACB} } + \ mathrm {CA} ^ {2} \\ & = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma \ ,. \ end {igazítva}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b99e1b037712311bf04e198b8f088eeecb1c917f)
A nem euklideszi geometriában
Bármely nem-euklideszi felületén a görbületi K , definiáljuk a görbületi sugár ρ :
ρ=1/|K|,{\ displaystyle \ rho = 1 / {\ sqrt {| K |}},}![{\ displaystyle \ rho = 1 / {\ sqrt {| K |}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f34edce48875647ec4bb670a28e1ca6c1f44c41)
akkor a csökkentett méretek a háromszög a , b és c értékei:
nál nél=BVS/ρ,b=NÁL NÉLVS/ρ,vs.=NÁL NÉLB/ρ.{\ displaystyle a = BC / \ rho, \ quad b = AC / \ rho, \ quad c = AB / \ rho.}
A szférikus trigonometria fejlődése az arab-muszlim világban és al-Battani munkája ezzel arra késztette Delambre- t a középkori csillagászattörténetében, hogy al-Battaninak tulajdonítja, a törvény első változatának a gömbös trigonometriai koszinuszokat. Ahhoz azonban, hogy Anton von Braunmühl (en) , a munka az al-Battani nem emeli ki egy általános képlet, és meg kell várni a Regiomontanus , aki munka alapján az al-Battani, államok és igazolja a törvény segítségével járatos orrmelléküregek .
Az ABC gömb alakú háromszögben (9. ábra) a csökkentett a , b és c méretek megfelelnek a [ BC ], [ AC ] és [ AB ] nagy ívszegmensek szögmérésének, és a koszinusz-törvényt írják:
kötözősalátavs.=kötözősalátanál nélkötözősalátab+bűnnál nélbűnbkötözősalátaγ.{\ displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma.}![\ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48bd6eab1c3cd54d762c56bfd1c3590e5f33793d)
Demonstráció
Tekintsünk egy gömb alakú ABC háromszöget az O középpontú és az 1 sugarú gömbben úgy, hogy OA = OB = OC = 1. A vektor a C-nél az tangensvektor az A-n és C- n áthaladó nagy körhöz . Valójában az OAC síkhoz tartozik, és a skaláris szorzótól kezdve merőleges . Sőt, skaláris négyzetének kiszámításával könnyen ellenőrizhető, hogy normája megegyezik-e a sin ( b ) értékkel . Hasonlóképpen, a vektor a B-ben és a C- ben áthaladó nagy kör C-s érintővektora , és normája sin ( a ) . A két vektor szöge tehát γ . Ezután a két vektor skaláris szorzatának végrehajtásával megkapjuk a koszinusz törvényét, amely:
ONÁL NÉL→-kötözősaláta(b)OVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} - \ cos (b) {\ overrightarrow {OC}}}
OVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OC}}}
ONÁL NÉL→⋅OVS→=kötözősaláta(b){\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} \ cdot {\ overrightarrow {OC}} = \ cos (b)}
OB→-kötözősaláta(nál nél)OVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OB}} - \ cos (a) {\ overrightarrow {OC}}}
γ{\ displaystyle \ gamma}![\gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
bűnnál nélbűnbkötözősalátaγ=kötözősalátavs.-kötözősalátanál nélkötözősalátab{\ displaystyle \ sin a \ sin b \ cos \ gamma = \ cos c- \ cos a \ cos b}
Van egy hasonló azonosság, amely összeköti a három szöget:
