Affin sík (incidencia szerkezet)

A geometria axiomatikus megközelítésében meg lehet határozni a síkot az incidencia struktúrájaként , vagyis a primitív tárgyak, pontok és vonalak (amelyek e pontok bizonyos halmazai ) és egy incidencia néven ismert reláció nullapontjaként. pont és egyenes között (amely a pont tagságának a vonalhoz való viszonya ). Az affin sík tehát egy olyan szerkezet, amely kielégíti az incidencia axiómáit  :

• két különálló A és B pont egy egyenesbe esik (megjegyzés ( AB ));
• legalább három nem beeső pont van ugyanazon a vonalon (más szavakkal: három nem igazított pont);
• minden jog a bármely pontja és egy nem esemény , hogy van egy jobb a beeső A úgy, hogy nem pont az az eset, hogy a két fél a és a (azaz a jobb a módját A és diszjunkt a d ).

Az is lehetséges, hogy az affin síkot a testen a 2. dimenzió affin terének definiálja . A test bármely affin síkja, mint a szokásos valódi affin sík , affin sík, mint incidencia szerkezete, abban az értelemben, hogy pontjai és vonalai, valamint egy pont tagságának egy vonalhoz való viszonya kielégíti az incidencia axiómáit . De ez a két definíció nem esik egybe: ehhez további axiómára, Desargues axiómára van szükség (lásd affin argentin tervet ). Az affin síkokat, amelyek így kielégítik az incidencia axiómáit, de nem elégítik ki a Desargues axiómáit, állítólag nem argszeusok .

Párhuzamosság

Ebben a megközelítésben két vonal párhuzamosnak mondható, ha egyenlőek vagy szét vannak választva. A két egymástól elkülönülő pont egyedisége azt jelenti, hogy két nem párhuzamos vonalnak csak egy közös pontja van. Ezért a következő kettősségünk van:

• vagy két vonal párhuzamos;
• vagy egyetlen pontban keresztezik egymást.

A harmadik axiómát az adott vonallal egy adott ponton áthaladó párhuzam megléte és egyedisége alakítja át (ideértve azt is, ha a pont a vonalhoz tartozik, a fenti dichotómiának megfelelően).

A párhuzamosság ekvivalencia összefüggés  : a reflexivitás és a szimmetria nyilvánvaló, a transzitivitás pedig az alábbiak szerint mutatható ki. Legyen d , d ' és d' három olyan vonal , hogy d párhuzamos legyen d '-vel és d' párhuzamos legyen d '' -vel . Ha d és d '' diszjunkt, akkor párhuzamosak. Ha, ellenkezőleg, hogy van egy közös pont egy , akkor két párhuzamot d áthaladó A úgyhogy (az egyediségét egy ilyen párhuzamos) ezért egyenlő, ott is, párhuzamos.

Fogjuk hívni irányban a ekvivalencia osztályok ezt a viszonyt. A vonal iránya tehát az összes vele haladó egyenes halmaza.

Affin sík sorrendje

Egy affin síkon, összes vonal és a minden irányban van azonos számú elemet , és ez a szám a Q (véges vagy végtelen) értéke legalább 2. Ezt nevezik a sorrendben a síkban.

Demonstráció

Bármely vonal d , bármilyen irányban a D eltér d van bijekciót a d . Sőt, az alkalmazás minden jogot D ötvözi egyedülálló közös d van az inverz bijekciót az alkalmazás bármely pontján egy a d egyesíti a különleges jogot D keresztül egy .

Van azonban legalább három irány (valóban, a második axióma szerint három nem egyenes vonalú A , B , C pont van , majd az ( AB ), ( BC ) és ( CA ) egyenesek három külön irányt határoznak meg). Ezért minden egyenesnek és minden iránynak azonos az elemszáma, és - az első két axióma szerint - ez a szám legalább 2.

Egy affin síknak legalább négy egyenes nélküli három-három pontja van.

Demonstráció

Valójában (a második axióma szerint) három A , B , C pont van, amelyek nincsenek egymáshoz igazítva. A harmadik axióma, akár az a párhuzamos ( AB ) áthaladó C . Különbözik az ( AB ) -től, ezért elszakad tőle. A fenti tulajdonság szerint azonban a C- től eltérő D pontot kell tartalmazni . Ebből az következik, hogy az A , B , C és D pont kettőtől kettőig különbözik, és három-három pont nincs egymáshoz igazítva.

Pontosabban: q rendű affin síkban minden egyes pont q + 1 egyeneshez tartozik, tehát az irányok száma q + 1, a vonalak száma q ( q + 1), és vannak q 2 pontok. (Ha q végtelen, akkor ezek a számok egyenlőek.)

Tágulások

Az affin sík tágulása önmagában a pontok halmazának alkalmazása, amely bármely vonalat párhuzamos vonalban küldi, vagyis olyat, hogy:

az A ' és a B' kép minden különálló A és B pontja esetében a B ' pont az A' -n áthaladó ( AB ) párhuzamhoz tartozik .

