Terv (matematika)

A tetőtétel kimondja, hogy ha az egyik sík vonala párhuzamos egy másik sík egyenesével, amely az elsőtől elszakad, akkor ezek a vonalak párhuzamosak a két sík metszéspontjával.

Három síkban, amelyek kettőt metszenek, metszésvonala van, amelyek szükségszerűen párhuzamosak vagy egyidejűek.

Szög

Az euklideszi háromdimenziós térben a skaláris szorzat lehetővé teszi két nem nulla vektor közötti szög meghatározását . Egy sík két nem kollináris vektorát figyelembe véve a kereszttermék megmutatja a síkra normális vektornak minősített és (és ezért a sík két pontját összekötő bármely más vektorhoz) merőleges vektor létezését . Ez a vektor a skalárral való szorzásig egyedülálló. u→,v→{\ displaystyle {\ vec {u}}, {\ vec {v}}}nem→{\ displaystyle {\ vec {n}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}

Két metsző sík határolja a dihedrát, amelynek szöge a nulla és a lapos szög között változik, és amely megfelel a normál vektoraik szögének. Ha ezek a normál vektorok önmagukban is merőlegesek, akkor a síkokat merőlegesnek mondják. Nem mondhatók, hogy ortogonálisak, mert vannak nullától eltérő vektorok, amelyek mind az egyikben, mind a másikban képviseltetik magukat (például két szekutáns sík esetén a kereszteződésüket irányító vektorok).

Távolság

Két sík, vagy egy sík és egyenes közötti távolság az egyik és a másik pontja közötti minimális távolság. Ez a minimum 0, ha a két halmaz nem üres kereszteződésű, és egyébként a két halmazra merőleges szegmensek mentén érhető el.

Használ

Két változó kapcsolatának ábrázolása

A terv támogatja a vizuális ábrázolást, és lehetővé teszi két numerikus változó közötti kapcsolat értékelését .

Ha minden érték az első változó azt csak egy értéket (legfeljebb) a második, a kapcsolatban azt mondják, hogy a funkcionális , és a grafikon az összefüggésben egy görbe képviselője a funkciót .

Amikor a két változót statisztikai minta írja le , a kapcsolatot egy szóródiagram ábrázolja .

Amikor a két változó önmagában egy harmadik változó, különösen egy időbeli változó függvénye, kapcsolatukat egy pálya szemlélteti, amelyet valószínűleg differenciálegyenlettel kapunk. Különösen a mennyiség evolúciója és az időszármazéka közötti összefüggések vizsgálata idézi elő a fázisportré ábrázolását .

Szimmetria

A szimmetria (ortogonális) képest síkban P egy geometriai transzformációt , amely bármely ponton M a sík társítja az egyedi pont M „ úgy, hogy a szegmens [ M M” ] jelentése síkjára merőleges annak közepén .

Két szimmetria összetétele két szekundáns síkhoz viszonyítva egy metszésvonaluk körüli elfordulás, amelynek szöge kétszerese a kétszögű szögnek.

A két szimmetria összetétele két párhuzamos sík vonatkozásában a két síkra normális vektor és a síkok közötti távolság kétszeresének a fordítása.

Az ilyen szimmetria a kétoldalú állatfajokra jellemző .

Kivetítés

A nyúlvány (affin) egy párhuzamos síkban egy egyenes vonal a szekáns a síkra, egy geometriai transzformációt, amely társult az egyes pontokhoz M egyetlen metszéspontja közötti sík és párhuzamos d keresztül M . Ha a vonal merőleges a síkra, akkor merőleges vetületről beszélünk .

Egy ilyen vetület idealizálja az árnyék jelenségét a sík tartóján a végtelen megvilágítás esetén (ami jó közelítés a Nap megvilágításához). A finomított síkbeli vetület a kavaler perspektívában is reprezentálja az ábrázolást . Nagyobb dimenziókban is használják az adatfelhő vizualizálására, különösen a fő komponens elemzés segítségével .

Szakasz

Egy űrfigurának egy sík metszete egyszerűen az ábra metszéspontja egy síkkal. Ez a felfogás lehetővé teszi matematikai vagy konkrét struktúrák vizualizálását, például az építészetben , a fizikában, a kémia és a biológia területén, különösen háromdimenziós szkenner használatával .