kötözősalátaγ=-kötözősalátaαkötözősalátaβ+bűnαbűnβkötözősalátavs.{\ displaystyle \ cos \ gamma = - \ cos \ alfa \, \ cos \ beta + \ sin \ alfa \, \ sin \ beta \, \ cos c}![\ cos \ gamma = - \ cos \ alfa \, \ cos \ béta + \ sin \ alfa \, \ sin \ béta \, \ cos c](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e1a70306991b604c0d605ba9ff6f4e07797b0cb)
Amikor a görbületi sugár a végtelen felé halad, vagyis amikor a , b és c 0 felé hajlik, akkor a gömbös koszinustörvény egyszerűsödik, hogy megkapja ugyanezen törvény euklideszi változatát. Ennek bemutatásához a következő korlátozott fejlesztéseket alkalmazzuk :
bűnnál nél=nál nél+o(nál nél2),{\ displaystyle \, \ sin a = a + o (a ^ {2}),}
kötözősalátanál nél=1-nál nél2/2+o(nál nél2).{\ displaystyle \, \ cos a = 1-a ^ {2} / 2 + o (a ^ {2}).}
és a sin a sin b cos γ = cos c - cos a cos b összefüggésben meghatározzuk a második rendű együtthatókat , amelyek:
nál nélbkötözősalátaγ=-vs.22+nál nél22+b22{\ displaystyle ab \ cos \ gamma = - {\ frac {c ^ {2}} {2}} + {\ frac {a ^ {2}} {2}} + {\ frac {b ^ {2}} {2}}}
Az álgömbön lévő ABC háromszögre a koszinusz-törvényt írják
kényelmesvs.=kényelmesnál nélkényelmesb-sinhnál nélsinhbkötözősalátaγ{\ displaystyle \ cosh c = \ cosh a \, \ cosh b- \ sinh a \, \ sinh b \, \ cos \ gamma}![\ cosh c = \ cosh a \, \ cosh b - \ sinh a \, \ sinh b \, \ cos \ gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b52a3a1eb5b974d5108a12f3e4447e23b13e1aae)
.
Amikor a görbületi sugár a háromszög méreteihez képest nagyon nagy lesz, a korlátozott kiterjesztésekből az euklideszi koszinustörvényt találjuk
sinhnál nél=nál nél+O(nál nél3){\ displaystyle \, \ sinh a = a + O (a ^ {3})}![\, \ sinh a = a + O (a ^ 3)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/536432e40463a5a2062e8cd69b86c331b4f351b0)
,
kényelmesnál nél=1+nál nél2/2+O(nál nél3).{\ displaystyle \, \ cosh a = 1 + a ^ {2} / 2 + O (a ^ {3}).}
másodrendű kifejezések azonosításával.
A görbület állandó felületének általános képlete
A sík, a gömb és az álszféra képleteit egy csoportba sorolhatjuk:
kötözősalátaR(BVS)=kötözősalátaR(NÁL NÉLB)⋅kötözősalátaR(NÁL NÉLVS)+1R2bűnR(NÁL NÉLB)⋅bűnR(NÁL NÉLVS)⋅kötözősaláta(BNÁL NÉLVS^){\ displaystyle \ cos _ {R} (BC) = \ cos _ {R} (AB) \ cdot \ cos _ {R} (AC) + {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ sin _ {R} (AB) \ cdot \ sin _ {R} (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}![{\ displaystyle \ cos _ {R} (BC) = \ cos _ {R} (AB) \ cdot \ cos _ {R} (AC) + {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ sin _ {R} (AB) \ cdot \ sin _ {R} (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938f7a59ee869f69dfaf246efe85f9035abc99ad)
A éskötözősalátaR(x)=eénx/R+e-énx/R2=kötözősaláta(x/R){\ displaystyle \ cos _ {R} (x) = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x / R} + {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x / R}} {2}} = \ cos (x / R)}
bűnR(x)=eénx/R-e-énx/R2én/R=R⋅bűn(x/R){\ displaystyle \ sin _ {R} (x) = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x / R} - {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x / R}} {2i / R}} = R \ cdot \ sin (x / R)}
R jelentése egy komplex , pontosabban a görbületi sugara a felület.