Tétel  - 

1. Az expanziós teljesen határozza meg a képek két különböző pontban, vagyis, hogy mivel négy pont egy , B , A „ és B” az A ≠ B , van legfeljebb egy expanzió küld A a A ' és B a B '-n .
2. A tágulás vagy degenerált (vagyis állandó ), vagy bijektív .

Demonstráció

1. Mutassuk meg, hogy bármely M pont M ' képét teljes egészében A' és B ' adatai határozzák meg .
   1. Ha M nincs bekapcsolva ( AB ), akkor ( AM ) és ( BM ) nem párhuzamosak. A lényeg M „ kell lennie, mind a párhuzamos a ( AM ) áthaladó A” és a párhuzamos ( BM ) áthaladó B " , amely meghatározza, hogy mivel ezek a két vonal nem párhuzamosak.
   2. Ha M be van kapcsolva ( AB ), válasszon egy nem beeső N pontot ( AB ). Az 1.1. Pont szerint meghatározzuk N ' képét . Az M pont ezért nincs bekapcsolva ( AN ) - ismét az 1.1 szerint. azonban a B és B „ a N és N” - M ' teljesen meghatározható.
2. Vegyünk egy nem állandó bővülést. Az 1. pont szerint injekciós . Mutassuk meg, hogy az is szürjektív . Legyen A , B , A ' és B' a fentiek szerint - ami azt jelenti, hogy A ' és B' különböznek egymástól, és hogy ( A'B ' ) párhuzamos az ( AB ) ponttal - és M' bármely ponttal, amelyből Ön rendelkezik hogy történelmet építsen.
   1. Ha M „ nincs jelen ( A'B” ), akkor a párhuzamos α ( A'M „ ) áthaladó A , és párhuzamos az β ( B'M” ) áthaladó B pedig egy pontban találkozik M . Ez a pont nem tartozhat ( AB ) -hoz, mert különben ( AB ) találkozna α-val A-ban és M-ben, és β-vel találkozna B-ben és M-ben , ezért egyenlő lenne α-val vagy β-val, ami lehetetlen, mivel n ' párhuzamos sem az ( A'M ' ), sem a ( B'M' ). Szerint 1,1, a kép M jelentése M ' .
   2. Ha M 'be van kapcsolva ( A'B' ), válasszon egy nem beeső N ' pontot ( A'B' ). A 2.1. Szerint N ' egy N előzményt ismer be - ismét a 2.1 szerint. de helyettesítésével B és B „ által N és N” - M ' elismeri előzményeként.

Nem degenerált dilatáció esetén bármely vonal képe párhuzamos vonal, és a vonalak halmazának indukált térképe önmagában bijektív.

Homotheties és fordítások

A fenti egyediségi tétel szerint az identitáson kívüli dilatációnak legfeljebb egy rögzített pontja van . Ha van, akkor azt mondjuk, hogy ez egy homotetikus helyzet e pont középpontjával; ha nincs, akkor fordításnak nevezzük . Az identitás homotetikának (tetszőleges központ) és fordításnak egyaránt tekinthető. A folytatásban csak a nem degenerált dilatációkat vesszük figyelembe, amelyeket homotetikus fordításoknak nevezünk.

A h átalakítás jellege abban az esetben határozható meg, amikor a négy A , B , h ( A ) és h ( B ) pont nem ugyanazon az egyenesen áll. Ez a feltételezés azt jelenti, hogy h ( A ) ≠ A és h ( B ) ≠ B , és hogy az ( Ah ( A )) és ( Bh ( B )) egyenesek megkülönböztethetők. Ezért ezek:

• vagy másképp szekundál az O pontban , és ebben az esetben h az O középponttal rendelkező homotétia  ;
• vagy pedig szigorúan párhuzamos, és ebben az esetben h jelentése fordítás.

Az előző eredmény javítható, ha eleve ismerjük a homotetikus fordítás természetét:

• a fordítást teljes egészében az A pont B képe határozza meg  :ha M ∉ ( AB ), akkor h ( M ) az M-n áthaladó ( AB ) párhuzam és a B-n áthaladó ( AM ) párhuzam metszéspontja  ; az N ∈ ( AB ) pont képét egy M ∉ ( AB ) pont segítségével határozzuk meg ;
• a homotétiát teljes egészében az O középpontja és az A ≠ O pont h ( A ) képe határozza meg  :ha M ∉ ( OA ), majd H ( M ) van a metszéspont a vonal ( OM ), és a párhuzamos ( AM ) áthaladó h ( A ); a B ∈ ( OA ) pont képét egy M ∉ ( OA ) ponton keresztül határozzuk meg .

Meghatározzuk a t ≠ id fordítás irányát az ( At ( A )) -val párhuzamos vonalak halmazaként , ahol A tetszőleges pont. Az identitás bármely irányzat fordításának tekinthető.

