A geometria okozza az ág matematikai tanulmányozása számok a sík és a tér ( euklideszi geometria ). XVIII . Század vége óta a geometria a más típusú terekhez tartozó ábrákat is tanulmányozza (például projektív geometria , nem euklideszi geometria ).
A XX . Század eleje óta e terek vizsgálati módszereinek egyes alakjai a matematika autonóm ágaivá alakultak át: például topológia , differenciálgeometria és algebrai geometria . Ha át akarjuk ölelni ezeket a jelentéseket, akkor nehéz meghatározni, hogy mi a mai geometria. A "kortárs geometria" különféle ágainak egysége ugyanis inkább történelmi eredetű, mintsem módszerek vagy tárgyak közösségében rejlik.
A geometria kifejezés a γεωμέτρης ( geômetrês ) görögből származik, amely „ geometrát , földmérőt ” jelent, és γῆ ( gê ) „föld” és μέτρον ( metron ) „mérték” kifejezésből származik. Ezért „a terep mérésének tudománya” lenne.
Különleges minősítő nélkül és egy adott kontextusra való hivatkozás nélkül (szemben a differenciálgeometriával vagy az algebrai geometriával ) a geometria vagy akár a klasszikus geometria főként a következőket foglalja magában:
A fenti geometriák általánosíthatók a terek méretének megváltoztatásával, a skalárok mezőjének megváltoztatásával (a valós vonaltól eltérő vonalakat használva) vagy görbületet adva a térnek. Ezeket a geometriákat még mindig klasszikusnak mondják.
Sőt, a klasszikus geometria axiomatizálható vagy különböző módon tanulmányozható.
Figyelemre méltó, hogy a lineáris algebra (vektorterek, kvadratikus formák, váltakozó bilináris formák, hermitikus és antihermitikus formák stb.) Lehetővé teszi az e geometriákban előforduló struktúrák többségének explicit modelljének felépítését. Ez tehát a klasszikus geometriának bizonyos egységet ad.
Vannak olyan matematikai ágak, amelyek az euklideszi terek ábráinak tanulmányozásából származnak, de amelyek a matematika autonóm ágává formálódtak, és amelyek olyan tereket vizsgálnak, amelyek nem feltétlenül merülnek el az euklideszi terekben:
A klasszikus geometria különböző terei topológiával, differenciálgeometriával és algebrai geometriával tanulmányozhatók.
A geometria sok jelentést ismer el a szerzők szerint. Szigorú értelemben a geometria „az alakok és az alakok vizsgálata”. Ez a meghatározás összhangban van a geometria mint tudomány megjelenésével a görög civilizáció alatt a klasszikus időszakban . Jean-Pierre Kahane jelentése szerint ez a meghatározás egybeesik azzal az elképzeléssel, amelyet az emberek a geometriáról, mint tantárgyról tanítanak: "ez az a hely, ahol megtanuljuk megérteni az űrt ".
1739-ben Leonhard Euler tanulmányozta Königsberg hét hídjának problémáját ; munkáját a geometria első olyan eredményeinek tekintik, amelyek nem függenek semmilyen méréstől, amelyek topológiai minősítést kapnak. A XIX . Század során feltett kérdések a forma és a tér fogalmának újragondolásához vezettek , elvetve az euklideszi távolságok merevségét. Megvizsgálták a felület folyamatos deformálásának lehetőségét az indukált metrika megőrzése nélkül, például egy gömb ellipszoiddá történő deformálódását. Ezen deformációk tanulmányozása a topológia megjelenéséhez vezetett : vizsgálati tárgyai halmazok , topológiai terek, amelyek közelségének és folytonosságának fogalmát a szomszédság fogalma együtt határozza meg . Egyes matematikusok szerint a topológia a geometria szerves része, sőt alapvető ága. Ezt a besorolást mások megkérdőjelezhetik.
Szerint a szempontból Felix Klein ( 1849-ben - 1925-ben ), az analitikus geometria „valójában szintetizált két ezt követően disszociált jellemzők: annak alapvetően metrikus jellegét, és a homogenitás”. Az első karakter a metrikus geometriában található , amely a távolságok geometriai tulajdonságait tanulmányozza. A második alapja Erlangen programjának , amely a geometriát a csoportos cselekvési invariánsok tanulmányozásaként határozza meg.