A képviselet változása

Affin keretek között

Hilbert incidencia axiómái egy sík különböző jellemzéseit emelik ki egy affin térben. Csak egy terv van:

• három kiegyenlítetlen pontot tartalmaz;
• tartalmaz egy vonalat és egy pontot, amely nem tartozik ehhez a vonalhoz;
• két metsző vonalat tartalmaz;
• két egyenes vonal, amelyek nem összetévesztettek és párhuzamosak.

Az első jellemzés lehetővé teszi az alábbiak mindegyikének egyszerű megszerzését, és fordítva.

Három nem igazított A , B , C pontból meghatározhatunk egy koordinátarendszert . Ezzel szemben bármilyen referenciajel írható ebben a formában. (NÁL NÉL,NÁL NÉLB→,NÁL NÉLVS→){\ displaystyle (A, {\ overrightarrow {AB}}, {\ overrightarrow {AC}})}

A sík koordinátarendszerét kapva az alak paraméteres ábrázolását kapjuk . A 3. dimenzióban, ha jelöljük , és a paraméteres egyenleteket kapjuk a . Ezzel szemben bármely affin paraméteres reprezentáció lehetővé teszi a kiindulási pont (a paraméterek törlésével) és a két irányvektor (a paraméterek tényezői mind a három egyenletben) koordinátáinak megtalálását. (NÁL NÉL,u→,v→){\ displaystyle (A, {\ vec {u}}, {\ vec {v}})}OM→=λu→+μv→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = \ lambda {\ vec {u}} + \ mu {\ vec {v}}}NÁL NÉL(nál nél1,nál nél2,nál nél3){\ displaystyle A (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}u→=(u1,u2,u3){\ displaystyle {\ vec {u}} = (u_ {1}, u_ {2}, u_ {3})}v→=(v1,v2,v3){\ displaystyle {\ vec {v}} = (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3})}{x=nál nél1+λu1+μv1y=nál nél2+λu2+μv2z=nál nél3+λu3+μv3{\ displaystyle {\ begin {cases} x = a_ {1} + \ lambda u_ {1} + \ mu v_ {1} \\ y = a_ {2} + \ lambda u_ {2} + \ mu v_ {2 } \\ z = a_ {3} + \ lambda u_ {3} + \ mu v_ {3} \ vége {esetek}}}(λ,μ)∈R2{\ displaystyle (\ lambda, \ mu) \ in \ mathbb {R} ^ {2}}

Végül egy referencia sík a térben és generikus pont , társulása a lényeg, hogy a gépet az jellemzi, hogy töröljék el a kevert termék vektorok , , amely méri az alapértelmezett coplanarity. (NÁL NÉL,u→,v→){\ displaystyle (A, {\ vec {u}}, {\ vec {v}})}M(x,y,z){\ displaystyle M (x, y, z)}NÁL NÉLM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AM}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}

0=[u→,v→,NÁL NÉLM→]=[u→,v→,OM→]-[u→,v→,ONÁL NÉL→]{\ displaystyle 0 = [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ overrightarrow {AM}}] = [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ overrightarrow {OM}}] - [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ overrightarrow {OA}}]}

[u→,v→,OM→]=|u1v1xu2v2yu3v3z|=(u2v3-u3v2)⏟nál nélx+(u3v1-u1v3)⏟by+(u1v2-u2v1)⏟vs.z{\ displaystyle [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ overrightarrow {OM}}] = {\ begin {vmatrix} u_ {1} && v_ {1} && x \\ u_ { 2} && v_ {2} && y \\ u_ {3} && v_ {3} && z \ end {vmatrix}} = \ underbrace {(u_ {2} v_ {3} -u_ {3} v_ {2} )} _ {a} x + \ underbrace {(u_ {3} v_ {1} -u_ {1} v_ {3})} _ {b} y + \ underbrace {(u_ {1} v_ {2} - u_ {2} v_ {1})} _ {c} z}

-[u→,v→,ONÁL NÉL→]=-(nál nélnál nél1+bnál nél2+vs.nál nél3)⏟d.{\ displaystyle - [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ overrightarrow {OA}}] = \ underbrace {- (aa_ {1} + ba_ {2} + ca_ {3}) } _ {d}.}

Ez a 4 megjegyzett tényező határozza meg a derékszögű egyenletet . nál nél,b,vs.,d{\ displaystyle a, b, c, d} nál nélx+by+vs.z+d=0{\ displaystyle ax + by + cz + d = 0}