Három eset lehetséges:
R real:
R sugarú gömbön vagyunk , a görbület állandó és egyenlő
1/R 2 ;
R tiszta képzelet: egy képzeletbeli
R = i R ' (
R' valós) sugarú pszeudoszférán vagyunk , az y görbület állandó és egyenlő
1/R 2 = -
1/R ' 2 ;
R végtelen: euklideszi síkon vagyunk, az ott lévő görbület állandó és egyenlő .
limR→∞1R2=0{\ displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {R ^ {2}}} = 0}![{\ displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {R ^ {2}}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e12068339b232d0936024c9635ab2226c64e270f)
Érvényesítés nem euklideszi geometriában
Az első két esetben cos R és sin R jól definiálható a komplex síkon a 0-tól eltérő R-re , és az eredmény azonnali.
Így az 1 sugarú gömb esetében:
kötözősaláta(BVS)=kötözősaláta(NÁL NÉLB)⋅kötözősaláta(NÁL NÉLVS)+bűn(NÁL NÉLB)⋅bűn(NÁL NÉLVS)⋅kötözősaláta(BNÁL NÉLVS^){\ displaystyle \ cos (BC) = \ cos (AB) \ cdot \ cos (AC) + \ sin (AB) \ cdot \ sin (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}![{\ displaystyle \ cos (BC) = \ cos (AB) \ cdot \ cos (AC) + \ sin (AB) \ cdot \ sin (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e9799ded10b0adc0160075a8b24a0166fa859c)
.
Hasonlóképpen, az i sugarú pszeudoszféra esetében :
kényelmes(BVS)=kényelmes(NÁL NÉLB)⋅kényelmes(NÁL NÉLVS)-sinh(NÁL NÉLB)⋅sinh(NÁL NÉLVS)⋅kötözősaláta(BNÁL NÉLVS^){\ displaystyle \ cosh (BC) = \ cosh (AB) \ cdot \ cosh (AC) - \ sinh (AB) \ cdot \ sinh (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}![{\ displaystyle \ cosh (BC) = \ cosh (AB) \ cdot \ cosh (AC) - \ sinh (AB) \ cdot \ sinh (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41eb50ad6e8c6a99c9781ac0382d5e2d23efc59e)
.
Valóban, cosh ( x ) = cos ( x / i) és sinh ( x ) = i sin ( x / i) .
Validálás az euklideszi geometriában
A harmadik esetben, az euklideszi sík esetében általánosíthatjuk a cos ∞ és a sin ∞ értéket, ha átlépünk a határig:
kötözősaláta∞(x)=limR→∞kötözősalátaR(x)=limR→∞kötözősaláta(x/R)=1{\ displaystyle \ cos _ {\ infty} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} \ cos _ {R} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} \ cos (x / R ) = 1}![{\ displaystyle \ cos _ {\ infty} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} \ cos _ {R} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} \ cos (x / R ) = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25f530feee782453a74c32dc940c187fe6d758f9)
és
bűn∞(x)=limR→∞bűnR(x)=limR→∞R⋅bűn(x/R)=x{\ displaystyle \ sin _ {\ infty} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} \ sin _ {R} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} R \ cdot \ sin ( x / R) = x}![{\ displaystyle \ sin _ {\ infty} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} \ sin _ {R} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} R \ cdot \ sin ( x / R) = x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f32d3b033bd9d18367b8b66da597e1047b84d9c)
.
Kevésbé könnyű megtalálni Al-Kashi képletét. Az egyszerű átültetés valóban az alábbiakat jelenti:
kötözősaláta∞(BVS)=1{\ displaystyle \ cos _ {\ infty} (BC) = 1}![{\ displaystyle \ cos _ {\ infty} (BC) = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c10177a7b6a499ca8f27c5c681f671045a520e6f)
,
kötözősalátaR(NÁL NÉLB)⋅kötözősalátaR(NÁL NÉLVS)=1×1=1{\ displaystyle \ cos _ {R} (AB) \ cdot \ cos _ {R} (AC) = 1 \ szer 1 = 1}![{\ displaystyle \ cos _ {R} (AB) \ cdot \ cos _ {R} (AC) = 1 \ szer 1 = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8943cbf0c8a3b21ad1c5540f9eaa6171769a3b3d)
,
bűn∞(NÁL NÉLB)⋅bűn∞(NÁL NÉLVS)⋅kötözősaláta(BNÁL NÉLVS^)=NÁL NÉLB⋅NÁL NÉLVS⋅kötözősaláta(BNÁL NÉLVS^){\ displaystyle \ sin _ {\ infty} (AB) \ cdot \ sin _ {\ infty} (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) = AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}![{\ displaystyle \ sin _ {\ infty} (AB) \ cdot \ sin _ {\ infty} (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) = AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbfeed445cc4377d242a6526b4b49bab96867e7a)
,
és
limR→∞1R2NÁL NÉLB⋅NÁL NÉLVS⋅kötözősaláta(BNÁL NÉLVS^)=0{\ displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {R ^ {2}}} AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) = 0}![{\ displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {R ^ {2}}} AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d63c102f474986d13650c50e9e4c68d67d65f220)
.