A geometria néven ismert kutatási területeken folyó munka megkérdőjelezi az első definíciót. Jean-Jacques Szczeciniarcz szerint a geometria nem "az egyszerű térre való hivatkozásra, sőt a figurációra vagy a [vizualizációra" sem épül ", hanem a fejlődésén keresztül érthető meg:" a geometria felszívódik, de ugyanakkor számunkra úgy tűnik jelentést tulajdonítani a fogalmaknak, miközben a kezdeti jelentéshez való visszatérés benyomását is kelti ”. Jean-Jacques Sczeciniarcz a matematikai kutatásban két mozgást jegyez meg, amelyek a geometria bővüléséhez vagy töredezettségéhez vezettek:
Bővítésként a geometriát már nem lehet egységes tudományágként, hanem matematikai vízióként vagy tárgyakként való megközelítésként megközelíteni. Gerhard Heinzmann szerint a geometriára a "geometriai kifejezések és tartalmak, például a" pontok ", a" távolság "vagy a" dimenzió "nyelvkeretként történő felhasználása a legkülönbözőbb területeken jellemző az empirikus megközelítés egyensúlya. és elméleti megközelítés.
A geometria feltalálása az ókori Egyiptomba nyúlik vissza .
A Henri Poincaré , geometrikus teret a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
Az euklideszi és a nem euklideszi geometriák megfelelnek ennek a térnek a stricto sensu definíciójának. Egy ilyen geometria megalkotása a négy alapvető objektum: a pont , az egyenes , a sík és a tér elrendezésének szabályait tartalmazza . Ez a munka a tiszta geometria kiváltsága marad, amely egyedüli dolgozik ex nihilo .
A síkgeometria elsősorban egy axiomatikán nyugszik, amely meghatározza a teret; majd az alakzatok metszéspontjainak, transzformációinak és konstrukcióinak módszereiről ( háromszög , paralelogramma , kör , gömb stb.).
A projektív geometria a legkevésbé minimalista, ami a többi geometria közös magjává teszi. Axiómákon alapul:
A nem megfelelő elemek projektív geometriájában történő megkülönböztetés jellemzi az argumentum geometriáját . Ezután az affin geometria megszületik ezen alkalmatlan elemek megszüntetéséből. A pontok ilyen törlése létrehozza a párhuzamosság fogalmát, mivel ezentúl a koplanáris vonalak bizonyos párjai megszűnnek keresztezni. A helytelen eltávolított pont összehasonlítható ezen egyenesek irányával . Sőt, két pont csak azokat egy szegmens (az egyik a két, amely nem tartalmazza a megfelelő pont), és ismerős a fogalom azt jelenti, vagy orientáció (azaz, ez lehetővé teszi, hogy különbséget re ).
Kongruencia Euklideszi és nem euklideszi geometriákAz euklideszi geometria ötödik axióma vagy " párhuzamainak posztulátuma " az euklideszi geometria alapja :
Egy vonalon kívüli ponton keresztül mindig párhuzamosan halad ezzel a vonallal, és csak egyet.
Az euklideszi geometria teljesebb megállapításait lásd Hilbert Axiomatics vagy euklideszi elemei .
A cáfolatát a posztulátum kifejlesztéséhez vezetett a két nem-euklideszi geometriák : hiperbolikus geometria által Gauss , Lobachevsky , Bolyai és elliptikus geometria által Riemann .
Felix Klein ( az Erlangen program szerzője) koncepciójában a geometria azon pontterek vizsgálata, amelyeken az átalakulások (más néven szimmetriák) csoportjai működnek, valamint az ezekre a csoportokra invariáns mennyiségek és tulajdonságok. Például a sík és a gömb egyaránt kétdimenziós terek, homogén (nincs kiváltságos pont) és izotrop (nincs kitüntetett irány), de szimmetriai csoportjaikban különböznek (az Euklidesz csoport az egyik, a forgások csoportja a Egyéb).
A leghíresebb átalakulások között izometriákat , hasonlóságokat , forgatásokat , reflexiókat , fordításokat és homotétiát találunk .
Ezért nem egy tudományág, hanem egy fontos szintézismunka, amely lehetővé tette az egyes geometriák sajátosságainak világos áttekintését. Ez a program tehát jobban jellemzi a geometriát, mintsem megalapozza. Közvetítő szerepe volt a nem euklideszi geometriák természetéről, valamint az analitikus és a szintetikus geometriák közötti vitában folytatott vitában .
A Lie-csoportok és algebrai csoportok differenciálgeometriájában és algebrai geometriájában , amelyek maguk is homogén terekkel rendelkeznek , a klasszikus geometriát gyakran ezeknek a homogén tereknek a tanulmányozására redukálják. Az affin és a projektív geometriák lineáris csoportokkal, az euklideszi, a gömb alakú, az elliptikus és a hiperbolikus geometriák az ortogonális csoportokkal függenek össze.
