Algebrai változat

Egy algebrai sokrétű van, amelyre informális halmaza a közös gyökerek véges számú polinomok több határozatlan is . Ez az algebrai geometria tanulmányozásának tárgya . Az ábrák az algebrai fajták általánosításai.

Az algebrai sokaságokon két (lényegében egyenértékű) nézőpont létezik: meghatározhatók egy mező fölötti véges típusú sémákként ( Grothendieck nyelv ), vagy pedig egy ilyen séma korlátozásaként a zárt pontok részhalmazára. Itt használjuk a klasszikusabb második nézőpontot.

Meghatározás

Az algebrai sokaság nagyjából az affin sokaságok véges egyesülése . Úgy tekinthetünk, mint topológiai tér , amelyet lokális térképekkel látunk el, amelyek affin sokaságok, és amelyek átmeneti térképei polinomiális térképek .

Egy algebrai sokaság mögöttes topológiai tere lokálisan affin algebrai halmaz, ha az alapmező algebrailag bezárt.

Algebrai fajták

Javítunk egy k mezőt . A tér lokálisan gyűrűzött be k -algebras áll topologikus tér és a kévét a k -algebras az , hogy a kórokozók a pontokon az olyan lokális gyűrű . $(X, O_X)$ $x$ $ÖKÖR$ $x$ $O_ {X, x}$ $x$ $x$

Egy algebrai sokrétű felett k egy térben lokálisan gyűrűzött be k -algebras amely elismeri véges burkolás által affin nyílások (azaz a tér egy affin sokrétű ). Noha az algebrai változat szerkezete függ a szerkezeti kötéstől , különösen a nem redukált fajták esetében, általában egy algebrai fajtát egyszerűen anélkül jelölünk . $(X, O_X)$ $X_ {i}$ $(X_ {i}, O_ {X} | _ {{X_ {i}}})$ $(X, O_X)$ $ÖKÖR$ $x$ $ÖKÖR$

Ha egy nyitott része , az elemek a gyűrű az úgynevezett rendszeres funkciók on . Kedvező esetben a rendszeres funkciók azonosítják térképeket a k . $U$ $x$ $O_X (U)$ $U$ $U$

Példák

Az affin fajták definíció szerint az algebrai fajták.

A projektív fajták algebrai fajták. A projektív sokaság akkor és csak akkor affinív, ha 0 dimenziójú, vagyis véges számú pontból áll.

Vagy az affin sík , vagy az a pont, amely megfelel a . Ezután a komplement a nyitott része. A rendszeres funkciója a rendszeresnek kell lennie a nyílt rész , így egy racionális szám a nevezőben a hatalom . Szimmetria szerint a nevezőnek is ereje van . Arra a következtetésre jutunk . Megmutatjuk, hogy nem affin fajta, és nem is projektív fajta. Ez azonban kvázi affin , vagyis nyitott egy affin fajtára. $x$ ${\ mathrm {Spm}} \, k [T, S]$ $x_ {0} = (0,0)$ $x$ $k [T, S]$ $T, S$ $U$ $x_ {0}$ $f$ $U$ $D (T) \ U részhalmaz$ $f$ $T$ $S$ $f \ k [T, S]$ $U$

A rendszeres függvények függvények

Legyen algebrai változat egy algebrailag zárt k mező fölött . Nyílt és szabályos funkciót állítunk be . Azt akarjuk, hogy azonosítsa a térképet a k . $x$ $U$ $f \ O_-ban {X} (U)$ $f$ $U$

Az a test megmaradt a egyenlők k . Sőt, ha veszünk egy nyílt szomszédságában affin az . Akkor megfelel egy maximális ideálnak . By Hilbert nulla tétel , van . Egyébként a maradék test pontosan az . Jelöljük a kanonikus képét a k által . Tehát kapunk egy alkalmazást, amely társul . $x \ X-ben$ $k (x)$ $x$ ${{\ mathrm {Spm}}} A$ $x$ $x$ $M \ subseteq A$ $A / M = k$ $(X, O_X)$ $A / M$ $f (x)$ $f$ $O_ {X} (U) \ to O _ {{X, x}} \ to k (x) = k$ $U \ k$ $x$ $f (x)$