Az Al-Kashi képletének megtalálásához korlátozott fejlődésen kell átmenni :
kötözősalátaR(x)=kötözősaláta(x/R)=1-12⋅x2R2+o(1R2){\ displaystyle \ cos _ {R} (x) = \ cos (x / R) = 1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {x ^ {2}} {R ^ {2 }}} + o {\ bigg (} {\ frac {1} {R ^ {2}}} {\ bigg)}}![{\ displaystyle \ cos _ {R} (x) = \ cos (x / R) = 1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {x ^ {2}} {R ^ {2 }}} + o {\ bigg (} {\ frac {1} {R ^ {2}}} {\ bigg)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5acdd7321abbf294a51c153992eee7b3b3610c6)
és
bűnR(x)=R⋅bűn(x/R)=x+o(1R2){\ displaystyle \ sin _ {R} (x) = R \ cdot \ sin (x / R) = x + o {\ bigg (} {\ frac {1} {R ^ {2}}} {\ bigg) }}![{\ displaystyle \ sin _ {R} (x) = R \ cdot \ sin (x / R) = x + o {\ bigg (} {\ frac {1} {R ^ {2}}} {\ bigg) }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b0f477aa2d70a86b06342e0ab4679a873e0e55)
.
Az R véges képletének alkalmazásával így kapjuk:
1-12⋅BVS2R2+o(1R2){\ displaystyle 1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {BC ^ {2}} {R ^ {2}}} + o \ bal ({\ frac {1} {R ^ { 2}}} \ jobbra)}
=(1-12⋅NÁL NÉLB2R2+o(1R2))⋅(1-12⋅NÁL NÉLVS2R2+o(1R2))+1R2(NÁL NÉLB+o(1R2))⋅(NÁL NÉLVS+o(1R2))⋅kötözősaláta(BNÁL NÉLVS^){\ displaystyle = \ left (1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AB ^ {2}} {R ^ {2}}} + o \ left ({\ frac {1} {R ^ {2}}} \ jobb) \ jobb) \ cdot \ bal (1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AC ^ {2}} {R ^ {2}} } + o \ bal ({\ frac {1} {R ^ {2}}} \ jobb) \ jobb) + {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ bal (AB + o \ bal ( {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ right) \ right) \ cdot \ left (AC + o \ left ({\ frac {1} {R ^ {2}}} \ right) \ right ) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}![{\ displaystyle = \ left (1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AB ^ {2}} {R ^ {2}}} + o \ left ({\ frac {1} {R ^ {2}}} \ jobb) \ jobb) \ cdot \ bal (1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AC ^ {2}} {R ^ {2}} } + o \ bal ({\ frac {1} {R ^ {2}}} \ jobb) \ jobb) + {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ bal (AB + o \ bal ( {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ right) \ right) \ cdot \ left (AC + o \ left ({\ frac {1} {R ^ {2}}} \ right) \ right ) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acff0cf5f5a25b40587011caf468665a2d58944)
Ami a következőket adja:
1-12⋅BVS2R2=1-12⋅NÁL NÉLB2R2-12⋅NÁL NÉLVS2R2+1R2⋅NÁL NÉLB⋅NÁL NÉLVS⋅kötözősaláta(BNÁL NÉLVS^)+o(1R2){\ displaystyle 1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {BC ^ {2}} {R ^ {2}}} = 1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AB ^ {2}} {R ^ {2}}} - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AC ^ {2}} {R ^ {2}}} + {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ cdot AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) + o {\ bigg (} {\ frac {1} {R ^ { 2}}} {\ bigg)}}![{\ displaystyle 1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {BC ^ {2}} {R ^ {2}}} = 1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AB ^ {2}} {R ^ {2}}} - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AC ^ {2}} {R ^ {2}}} + {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ cdot AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) + o {\ bigg (} {\ frac {1} {R ^ { 2}}} {\ bigg)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3f1ab28852a7544aa10bd415cd21c4ea0c8583)
Ezután kissé leegyszerűsítve és szorozva –2 R 2 -vel mindkét oldalon:
BVS2=NÁL NÉLB2+NÁL NÉLVS2-2⋅NÁL NÉLB⋅NÁL NÉLVS⋅kötözősaláta(BNÁL NÉLVS^)+o(1){\ displaystyle BC ^ {2} = AB ^ {2} + AC ^ {2} -2 \ cdot AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) + o (1)}![{\ displaystyle BC ^ {2} = AB ^ {2} + AC ^ {2} -2 \ cdot AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) + o (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc35a65dedb3543d463d5b45cc56c87025a6c4de)
Ez adja meg a várt képletet, amikor R a végtelenbe hajlik.
Általánosítás az euklideszi térre
Az euklideszi tér tetraéderét A 1 A 2 A 3 A 4 vesszük figyelembe . A szemben lévő 10. ábra a tetraéder csúcsaira, széleire és szögeire vonatkozó jelöléseket mutatja be:
-
Sk{\ displaystyle \ mathrm {S} _ {k}}
a teteje szemközti arc ;NÁL NÉLk {\ displaystyle \ mathrm {A} _ {k} \}![\ mathrm A_k \](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e91325ff8003c12eccf8e9cf7262f04f6602ae9)
-
sk{\ displaystyle s_ {k}}
felülete ;Sk {\ displaystyle \ mathrm {S} _ {k} \}![\ mathrm S_k \](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54926b80239e1fa922d4c11dee760cf18ba474c)
-
Δk{\ displaystyle \ Delta _ {k}}
a sík , amelybe merül;Sk {\ displaystyle \ mathrm {S} _ {k} \}![\ mathrm S_k \](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54926b80239e1fa922d4c11dee760cf18ba474c)
-
θénj{\ displaystyle \ theta _ {ij}}
a kétágú szög .(Δén,Δj){\ displaystyle (\ Delta _ {i}, \ Delta _ {j})}![(\ Delta_i, \ Delta_j)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc50ed1ee8a7898e6a38acaae2b283ffd4fee7e)
Ezután a felületek és a szögek ellenőrzik:
s42=s12+s22+s32-2s1s2kötözősalátaθ12.-2s1s3kötözősalátaθ13.-2s2s3kötözősalátaθ23..{\ displaystyle s_ {4} ^ {2} = s_ {1} ^ {2} + s_ {2} ^ {2} + s_ {3} ^ {2} -2s_ {1} s_ {2} \ cos \ theta _ {12} -2s_ {1} s_ {3} \ cos \ theta _ {13} -2s_ {2} s_ {3} \ cos \ theta _ {23}. \,}
Megjegyzések és hivatkozások
-
Az úgynevezett Al Kashi formula , amelyet a skaláris szorzat alkalmazásának tekintenek, 2010-ig kifejezetten jelen volt a francia oktatás első S matematikai programjaiban (lásd BO 2000. augusztus 31-én ). Csak implicit módon jelenik meg a 2010-es programban , a „skaláris szorzat alkalmazásai: szögek és hosszúságok számítása” között : vö. például J.-D. Picchiottino, D. Girard és A. Meyer, Maths 1 re S , Hatier ,2013( online olvasható ) , p. 323.