Ha a Lie vagy algebrai csoportok vagy azok homogén terei kifejezett osztályozásokat tartalmaznak, amelyek kielégítenek bizonyos hipotéziseket (Lie csoportok vagy egyszerű algebrai, szimmetrikus terek, általánosított zászlófajták, állandó görbületű terek), akkor ezek a besorolások fő elemei néha a klasszikus geometriából származnak , és azok a csoportok, amelyekhez ezek a klasszikus geometriák kapcsolódnak, összekapcsolódnak az úgynevezett klasszikus csoportokkal (például lineáris, ortogonális, szimplektikus csoportok).
A legtöbb klasszikus geometria Lie-csoportokkal vagy egyszerű algebrai, rokonnak nevezett (lineáris algebrából származik). Vannak más Lie-csoportok vagy egyszerű algebrai módszerek, amelyekről azt mondják, hogy "kivételesek", és ezek a kivételes geometriát eredményezik, bizonyos analógiákkal a klasszikus geometriához. Ez a megkülönböztetés annak a ténynek köszönhető, hogy az egyszerű csoportokat (bizonyos feltételezések mellett) több végtelen sorozatba (gyakran négybe) és véges számú más csoportba (gyakran ötbe) sorolják, és ez utóbbi csoportok kivételesek, és igen nem tartoznak lineáris algebra alá (legalábbis nem ugyanúgy): gyakran nem asszociatív algebrai struktúrákhoz kapcsolódnak (például oktion algebrák, kivételes jordán algebrák).
A Lie-hez csoportok vagy egyszerű algebrai társított Dynkin-diagramok (grafikonok), és ezeknek a diagramoknak bizonyos tulajdonságai leolvashatók.
A Riemann-geometria az euklideszi geometria kiterjesztéseként tekinthető. Tanulmánya az érintő vektorok fogalmát bemutató terek ( fajták ) geometriai tulajdonságaira összpontosít , és metrikával ( Riemann-metrika ) van felszerelve, amely lehetővé teszi ezen vektorok mérését. Az első találkozott példák a háromdimenziós euklideszi tér felületei , amelyek metrikus tulajdonságait Gauss tanulmányozta az 1820-as években. Az euklideszi termék metrikát indukál a különböző érintősíkokra történő korlátozással. A metrika belső meghatározását Riemann formalizálta magasabb dimenzióban. A párhuzamos transzport fogalma lehetővé teszi az érintőterek összehasonlítását a sokaság két különálló pontján: célja egy vektor koherens szállítása a Riemann-sokaságra rajzolt görbe mentén. A Riemann-sokaság görbülete definíció szerint méri az egyik ponttól a másikig tartó párhuzamos szállítás lehetséges függését az őket összekötő görbétől.
A metrikából adódik a görbék hosszának meghatározása, amelyből a Riemann-távolság meghatározása származik. De a háromszögek metrikus tulajdonságai eltérhetnek az euklideszi trigonometriától. Ezt a különbséget részben Toponogov-tétel vizsgálja , amely lehetővé teszi a vizsgált Riemann-sokaság és a térközök legalább lokális összehasonlítását a metszetek görbületén állítólag ismert egyenlőtlenségek szerint. A modellterek közül:
A komplex geometria a mező tulajdonságaihoz kapcsolódik, amelyek lokálisan azonosulhatnak . Ezek az objektumok ( komplex sokrétű ) bizonyos merevséget mutatnak, ami a függvény analitikai kiterjesztésének egyediségéből adódik, több változóval.
A szimplektikus geometria a differenciálgeometria egyik ága, és bevezethető általánosításként a 2. dimenzióban felmerülő területorientált koncepció magasabb dimenzióira. Kapcsolódik a váltakozó bilinear formákhoz. Ennek a geometriának a tárgyai a szimplektikus elosztócsatornák, amelyek differenciálcsatornák, amelyek váltakozó bilináris alakzatok mezejével vannak ellátva. Például egy változó, nem degenerált bilinear formával felruházott vektortérhez kapcsolt affin tér szimplektikus sokaság.
Az érintkezési geometria a differenciálgeometria egyik ága, amely az érintkezés fajtáit vizsgálja, amelyek olyan differenciálcsatornák, amelyek bizonyos tulajdonságokat igazoló hipersík érintőterek mezőjével vannak ellátva. Például a projektív tér levezet egy vektorteret, amely váltakozó, nem degenerált bilinear formával rendelkezik, amely egy kontaktus sokaság.
