Coxeter-Dynkin diagram

A geometriában a Coxeter-Dynkin diagram egy olyan grafikon, amely a tükör (vagy a visszaverődés hipersíkjainak ) relációs halmazát mutatja az építési kaleidoszkópos térben .

Maga a grafikon a diagram Coxeter-csoportokat ábrázol , a grafikon minden csomópontja tükröt ( a tartomány arculata ), a grafikon minden ága pedig a két tükör ( a mező szélén ) közötti kettős szög sorrendjét ábrázolja .

Ezen túlmenően, a grafikonok van gyűrűk (körök) körül a csomópontokat az aktív tükröt mutató politóp egységes  (en) specifikus.

A diagram a Dynkin-diagramból származik .

Leírás

A diagram reprezentálhatja a polipokat is , ha gyűrűket (köröket) ad hozzá a csomópontok köré. Minden diagramnak tartalmaznia kell legalább egy aktív csomópontot, amely a politopot ábrázolja.

A gyűrűk információkat fejeznek ki: egy generátor pont van-e a tükörben vagy azon kívül. Pontosabban: a tükör csak akkor aktív (reflexiókat hoz létre), ha a pontok a tükörön kívül vannak, tehát egy gyűrű hozzáadása azt jelenti, hogy egy pont a tükörön kívül van, és reflexiót hoz létre.

Az élek jelölt természetes szám n képviselő diéderes szög 180 / N . Ha egy él nincs felcímkézve, akkor azt feltételezzük, hogy 3 . Ha n = 2, a szög 90 fok, és a tükrök nincsenek kölcsönhatásban, és az él elhagyható. Két párhuzamos tükröt "∞" -nel jelölhetünk.

Elvileg n tükröt ábrázolhatunk egy teljes gráffal, amelybe az összes n * (n-1) / 2 fel van rajzolva. A gyakorlatban az érdekes tükörkonfigurációk számos derékszöget tartalmaznak, és a megfelelő élek elhagyhatók.

Ezekkel a tükrökkel és egyetlen generáló ponttal politopokat és burkolatokat lehet előállítani. A tükörképek új pontokat hoznak létre, például tükröződéseket. A pontok és a tükörkép között élek hozhatók létre. Az oldalak létrehozhatók létrehozott élciklusokkal stb.

Példák

• Egyetlen csomópont egyetlen tükröt képvisel. Ezt nevezzük A 1 csoportnak . Ha gyűrűs, akkor létrehoz egy digont vagy egy élt, amely merőleges a tükörre, amelyet {} vagy {2} képvisel.
• Két rögzítetlen csomópont két merőleges tükröt képvisel . Ha a két csomópont gyűrűs, akkor téglalap vagy négyzet hozható létre, ha a pont egyenlő távolságra van a két tükörtől.
• Az n sorrend élével összekötött két csomópont létrehozhat egy n-ment, ha a pont a tükrön van, és egy 2n-el, ha a pont kívül esik a két tükrön. Ez alkotja a D 2 n csoportot .
• Két párhuzamos tükör képviselheti a D 2 ∞ végtelen sokszögcsoportot , más néven W 2 .
• Háromszög három tükre képeket alkot egy hagyományos kaleidoszkópban, és három csomópont ábrázolja őket egy háromszögben. A példák megismétlésével az élek a (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6) feliratokkal lesznek ellátva, bár az utóbbi kettőt egy olyan vonalba lehet húzni, amelynek 2. élét figyelmen kívül hagyják. Ezek egyenletes burkolatokat eredményeznek .
• Három tükör generálhatja az egységes poliédert , beleértve a racionális számokat is a Schwarz-háromszögek  (en) halmaza .
• Három tükör, amelyek egyike merőleges a másik kettőre, egységes prizmákat képezhetnek .

Általánosságban elmondható, hogy a Schläfli {p, q, r, ...} szimbólummal jelölt összes szabályos n-polipon alapvető tartományait n tükrök halmaza képviseli, és egy Coxeter-Dynkin diagramban kapcsolódnak egymáshoz. csomópontok és élek p, q, r ...

Coxeter véges csoportok

Az egyenletes domború politopok családját Coxeter-csoportok határozzák meg .

Megjegyzések:

• Három különböző szimbólum van megadva ugyanazon csoportok számára - egy betű / szám, egy zárójeles számkészlet és a Coxeter diagram.
• A kettéágazott B n csoportokat a h [] jelölés is megadja, amely azt a tényt képviseli, hogy ez a C n reguláris csoportok fele vagy alternatív változata .
• A kettéágazott B n és E n csoportokat szintén egy [3a , b, c ] kitevő jelöli, ahol a, b, c a 3 ág mindegyikében lévő szegmensek száma.

nem	A 1+	B 4+	C 2+	D 2 o	E 6-8	F 4	G 2-4
1	A 1 = []
2	A 2 = [3]		C 2 = [4]	D 2 p = [p]			G 2 = [5]
3	A 3 = [3²]	B 3 = A 3 = [3 0,1,1 ]	C 3 = [4,3]				G 3 = [5,3]
4	A 4 = [3³]	B 4 = h [4,3,3] = [3 1,1,1 ]	C 4 = [4,3²]		E 4 = A 4 = [3 0,2,1 ]	F 4 = [3,4,3]	G 4 = [5.3.3]
5.	A 5 = [3 4 ]	B 5 = H [4.3³] = [3 2.1.1 ]	C 5 = [4,3 3]		E 5 = B 5 = [3 1,2,1 ]
6.	A 6 = [3 5 ]	B 6 = h [4,3 4 ] = [3 3,1,1 ]	C 6 = [4,3 4 ]		E 6 = [3 2,2,1 ]
7	A 7 = [3 6 ]	B 7 = h [4,3 5 ] = [3 4,1,1 ]	C 7 = [4,3 5 ]		E 7 = [3 3,2,1 ]
8.	A 8 = [3 7 ]	B 8 = h [4,3 6 ] = [3 5,1,1 ]	C 8 = [4,3 6 ]		E 8 = [3 4,2,1 ]
9.	A 9 = [3 8 ]	B 9 = h [4,3 7 ] = [3 6,1,1 ]	C 9 = [4,3 7 ]
10+	..	..	..	..	..	..	..

