Algebrai csoport

A algebrai geometria , a fogalma algebrai csoport jelentése azonos a Lie-csoportok a differenciál vagy komplex geometriájú . Az algebrai csoport olyan algebrai változat , amely az algebrai változatszerkezetével kompatibilis csoporttörvénnyel rendelkezik.

Meghatározás

Egy algebrai csoport több mint egy (kommutatív) mező K egy algebrai gyűjtőcső alatt mun: G{\ displaystyle G}K{\ displaystyle K}

• a K- algebrai fajták morfizmusának (szorzásnak is nevezik) . A forrás egyik fajtájának a szál terméket az önmagában;μ:G×KG→G{\ displaystyle \ mu: G \ szorzata _ {K} G \ - G}G{\ displaystyle G}
• Egy inverz morfizmus  ;ι:G→G{\ displaystyle \ iota: G \ - G}
• egy semleges elem tartozó (racionális pont )ϵ{\ displaystyle \ epsilon}G(K){\ displaystyle G (K)}G{\ displaystyle G}

egy csoport axiómáinak hivatalos igazolása. Ha redukált és ha K algebrai szempontból zárt, akkor elegendő, ha ezek a morfizmusok csoportszerkezetet indukálnak a racionális pontok halmazán . G{\ displaystyle G}G(K){\ displaystyle G ({K})}G{\ displaystyle G}

Bármely algebrai különböző X fölött K , a beállított G (X) a K -morphisms származó X , hogy a G örökli a csoport szerkezetét. Az algebrai csoport meghatározásának gyors módja az, ha azt mondjuk, hogy ez egy algebrai változat, amely az algebrai fajták kategóriájának a K csoport fölötti funkcióját képviseli a csoportok kategóriájában.

Figyelem: a Zariski topológiával és nem a termék topológiájával van ellátva . G×KG{\ displaystyle G \ times _ {K} G}

• Az algebrai csoportok homomorfizmusa a K felett az algebrai sokaságok morfizmusa a K felett, amely kompatibilis a csoport felépítésével: ha a szorzótörvények G-re, illetve H- ra vonatkoznak, akkor . Ami a pontot, ez annyit jelent, hogy minden K -algebra véges típusú Egy , a térkép által indukált f egy csoportja homomorfizmus. Ha K algebrailag zárt, és ha G és H redukálódik, vegye csak A = K értéket .f:G→H{\ displaystyle f: G \ - H}μG,μH{\ displaystyle \ mu _ {G}, \ mu _ {H}}f∘μG=μH∘(f×f){\ displaystyle f \ circ \ mu _ {G} = \ mu _ {H} \ circ (f \ szorzat f)}f(NÁL NÉL):G(NÁL NÉL)→H(NÁL NÉL){\ displaystyle f (A): G (A) \ - H (A)}
• Az algebrai csoportok izomorfizmusa az algebrai csoportok homomorfizmusa, amely az alapul szolgáló algebrai fajták izomorfizmusa.
• Egy algebrai alcsoportját F a G egy subvariety a G úgy, hogy a bemerítés homomorfizmus algebrai csoportok. Tudjuk, hogy F ekkor egy zárt alfajta.én:F→G{\ displaystyle i: F \ -től G-ig}
• Ha homomorfizmus algebrai csoportok feletti K , a kernel Ker a F határozza meg . A Ker alapjául szolgáló tér van , de a fajtaváltozat szerkezete nem feltétlenül csökken. Könnyű kimutatni, hogy Ker a G algebrai alcsoportja .f:G→H{\ displaystyle f: G \ - H}(f){\ displaystyle (f)}G×HϵH{\ displaystyle G \ times _ {H} \ epsilon _ {H}}(f){\ displaystyle (f)}f-1(ϵH){\ displaystyle f ^ {- 1} (\ epsilon _ {H})}(f){\ displaystyle (f)}