Azt is feltételezzük, hogy a csökkentett sokrétű , azaz, hogy egy csökkentett gyűrű minden nyitott (ez annyit jelent, hogy egy véges renion affin nyílások , a csökkentett is). Ezután Hilbert nullák tételét felhasználva könnyen megmutatjuk, hogy a térkép akkor és csak akkor nulla, ha nulla. Így a szabályos függvények gyűrűje be van azonosítva a funkciókészlet egy alcsoportjával . Ha U algebrai halmaz affin az , akkor a rendszeres funkció egyszerűen a korlátozás U polinom térkép . $x$ $O_X (U)$ $U$ $x$ ${{\ mathrm {Spm}}} A_ {i}$ $Have}$ $x \ mapsto f (x)$ $f \ O_-ban {X} (U)$ $U$ $U \ k$ $Z (P_ {1}, \ pontok, P_ {r})$ $k ^ n$ $k ^ {n} \ to k$

Morfizmusok

A morfizmus algebrai sokaságok több k egy morfizmus helyben összeforrasztott terek felett k . Ezért egy folyamatos térképből és a k -algebras kötegek morfizmusából áll . $f: X \ -től Y-ig$ $f: X \ -től Y-ig$ $f ^ {{\ #}}: O_ {Y} \ - f _ {*} (O_ {X})$

A morfizmust a következőképpen magyarázhatjuk meg. Ha nyitott halmaza és , akkor a k -algebras morfizmusa, emellett kompatibilis a helyi gyűrűs szerkezetekkel. Amikor azonosítani tudjuk a reguláris függvényeket, mint a függvényeket , akkor küldjön egy reguláris függvényt a függvénynek . $f ^ {{\ #}}$ $V$ $Y$ $U = f ^ {{- 1}} (V)$ $f ^ {{\ #}} (V): O_ {Y} (V) \ - O_ {X} (U)$ $g \ -ban O_ {Y} (V)$ $V$ $f ^ {{\ #}} (V)$ $g: V \ -től k-ig$ $g \ circ f: U \ to k$

A morfizmus jelöléséből általában eltekintünk . $f ^ {{\ #}}$ $(f, f ^ {{\ #}})$

Az algebrai sokaságok két morfizmusa alapján , ugyanazon a mezőn, összeállíthatjuk őket és megszerezhetjük a morfizmust . $f: X \ -től Y-ig$ $g: Y \ Z-ig$ $g \ circ f: X \ -től Z-ig$

A beillesztett identitásmorfizmus az identitástérképből áll , és az azonosságmorfizmus . $x$ $X \ -től X-ig$ $O_ {X} \ - O_ {X}$

Az izomorfizmus olyan morfizmus, amely inverzet enged be. Ez azt jelenti, hogy azt mondjuk, hogy a térkép homemorfizmus, ez pedig izomorfizmus. Két algebrai fajtáról azt mondják, hogy izomorf, ha létezik közöttük algebrai fajták izomorfizmusa. $f: X \ -től Y-ig$ $f$ $f ^ {{\ #}}: O_ {Y} \ - f _ {*} (O_ {X})$

A k fölötti algebrai sokaságok osztálya kategóriát alkot .