Hosszú ideig a geometria és a csillagászat kapcsolódik egymáshoz. Elemi szinten a Hold, a Nap és a Földtől való távolságuk méretének kiszámítása a Thalész tételét használja . A Naprendszer első modelljeiben minden bolygó társult egy plátói szilárd anyaggal . Kepler csillagászati megfigyelései alapján , amelyeket Newton munkája megerősített, bebizonyosodott, hogy a bolygók olyan elliptikus pályát követnek , amelyben a Nap az egyik fókuszpont. Az ilyen geometriai jellegű megfontolások általában beavatkozhatnak a klasszikus mechanikába, hogy minőségileg leírják a pályákat .
Ebben az értelemben a geometria beavatkozik a mérnöki munkába a mechanikai rendszer stabilitásának vizsgálatában. De még természetesebben avatkozik be az ipari formatervezésbe . Az ipari rajz egy háromdimenziós objektum metszeteit vagy vetületeit mutatja , hosszúságokkal és szögekkel van kiegészítve. Ez az első lépés az ipari formatervezési projekt felállításában . A közelmúltban a geometria és a számítástechnika közötti házasság lehetővé tette a számítógépes tervezés (CAD), a végeselemes számítások és a számítógépes grafika megjelenését .
Az euklideszi trigonometriát az optikában használják például a fény diffrakciójának kezelésére. Ugyancsak a navigáció fejlődésének kezdetén áll: tengeri hajózás csillagokkal ( szextánsokkal ), kartográfia, léginavigáció (irányítás jelzőfényekkel érkező jeleket használó műszerekkel).
A geometria új fejlődése a XIX . Században visszhangokat talált a fizikában. Gyakran mondják, hogy a riemann-geometriát eredetileg Gauss kérdései motiválták a Föld feltérképezésével kapcsolatban. Különösen figyelembe veszi az űrben lévő felületek geometriáját . Ennek egyik kiterjesztése, a lorentzi geometria az ideális formalizmust biztosította az általános relativitáselmélet törvényeinek megfogalmazásához . A differenciálgeometria a húrok vagy membránok elméletével új alkalmazásokat talált a poszt-newtoni fizikában .
Az Alain Connes által kitalált nem kommutatív geometria egyre jobb matematikai struktúrákat mutat be, amelyekkel új fizikai elméletek kidolgozásán lehet dolgozni.
A geometria kiemelt helyet foglal el a matematika tanításában . Számos oktatási tanulmány bizonyítja érdeklődését : lehetővé teszi a tanulók számára, hogy reflexiót alakítsanak ki a problémákról, vizualizálják a sík és a tér alakjait, bemutatókat írhatnak , és következtethessenek a megfogalmazott hipotézisek eredményeire. De még inkább: "a geometriai érvelés sokkal gazdagabb, mint az egyszerű formális dedukció", mert az "alakok megfigyeléséből" született intuíción alapszik.
Az 1960-as években Franciaországban a matematikaoktatás ragaszkodott a geometriai problémák gyakorlati megvalósításához a mindennapi életben. Különösen a Pitagorasz-tételt szemléltette a 3, 4, 5 szabály és annak alkalmazása az ácsmunkában. A bevonások, a harmonikus megosztottság és a keresztarányok a középiskolai tanterv részét képezték. De a modern matematika reformja , amely az Egyesült Államokban született és Európában alkalmazkodott, jelentősen csökkentette a geometriában tanított ismereteket a lineáris algebra második fokozatának bevezetése érdekében. Sok országban ezt a reformot erősen bírálták és kijelölték felelőssé az iskolai kudarcokért . Jean-Pierre Kahane jelentése elítéli a geometria hozzájárulásának „valódi előzetes didaktikai reflexiójának” hiányát: Különösen a „vektorgeometria gyakorlata” készíti fel a tanulót a vektortér, bilinear formális fogalmainak jobb asszimilálására. ...
A számok használata más tantárgyak oktatásában lehetővé teszi a hallgatók számára, hogy jobban megértsék a bemutatott érveket. Megjegyzés: A matematikai didaktikában általában különbséget teszünk a "rajz" (olyan eszközökkel, mint vonalzók, iránytűk ...), a "diagram" (szabadkézi műveletek és az absztrakt érvelés konkrét alátámasztása) fogalmai között. perform) és az "ábra" (absztrakt geometriai objektum, amelyre az érvelés végső soron kapcsolódik, és amelyek mindegyikének megvan a maga mentális reprezentációja: például az egyenlő oldalú háromszög "figurája" eltérő mentális ábrázolással rendelkezhetünk) . Ezekkel a megkülönböztetésekkel tehát a grafikusan ábrázolt "figurát" idézne elő, de nem lenne az. .