Ezzel ellentétben a nem minden nullával írt derékszögű egyenletből választhatunk egy nyilvánvaló megoldási pontot (például egy nem nulla együtthatóhoz tartozó koordináta kiválasztásával, a másik két koordináta törlésével és az első fokozat egyenletének megoldásával. maradt), majd meghatározzuk a alapján a vektor alterét egyenlet az . nál nélx+by+vs.z+d=0{\ displaystyle ax + by + cz + d = 0}nál nél,b,vs.{\ displaystyle a, b, c} (u→,v→){\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {v}})}nál nélx+by+vs.z=0{\ displaystyle ax + by + cz = 0}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

Háromdimenziós euklideszi keretben

A következő jellemzések a távolság és a szög (különösen az ortogonalitás ) fogalmain alapulnak, amelyek a klasszikus geometria térbeli euklideszi térszerkezetéből származnak.

Adott egy pont egy és nem nulla vektor , van egy egyedülálló átmenő sík A és merőleges , az úgynevezett normális vektor .nem→{\ displaystyle {\ vec {n}}}nem→{\ displaystyle {\ vec {n}}}

A síknak ezt a jellemzését nagyon könnyen meg lehet szerezni a sík koordinátarendszeréből , a kereszttermék felhasználásával . (NÁL NÉL,u→,v→){\ displaystyle (A, {\ vec {u}}, {\ vec {v}})} nem→=u→∧v→{\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ vec {u}} \ ék {\ vec {v}}}

Ezzel szemben, ha egy pontot és egy normál vektort kapunk, könnyen megtalálhatjuk a derékszögű egyenletet . NÁL NÉL(xNÁL NÉL,yNÁL NÉL,zNÁL NÉL){\ displaystyle A (x_ {A}, y_ {A}, z_ {A})}nem→=(nál nél,b,vs.){\ displaystyle {\ vec {n}} = (a, b, c)}nál nél(x-xNÁL NÉL)+b(y-yNÁL NÉL)+vs.(z-zNÁL NÉL)=0{\ displaystyle a (x-x_ {A}) + b (y-y_ {A}) + c (z-z_ {A}) = 0}

Más jellemzések egy pont és egy normál vektor megválasztására vonatkoznak:

A tér két különálló A és B pontját figyelembe véve létezik egy egyedi sík, amely az A és B egyenlő távolságú pontjainak a helye , és amelyet az [ A B ] szakasz mediátor síkjának nevezünk .

Két diszjunkt és nem párhuzamos egyenes esetén egyetlen sík létezik, amely azonos távolságban van a két egyenes összes pontjától.

Adott egy pont egy és két sík a P és a P „amelyek nem párhuzamosak a térben, létezik egy egyetlen átmenő sík A és merőleges a P és a P” .

Vektor geometria

A sík a kommutatív mező fölötti vektortér 2-dimenziós altere . Ebben az esetben is beszélünk egy vektorsíkról. K{\ displaystyle \ mathbb {K}}

A síkot mindig két vektor generálja, és nem kollináris. Ilyen módon a sík vektora akkor és csak akkor, ha lineáris kombinációja és és együtthatókkal . Ha véges dimenziójú , akkor síkot is meghatározhatunk független lineáris formákkal, amelyek törlik a sík összes vektorát. Különösen érdekes, hogy rendelkezésre áll ez az utolsó jellemzés, ha például meg akarjuk határozni a sík és egy másik tárgy, például egy görbe vagy egy felület metszéspontjait. v{\ displaystyle v}w{\ displaystyle w}x{\ displaystyle x}v{\ displaystyle v}w{\ displaystyle w}K{\ displaystyle \ mathbb {K}}V{\ displaystyle V}nem{\ displaystyle n}nem-2{\ displaystyle n-2}

Analitikus megközelítés a 3. dimenzióban

Abban az esetben, ha a tér mérete 3, csak egy lineáris alak elegendő egy sík meghatározásához. Két vektor és a koordináták generálásának ismereteV{\ displaystyle V}v{\ displaystyle v}w{\ displaystyle w}