Példák

• Ha véges csoport, akkor egy egyedi algebrai csoport létezik K felett, mint bármelyik L / K test kiterjesztésénél . Ez az állandó csoport .Γ{\ displaystyle \ Gamma}G(L)=Γ{\ displaystyle G (L) = \ Gamma} Γ{\ displaystyle \ Gamma}
• Az additív csoport : a mögöttes sokaság K affin A ^ 1-je . A K -algebra véges A , a csoport van kanonikusan azonosított csoportba (adalék) A .Gnál nél{\ displaystyle G_ {a}}Gnál nél(NÁL NÉL){\ displaystyle G_ {a} (A)}
• A multiplikatív csoport : az alapul szolgáló sokaság az A ^ 1 affin vonala, amelytől K származásától megfosztják. Bármely K -algebra véges típusú A , a csoport van kanonikusan azonosították a multiplikatív csoportjában az invertálható elemei A .Gm{\ displaystyle G_ {m}}Gm(NÁL NÉL){\ displaystyle G_ {m} (A)}NÁL NÉL∗{\ displaystyle A ^ {*}}
• GLnem,K{\ displaystyle GL_ {n, K}}, az invertálható mátrixok csoportja algebrai csoport. Bármely K -algebra véges típusú A , a csoport azonosított a multiplikatív csoport négyzet mátrixok rend n , a koefficiensek A és invertálható. Ha n = 1 , akkor megtaláljuk a multiplikatív csoportot .GLnem,K(NÁL NÉL){\ displaystyle GL_ {n, K} (A)}Gm{\ displaystyle G_ {m}}
• Az elliptikus görbék algebrai csoportok.
• Legyen n természetes szám. Az n-vel való szorzás algebrai csoportok homomorfizmusát idézi elő . Ha n elsődleges a K mező jellemzőivel szemben , akkor ennek a homomorfizmusnak a magja semleges elemre redukálódik.Gnál nél→Gnál nél{\ displaystyle G_ {a} \ - G_ {a}}
• Ha K pozitív p karakterisztikával rendelkezik , akkor a p teljesítményig ( Frobeniusnak nevezett ) való magasság algebrai csoportok homomorfizmusa. A megjegyzett kernel a nem sima algebrai csoport tipikus példája. Az alapul szolgáló algebrai változat Spec (csak egy pontja van, és nincs redukálva).Gnál nél{\ displaystyle G_ {a}}αo{\ displaystyle \ alpha _ {p}}K[T]/(ToK[T]){\ displaystyle K [T] / (T ^ {p} K [T])}
• Legyen n természetes szám. A multiplikatív csoportban az n hatványra emelés olyan algebrai csoportok homomorfizmusát indukálja, amelyek magja véges algebrai csoport, állandó, ha a K alapmező az egység összes n- edik gyökét tartalmazza. Akkor és csak akkor oszlik el K felett, ha n elsődleges a K jellemzőivel szemben .Gm{\ displaystyle G_ {m}}μnem{\ displaystyle \ mu _ {n}}
• Az algebrai geometriában a T- on lévő K torusz egy algebrai csoport, amely izomorf a K algebrai lezárásának szorzatával . Azt mondjuk, hogy T a telepített ha izomorfizmus van állítva K .Gm{\ displaystyle G_ {m}}

Az algebrai csoportok két osztálya különösen fontos. Először is, az abeli sokaságok algebrai csoportok, amelyekhez az alapul szolgáló sokaság megfelelő , összekapcsolt és sima. Az ellipszis görbék példák az abeli fajtákra.

Ezután jöjjenek a lineáris algebrai csoportok  (en)  : ezek megfelelnek annak az esetnek, amikor a csoport affin algebrai változatosság , más szóval, ahol ez a polinomcsalád nulláinak helye . A szokásos alcsoportok többsége lineáris algebrai csoportoknak felel meg. Például a nullák halmaza a polinomban . Megmutatható, hogy a lineáris algebrai csoportok hűen ábrázolhatók . Így továbbra is a (z) alcsoportjainak tekinthetők , ami megmagyarázza a nevüket. K[x1,...,xnem]{\ displaystyle K [X_ {1}, \ pontok, X_ {n}]}GLnem(K){\ displaystyle GL_ {n} (K)}SLnem(K){\ displaystyle SL_ {n} (K)}det-1{\ displaystyle \ det -1}GLnem,K{\ displaystyle GL_ {n, K}}

Szerkezet

A fajta felépítése

Egy geometrikusan redukált algebrai csoport automatikusan sima. A 0 karakterisztikájú mezőben bármely algebrai csoport sima (Cartier-tétel). Másrészt, ha K pozitív p jellemzővel rendelkezik , léteznek nem sima algebrai csoportok (lásd a fenti példát ). αo{\ displaystyle \ alpha _ {p}}

Bomlás

Ha G egy algebrai csoport egy K mező fölött , akkor a következőképpen bonthatjuk le G- t.