-
Pascal Honvault, A síkgeometria lehetséges megközelítése , Publibook ,2004( online olvasható ) , p. 41.
-
" Pitagorasz és tétele - 3.2. Kölcsönös ” , az IUT on-line .
-
Euklidész művei, ford. F. Peyrard, Párizs (1819), nád. Blanchard (1993). További kiadásokért lásd az Elements című cikk bibliográfiáját .
-
Youssef Guergour, " Zaragoza királya Al-Mutaman Ibn Hud és a Pitagorasz-tétel: forrásai és kiterjesztései ", LLULL , t . 28,2005, P. 415-434 ( ISSN 0210-8615 , online olvasás )( 432. o. ).
-
Denis Henrion (ford.), Az Euklidész geometriai elemeinek tizenöt könyve , 1632, p. 99-104 .
-
szerint Guergour 2005 , a bizonyítás megtalálható Kashi (al) (1967): Miftam al-misab [Key to aritmetikai], al-Damardache, AS & al-Manfi al-Shikh, MM (Edit.), Le Kairó, Dar al-Kitab al-cArabi li at-tibaqa wa an-Nashr, p. 130-138 .
-
Lásd ezt.
-
Például, lásd (a) Roger B. Nelsen igazolásokat nélkül szavak II: További gyakorlatok Visual gondolkodás , MAA ,2000, P. 9., és általánosabban: " Bizonyítás szavak nélkül ".
-
Gellert és mtsai. 1980 , c. 11–2 ., 265 .
-
(La) N. Copernicus, De revolutionibus orbium coelestium , I. könyv, fej. XII, VII . Bek., P. 20 és p. 21 , ill.
-
(in) David Eugene Smith , Forráskönyv a matematikában , vol. 1. ( online olvasás ) , p. 435.
-
Op. Cit. , P. 17-20 , előnézet a Google Könyvekben .
-
(de) Anton von Braunmühl , Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie ,1900( online olvasható ) , p. 53, 1. megjegyzés.
-
von Braunmühl 1900 , p. 131. és azt követő .
-
(in) Tony Phillips, „ A valódi története koszinusztétel ” a Stony Brook Egyetem ,2006.
-
Lásd a " Gömb alakú trigonometria " cikket , és a cikktől eltérő bemutatót, például David Madore térképészeti "tanfolyamát" .
-
Georges Dostor, A determinánsok elméletének elemei: algebra, trigonometria és analitikai geometria alkalmazásával a síkban és a térben, speciális matematikaórák használatához , Párizs, Gauthier-Villars ,1877, 352 p. ( online olvasható ) , pp. 251-252
-
(in) JR Lee, " A koszinusztétel a tetraéder " , J. Korea Soc. Math. Ed. Ser. B: Tiszta appl. Math. , vol. 4,1997, P. 1-6Idézi (in) Eric W. Weisstein : " A koszinuszok törvénye " a MathWorld- on .
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
Ptolemaiosz tétele
Külső hivatkozás
(en) A. Bogomolny, „ A koszinuszok törvénye (koszinusz-szabály) ” , a csomó vágásán
Bibliográfia
- N. Efimov, Superior geometry , Moszkva, Mir kiadások , 1981
- W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich és H. Kästner ( németből fordította kollektíva, Jacques-Louis Lions irányításával ), Petite matematika-enciklopédia [“ Kleine Enzyklopädie der Mathematik ”], Párizs, K. Pagoulatos / Didier ,1980, 896 p. ( ISBN 978-2-278-03526-7 )
-
Antoine Arnauld , A geometria új elemei , Párizs, Charles Savreux, 1667 , p. 295-296 (hatodik tétel)
- A. Amiot, elemei geometria , Párizsban, Delagrave , 14 th ed., 1870 , p. 109-111
- Paul-Louis Cirodde, geometria órák , Paris, Hachette , 3 e ed., 1858 , p. 111-112 (XI. Tétel)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">