(v1v2v3)és(w1w2w3),{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \\ v_ {3} \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {és}} \ quad {\ begin {pmatrix} w_ { 1} \\ w_ {2} \\ w_ {3} \ end {pmatrix}},}

hasznos tudni, hogyan készítsünk lineáris alakot, amely megadja a sík egyenletét. A vegyes termék , és nulla, ha és csak akkor tartozik a sík által generált és . Ezt a vegyes terméket írták v{\ displaystyle v}w{\ displaystyle w}z{\ displaystyle z}z{\ displaystyle z}v{\ displaystyle v}w{\ displaystyle w}

[v,w,z]=(v×w)⋅z=z1(v2w3-v3w2)+z2(v3w1-v1w3)+z3(v1w2-v2w1).{\ displaystyle [v, w, z] = (v \ alkalommal w) \ cdot z = z_ {1} (v_ {2} w_ {3} -v_ {3} w_ {2}) + z_ {2} ( v_ {3} w_ {1} -v_ {1} w_ {3}) + z_ {3} (v_ {1} w_ {2} -v_ {2} w_ {1}).}

A kívánt lineáris alakot így kaptuk meg.

Ellenben, ha van egy síkot meghatározó lineáris alakunk, akkor könnyen találhatunk két vektort, amely ezt a síkot generálja a lineáris alakból. Van feltétlenül nem nulla együttható között , és . Tegyük fel, hogy ez az együttható az . Ezután a sík egyenletét alakban átírhatjuk z↦nál nél1z1+nál nél2z2+nál nél3z3{\ displaystyle z \ mapsto a_ {1} z_ {1} + a_ {2} z_ {2} + a_ {3} z_ {3}}nál nél1,nál nél2{\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}}nál nél3{\ displaystyle a_ {3}}nál nél2{\ displaystyle a_ {2}}

z2=-(nál nél1z1+nál nél3z3)/nál nél2.{\ displaystyle z_ {2} = - (a_ {1} z_ {1} + a_ {3} z_ {3}) / a_ {2}.}

Ezután helyettesítésével a pár független párok és , megkapjuk a két vektor (z1,z3){\ displaystyle (z_ {1}, z_ {3})}(1,0){\ displaystyle (1,0)}(0,1){\ displaystyle (0,1)}

(1-nál nél1/nál nél20)és(0-nál nél3/nál nél21),{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ - a_ {1} / a_ {2} \\ 0 \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {és}} \ quad {\ begin {pmatrix} 0 \ \ -a_ {3} / a_ {2} \\ 1 \ end {pmatrix}},}

amelyek szükségszerűen függetlenek, mivel a síkbeli vetületeik a tengelyükhöz képest független vektorok. z1,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {3}}z2{\ displaystyle z_ {2}}

Általánosítás magasabb dimenzióban

Tegyük fel, hogy egy dimenziós térben két vektor és független. Hogyan lehet megtalálni a sík egyenleteit megadó független lineáris formákat ? Ez annyit jelent, hogy a lineáris rendszer megoldási alapját keressük nem{\ displaystyle n}v{\ displaystyle v}w{\ displaystyle w}nem-2{\ displaystyle n-2}

∑én=1nemvénxén=0,∑én=1nemwénxén=0.{\ displaystyle {\ begin {aligned} & \ sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} x_ {i} = 0, \\ & \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ { i} x_ {i} = 0. \ vége {igazítva}}}

Ehhez jelöljük ki két mutatót , és úgy, hogy a párok és lineárisan függetlenek. Geometriai értelemben ez azt jelenti, hogy olyan koordinátsíkot választunk, amely ennek a síknak és ezen a síknak, az alterekkel párhuzamosan, vetületei függetlenek. Egy ilyen terv továbbra is fennáll, mivel és függetlenek. Miután ez megtörtént, átírjuk az előző rendszert az űrlapba o{\ displaystyle p}q{\ displaystyle q}(vo,vq){\ displaystyle (v_ {p}, v_ {q})}(wo,wq){\ displaystyle (w_ {p}, w_ {q})}v{\ displaystyle v}w{\ displaystyle w}{z:zo=zq=0}{\ displaystyle \ {z: z_ {p} = z_ {q} = 0 \}}v{\ displaystyle v}w{\ displaystyle w}

voxo+vqxq=-∑én≠o,qvénxén,woxo+wqxq=-∑én≠o,qwénxén.{\ displaystyle {\ begin {aligned} v_ {p} x_ {p} + v_ {q} x_ {q} & = - \ sum _ {i \ neq p, q} v_ {i} x_ {i}, \ \ w_ {p} x_ {p} + w_ {q} x_ {q} & = - \ sum _ {i \ neq p, q} w_ {i} x_ {i}. \ end {igazított}}}