(Megjegyzés: alternatív neveket adunk meg , például egyszerű Lie-csoportokat  (en) .)

1. A n alkotja az egyszerűsítő politopok családját (ugyanaz a név: A n ).
2. B n a fél hiperkockák családja , kezdete n = 4 a 24-sejtekkel és n = 5 a penteracttal (más néven D n ).
3. C n alkotja a hiperkockák családját (ugyanaz a név: C n ).
4. D 2 n alkotja a szabályos sokszögeket (más néven I 1 n ).
5. E 6 , E 7 , E 8 a félszabályos Gosset-polipok generátorai (ugyanazok a nevek: E 6 , E 7 , E 8 ).
6. F 4 jelentése a 24-sejtes polychorus család (ugyanaz a neve: F 4 ).
7. G 3 a dodekaéder / ikozaéder sokszög családja (más néven H 3 ).
8. G 4 jelentése a 120-sejt / 600-sejt polychorus család (más néven H 4 ).

Végtelen Coxeter csoportok

A domború, egységes burkolatok családját a Coxeter csoportok határozzák meg.

Megjegyzések:

• A szabályos (lineáris) csoportok egyenértékű jelöléssel adhatók meg zárójelekkel.
• Az S n csoportot h [] jelöléssel is felcímkézhetjük a törzs felének .
• A Q n csoportot q [] jelöléssel is felcímkézhetjük, mint egy szabályos negyedét .
• A kettéágazott T n csoportokat [3a , b, c ] exponens alak is jelöli, ahol a, b, c a 3 ág mindegyikében található szegmensek száma.

nem	P 3+	Q 5+	R 3+	S 4+	T 7-9	U 5	V 3	W 2
2								W 2 = [∞]
3	P 3 = h [6,3]		R 3 = [4.4]				V 3 = [6,3]
4	P 4 = q [4,3,4]		R 4 = [4.3.4]	S 4 = h [4,3,4]
5.	P 5	Q 5 = q [4,3², 4]	R 5 = [4,3², 4]	S 5 = h [4,3², 4]		U 5 = [3,4,3,3]
6.	P 6	Q 6 = q [4,3 3, 4]	R 6 = [4.3³, 4]	S 6 = h [4,3, 4]
7	P 7	Q 7 = q [4,3 4 , 4]	R 7 = [4,3 4 , 4]	S 7 = h [4,3 4 , 4]	T 7 = [3 2,2,2 ]
8.	P 8	Q 8 = q [4,3 5 , 4]	R 8 = [4,3 5 , 4]	S 8 = h [4,3 5 , 4]	T 8 = [3 3,3,1 ]
9.	P 9	Q 9 = q [4,3 6 , 4]	R 9 = [4,3 6 , 4]	S 9 = h [4,3 6 , 4]	T 9 = [3 5,2,1 ]
10.	P 10	Q 10 = q [4,3 7 , 4]	R 10 = [4,3 7 , 4]	S 10 = h [4,3 7 , 4]
11.	...	...	...	...

(Megjegyzés: alternatív neveket is megadnak, például egyszerű Lie csoportokat.)

1. P n egy ciklikus csoport (más néven ~ A n-1 ).
2. Q n (más néven ~ D n-1 )
3. R n a {4,3, ....} hiperkocka szabályos tessellációs családját képezi (más néven ~ B n-1 ).
4. S n alkotja a hiperkubus váltakozó csempéző családot (más néven ~ C n-1 ).
5. T 7 , T 8 , T 9 a Gosset burkolatok (más néven ~ E 6 , ~ E 7 , ~ E 7 ).
6. Az U 5 a 24 sejtek szabályos csempézése {3,4,3,3} (más néven ~ F 4 ).
7. V 3 a hatszögletű burkolás (más néven ~ H 2 ).
8. A W 2 két párhuzamos tükörből áll (más néven ~ I 1 ).

Hivatkozások

• (fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia „  Coxeter - Dynkin-diagram  ” című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .
• (en) Kaleidoszkópok: A HSM Coxeter válogatott írásai , szerkesztette: F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Ázsia Ivic Weiss, Wiley-Interscience, 1995 ( ISBN  978-0-471-01003-6 ) , 17. cikk : A Coxeter-Dynkin diagramok evolúciója , [Nieuwbrooke voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
• (en) HSM Coxeter, A geometria szépsége: Tizenkét esszé , Dover, 1999 ( ISBN  978-0-486-40919-1 ) (3. fejezet: Wythoff konstrukciója az egyenletes politopok számára)
• (in) HSM Coxeter, Reguláris politopok (Macmillan, 1963), 3. és ed., Dover. 1973 ( ISBN  0-486-61480-8 ) (5. fejezet: A Kaleidoszkóp és 11.3. szakasz: Ábrázolás grafikonokkal)

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Wythoff szimbólum
• Az egységes poliéderek listája
• Az egységes burkolatok listája  (en)
• 4 egyenletes politop
• Fészek konvex egységes méh  (en)
• Wythoff építkezés

Külső hivatkozás

(en) [PDF] Rendszeres politopok, gyökérrácsok és kvazikristályok , R. Bruce King