• Létezik egy nyitott alcsoportja az , az úgynevezett semleges komponenst a , és egy véges algebrai csoport étale a K , oly módon, hogy vagy meghosszabbítása által , azaz van egy pontos szekvenciájátG0{\ displaystyle G ^ {0}}G{\ displaystyle G}G{\ displaystyle G}π0(G){\ displaystyle \ pi _ {0} (G)}G{\ displaystyle G}π0(G){\ displaystyle \ pi _ {0} (G)}G0{\ displaystyle G ^ {0}}

1→G0→G→π0(G)→1.{\ displaystyle 1 \ to G ^ {0} \ to G \ to \ pi _ {0} (G) \ to 1.}

Ha K algebrailag zárt, akkor állandó véges csoport. π0(G){\ displaystyle \ pi _ {0} (G)}

• Tegyük fel, hogy most G sima és K tökéletes (például a 0 karakterisztika). Ezután az abeli sokaság kiterjesztése egy sima lineáris L csoporttal (Chevalley-tétel).G0{\ displaystyle G ^ {0}}
• Tegyük fel továbbá, hogy G kommutatív. Az L lineáris csoportot egy tóruszból  egy unipotens csoport ( azaz egy algebrai csoport képezi, amely egymást követő kiterjesztések ) állítja elő . A 0 karakterisztikában az unipotens csoportok izomorfak a termék szorzatával .Gnál nél{\ displaystyle G_ {a}}Gnál nél{\ displaystyle G_ {a}}

Differenciálformák

Ha G sima algebrai csoport, akkor annak érintőkötege állandó, amelyet a G érintőtere az origóban generál . A kettősség szerint a G-n lévő differenciális formák kötege szabad (ne feledje, hogy egy sima algebrai sokaságon a differenciális formák kötege általában csak lokálisan szabad). ϵG{\ displaystyle \ epsilon _ {G}}

Általánosítás

Vegyünk egy diagramot. Egy csoport rendszer a egy -schema melynek jelentése funktora a kategóriában a -schemas a kategóriában csoportok . S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S} G→S{\ displaystyle G \ - S}S{\ displaystyle S}

• Konkrétabban azt kérjük, hogy bármilyen -séma esetén a halmaz legyen csoport, és a kanonikus térkép mindenre csoportok morfizmusa legyen.S{\ displaystyle S}T{\ displaystyle T}G(T)=MorS(T,G){\ displaystyle G (T) = {\ rm {Mor}} _ {S} (T, G)}T′→T{\ displaystyle T '\ - T}G(T)→G(T′){\ displaystyle G (T) \ - G (T ')}
• A csoportsémák meghatározásának másik módja az, ha azt mondjuk, hogy létezik morfizmus (szorzás), automorfizmus (fordítva) és a strukturális morfizmus egy szakasza (semleges szakasz), amelyek kielégítik a csoport szokásos axiómáit.G×SG→G{\ displaystyle G \ times _ {S} G \ - G}G→G{\ displaystyle G \ to G}S→G{\ displaystyle S \ - G}G→S{\ displaystyle G \ - S}

Ha inkább véges típusú , akkor a szál algebrai csoport a maradék mező fölött . Így algebrai csoportok családjának tekinthető, amelyek paraméterei paraméterezve vannak . G→S{\ displaystyle G \ - S}s∈S{\ displaystyle s \ in S} Gs{\ displaystyle G_ {s}}k(s){\ displaystyle k (s)}G→S{\ displaystyle G \ - S}S{\ displaystyle S}

Az algebrai csoportok , az elliptikus görbék stb. Standard példái könnyen általánosíthatók csoportsémákra bármilyen alapon . Gnál nél,Gm{\ displaystyle G_ {a}, G_ {m}}S{\ displaystyle S}

Egy csoport séma van elválasztjuk a , ha, és csak akkor, ha a semleges szakasz le van zárva . G→S{\ displaystyle G \ - S}S{\ displaystyle S}G{\ displaystyle G}

Kapcsolódó cikkek

• Közelítés algebrai csoportokban  (in)
• Egy algebrai csoport radikálisa  (en)
• Félegyszerű algebrai csoport  (en)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">