Ennek a lineáris rendszernek a megoldását a klasszikus módszerekkel kapjuk meg. Ahhoz, hogy a alapján az oldat tér, akkor elegendő, hogy helyettesítse az szekvenciáját elemek az elemek a kanonikus alapján a vektor tér , azaz a nem-2{\ displaystyle n-2}(xén)én≠o,q{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ neq p, q}}Knem-2{\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n-2}}

(1,0,0,...,0),(0,1,0,...,0),(0,0,1,...,0),...,(0,0,0,...,1){\ displaystyle (1,0,0, \ dots, 0), (0,1,0, \ dots, 0), (0,0,1, \ dots, 0), \ dots, (0,0, 0, \ pont, 1)}

Ezzel szemben, független lineáris alakok alapján , két független vektort találunk a pontok halmazaként definiált síkban, ahol ezek a lineáris alakok kioltják egymást, alapot keresve a rendszer megoldási halmazának. A gyakorlatban a folytatásként a rendszer mátrixát lépcsőzetes formába kell helyezni , az oszlopokon található lehetséges permutációk segítségével. Ami a rangot illeti , ez az algoritmus változókat fog adni ahhoz képest, hogy melyiket oldja meg, és két független változót, amelyeket a második tagba kell tenni. A felbontás ekkor gyors. A változók indexeinek kimutatásához feltétlenül kerülni kell a Cramer-képleteket , amelyek vonatkozásában megoldjuk: szükséges lenne meghatározni a determinánsokat , egy teljes sorrendű műveletszámra , ha a determinánsokat Gauss-Jordan segítségével számoljuk. algoritmus , míg a lépésenkénti lépés lehetővé teszi számos művelet megkötését . nem-2{\ displaystyle n-2}ℓj{\ displaystyle \ ell _ {j}}ℓ1(z)=0,ℓ2(z)=0,...,ℓnem-2(z)=0.{\ displaystyle \ ell _ {1} (z) = 0, \ ell _ {2} (z) = 0, \ pontok, \ ell _ {n-2} (z) = 0.}L{\ displaystyle L}M{\ displaystyle M}nem-2{\ displaystyle n-2}nem-2{\ displaystyle n-2}nem(nem-1)/2{\ displaystyle n (n-1) / 2}(nem-2)×(nem-2){\ displaystyle (n-2) \ szor (n-2)}nem4{\ displaystyle n ^ {4}}nem3{\ displaystyle n ^ {3}}

Megjegyzések és hivatkozások

1. Stella Baruk, „Terv” az Elemi Matematika Szótárában , Éditions du Seuil, Párizs 1995.
2. Geometria - történelem és ismeretelmélet, 27. fejezet: ideális tárgyak kidolgozása a Culturemath.ens.fr oldalon
3. Thomas Hausberger, "  Történelmi és ismeretelméleti tereptárgyak a nem euklideszi geometriákon  " , Irem de Montpellier - Matematika és filozófia csoport,2015
4. Euclid, Elements , 1. könyv , 5. meghatározás
5. D. Henrion, A tizenöt könyv geometriai elemei Euclid: plusz a könyv az azonos Euclid is lefordították francia az említett Henrion, és nyomtatott élete során , Premier könyv meghatározása 7 .
6. Adrien Marie Legendre, A geometria elemei - első könyv. 1840. évi 5. és 6. meghatározás
7. Gyűjtemény (rendező: W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner) ( fordítás  Jacques-Louis Lions, a College de France professzorának irányításával), Kis matematikai enciklopédia [„Kleine Enzyklopädie der Mathematik »], Párizs, Didier ,1997( 1 st  ed. 1980), 896  p. ( ISBN  978-2-278-03526-7 ) , p.  201.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Vonalak és síkok metrikus tulajdonságai
• Hyperplane
• Vektor tér

Külső linkek

• Adrien Javary , Traktausz a leíró geometriáról , 1881 (a Gallica- on ): Az egyenes, a sík, a poliéder
• Számtani feladatok és síkgeometria megoldása (arab kézirat, XV .  Század)