Fogalmazás

A homotetikus fordítások egy G csoportot alkotnak a kompozícióhoz . Valóban, önmagukban alkothatnak egy alcsoportot a pontok halmazának bijekcióinak csoportjából , hiszen ha két ilyen bijekció dilatáció, akkor azok összetettjei és reciprokaik is . Minden pont O , a központ a tágítást O alkotnak alcsoportja G .

Fordítása alkotnak normális részcsoport a G , és így nem fordítások egy adott irányba.

Demonstráció

• A fordítások egy alcsoportot alkotnak:
  • bármely bijekciót t , a kölcsönös t -1 ugyanolyan fix pontot, t tehát annyi, ezért a kölcsönös Egy fordítási fordítása;
  • minden fordítások t és t „a vegyület homothety-transzlációs t ∘ t” egy fordítási, mert ha rögzíti egy pont O , majd t ' és a t -1 , fordítások elküld O , hogy ugyanarra a pontra, egyenlő, és t ∘ t ' az azonosság.
• A d irány fordításai alcsoportot alkotnak:
  • a fordítás reciproka azonos irányú fordítás;
  • ha t és t „ jelentése az irányba d , majd t ∘ t” azért is, mert (a tetszőleges A ) a két pont A és T ( t „ ( A )) van a vonal irányába d amely keresztülhalad t” ( A ).
• A konjugátum t „= H ∘ t ∘ h -1 egy transzlációs t egy homothety-transzlációs h a fordítás, mert ha ez rögzíti egy pont O , akkor a fordítási t , rögzítő h -1 ( O ), az identitás tehát t '= h ∘id∘ h −1 = id.
• Továbbá, ha a T ≠ id majd t ' azonos irányba, mint t  : ha h küld A a B , majd ( Bt' ( B )) = ( h ( A ) ( h ∘ t ) ( A )) párhuzamos ( At ( A )).

Kapcsolat a vetítő síkokkal

Bármely projektív sík lehet érjük el, hogy egy affin síkon egy vonal a végtelenben , minden egyes pontja az, amely a pont a végtelenben , hogy mi hozzá az összes egyenes vonalak affin az azonos irányba. Ez projektív sík lesz q 2 + q + 1 pont, és annyi projektív vonalak , mindegyik sor tartalmazza q + 1 pontot és minden pontot tartozó q + 1 sort. Ezzel szemben egy vetítősíkból egy tetszőleges projektív egyenes (és annak pontjai) eltávolításával különböző affin síkokat kapunk (ugyanabban a sorrendben, de nem feltétlenül izomorfak).

Véges affin tervek és nyitott kérdések

A legkisebb affin sík 2-es rendű: ez az affin sík az F 2 véges mezőben , 2 elemgel. Négy pontból áll, és ez egy paralelogramma, mert az oldalai párhuzamosan párhuzamosak, de a két átlója is párhuzamos ( a 2 elemű test geometriájában nincs középpont ). Azt is megkapjuk, hogy a Fano síkból (az F 2 vetítősíkjából) eltávolítunk egy vonalat (és annak három pontját).

A prímszám bármelyik hatványa legalább egy affin sík nagyságrendje, de nem tudjuk, hogy igaz- e az ellenkezője .

A Bruck-Ryser-Chowla tétel ad megszorítások a sorrendben: ha Q jelentése kongruens 1 vagy 2 modulo 4 , meg kell összege két négyzet  ; ez kizárja a 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42  stb. de például nem 10 vagy 12.

A 10. rendet hatalmas számítógépes számítások kizárták.

A legkisebb szám, amelyet nem tudunk, hogy affin sík nagyságrendű-e, 12.

Nem tudjuk, hogy minden elsőrendű affin sík argeszin-e.

Megjegyzések és hivatkozások

(de) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket német című „  Affine Ebene  ” ( lásd a szerzők listája ) .

1. (a) Emil Artin , geometriai algebra , John Wiley & Sons ,2011( 1 st  ed. 1957 ) ( olvasott sort ) , CHAP.  II(ford. Geometriai algebra , Calmann-Lévy ).
2. Megkülönböztetésük Jacqueline Lelong-Ferrand ( J. Lelong-Ferrand , A geometria alapjai , PUF ,1985( ISBN  978-2-13-038851-7 ) , p.  161) inkább affin típusú síkról beszél azoknak a síkoknak, amelyek kielégítik az incidencia axiómáit, és nem feltétlenül a Desargues axiómáit, miközben megemlíti, hogy az axiomatikus geometria művei egyszerűen affin síkról beszélnek.
3. Artin 2011 , p.  53.
4. Artin 2011 , p.  54.
5. Egy arguesian affin síkon , pontosan egy.
6. Artin 2011 , p.  55.
7. Artin 2011 , p.  56.
8. Artin 2011 , p.  57.
9. (in) CWH Lam , "  A 10. rendű véges vetítősík keresése  " , Amer. Math. Havi , vol.  4,1991, P.  305-318 ( online olvasás ).

Kapcsolódó cikkek

• Hilbert axiómák
• A projektív síkok osztályozása  (de)
• Ternáris test  (a)
• Hatás