Morfizmusok affin algebrai változat felé

Legyen affin algebrai változat, amely egy k -algebrához társul . Az algebrai sokaságok bármilyen morfizmusa esetében a köteg morfizmus a szakaszok továbbvitelével biztosítja az -algebras morfizmusát . $Y$ $NÁL NÉL$ $f: X \ -től Y-ig$ $O_ {Y} \ - f _ {*} O_ {X}$ $Y$ $k$ $A-tól O-ig (X)$

Tétel: A Mor Hom alkalmazás bijektív és functorial in és in . $_ {k} (X, {{\ mathrm {Spm}}} (A)) \ to$ $_ {{k-alg}} (A, O (X))$ $x$ $NÁL NÉL$

Az affin fajtákra korlátozva ez a javaslat azt mondja, hogy az affin algebrai fajták kategóriája ekvivalens a véges típusú algebrák (ellentétes) kategóriájával . $x$ $k$ $k$

Merítések és altípusok

Egy nyitott subvariety egy algebrai fajta egy nyitott része a felruházott a köteg -algebras . Az algebrai változat nyitott részváltozata algebrai változat. A nyílt része mindig implicit módon fel van ruházva ezzel a nyílt fajtaváltozattal. $x$ $U$ $x$ $k$ $O_X | _U$ $x$

Azt mondjuk, hogy egy morfizmus algebrai sokaságok egy nyitott merítés , ha egy topológiai nyitott merítés, és ha ez indukálja izomorfizmus az algebrai házakat között és a nyitott subvariety az . $f: X \ -től Y-ig$ $f$ $x$ $f (X)$ $Y$

Bármely affin sokaság a projektív sokaság nyitott részváltozata.

Azt mondjuk, hogy egy morfizmus algebrai sokaságok egy zárt merítés , ha egy zárt topológiai merítés, és ha a kévét morfizmus van szürjektıv. $f: X \ -től Y-ig$ $f$ $O_ {Y} \ - f _ {*} O_ {X}$

Egy zárt subvariety az egy zárt része a látva egy algebrai sokrétű szerkezet működése, így a kanonikus felvételét a mögöttes alkalmazás egy zárt merülése algebrai házakat . $x$ $Z$ $x$ $Z \ X-ig$ $Z \ X-ig$

Bármely zárt része zárt részvariátum-szerkezettel rendelkezhet (egyedülálló, ha a részfajta csökkentésére van szükség). $x$

Megmutatjuk, hogy egy affin algebrai változat minden zárt részváltozata affin, és hogy a projektív fajta minden zárt részváltozata projektív.

Egy algebrai elosztócső dip egy olyan készítmény (semmilyen értelemben) egy nyitott dip és egy zárt dip. A részfajták a zárt részfajták nyitott részfajtái (és egy nyitott részfajták zárt részfajtái is).

A kvázi-affin fajta egy affin fajta részváltozata. A kvázi-projektív sokaság a projektív sokaság részváltozata. A kvázi-affin tehát kvázi-projektívet jelent.

Racionális pontok

A Hilbert Nullstellensatz ismertet közötti levelezés pontok affin tér és amikor algebrailag zárt. Bármely területen (különösen számtani okokból) meg kell vizsgálni azokat a pontokat, amelyek ebben a levelezésben megmaradnak, ezek a racionális pontok. ${\ mathrm {Spm}} k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]$ $k ^ n$ $k$

Legyen algebrai változat egy mező fölött . Egy pont a nevezzük racionális pont (a ) ha a maradék területen az , ami mindig tartalmaz , egyenlő . A racionális pontok halmazát jelöljük . A részfajták egy pontja akkor és csak akkor racionális, ha racionálisnak tekintik a környezeti sokaság pontjának. $x$ $k$ $x$ $x$ $k$ $O _ {{X, x}} / m_ {x}$ $x$ $k$ $k$ $x$ $X (k)$

Ha egy morfizmus, majd küldje el a racionális pontok racionális pontok . De általában, a racionális pont felett , nem feltétlenül létezik racionális pont (vegyük figyelembe, és hol van a nem triviális véges kiterjesztése ). $f: X \ -től Y-ig$ $f$ $x$ $Y$ $Y$ $x$ $Y = {\ mathrm {Spm}} k$ $X = {\ mathrm {Spm}} K$ $K$ $k$

Egy affin algebrai változat egy pontja, amelyhez társul, csak akkor racionális, ha a levelező maximális ideálját a (z) pont osztályai generálják (ami szükségszerűen közös nulla lesz az elemeknek ). Különösen az affin tér racionális pontjai felelnek meg bijektív módon . Ez egy polinomegyenlet-rendszer megoldásait kapcsolja egy affin algebrai sokaság racionális pontjainak halmazával. $A = k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / I$ $NÁL NÉL$ $T_ {1} -a_ {1}, \ ldots, T_ {n} -a_ {n}$ $(a_ {1}, \ ldots, a_ {n})$ $k ^ n$ $én$ ${\ mathrm {Spm}} k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]$ $k ^ n$

Ha van egy pont a közönséges projektív tér , ideális homogén által generált , az első homogén ideális tartozó Várh . Megmutatjuk, hogy ez az asszociáció létrehoz egy bijekciót és a projektív tér racionális pontjai között . Ezután egy-egy megfelelést kapunk a homogén polinomegyenletek rendszerének homogén megoldásai és a projektív sokaság racionális pontjainak halmaza között. $(a_ {0}: a_ {1}: \ ldots: a_ {n})$ $k ^ {{n + 1}} \ setminus \ {0 \} / k ^ {*}$ $k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]$ $a_ {i} T_ {j} -a_ {j} T_ {i}$ $0 \ leq i, j \ leq n$ $k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]$ $k ^ {{n + 1}} \ setminus \ {0 \} / k ^ {*}$ $P ^ n$

Legyen morfizmus az affin tér felé . Fentebb láttuk, hogy ez megfelel az -algebras homomorfizmusának . Jegyezze fel a képet . Bármely racionális pont az , jelöli a kép a maradék területen . Így: $f: X \ - A ^ {n}$ $x$ $A ^ {n} = {\ mathrm {Spm}} k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]$ $k$ $k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] \ - O (X)$ $f_ {i}$ $T_ {i}$ $x$ $x$ $f_ {i} (x)$ $f_ {i} \ O-ban (X)$ $k (x) = k$

Javaslat . Bármely racionális pont az a kép a racionális pont , amely azonosítja a in . $x$ $x$ $f (x)$ $A ^ {n}$ $(f_ {1} (x), \ ldots, f_ {n} (x))$ $k ^ n$

Különleges testek

A valós algebrai geometriában egy algebrai változat valódi pontjait vizsgáljuk . $X ({{\ mathbb R}})$ $\ mathbb {R}$

A komplex algebrai geometriában főleg egy algebrai változat összetett pontjait vizsgáljuk . $X ({{\ mathbb C}})$ $\ mathbb {C}$

A számtani geometriában a hangsúly egy algebrai változat racionális pontjaira irányul, amelyeket egy számmező vagy egy véges mező határoz meg . $X (K)$ $K$

Értékpontok egy kiterjesztésben

Legyen algebrai változat a k mező fölött . Mi fix algebrai lezárását a k . Bizonyos értelemben a pontok (konjugációs osztályok az abszolút Galois-csoport tevékenysége alatt ) , koordinátákkal rendelkező pontoknak tekinthetők . $x$ ${\ ugat}}$ $x$ $\ Gamma _ {k}$ $k$ $x$ ${\ ugat}}$

Valójában a lokálisan affin fajta egyenlő . Az algebrai halmaz $x$ ${\ mathrm {Spm}} (k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / I)$

X ({\ bar {k}}): = \ {(a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ a {\ bar {k}} ^ {n} \ P közepén (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = 0, \ \ minden P \ be I-ben \}

kanonikus alkalmazással rendelkezik, amely a maximális ideált társítja $X ({\ bar {k}} \ - X$ $(a_ {1}, \ ldots, a_ {n})$

((T_ {1} -a_ {1}, \ ldots, T_ {n} -a_ {n}) {\ bar {k}} [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] \ cap k [ T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]) / I.

Ez az alkalmazás surjektív, ezért bármely pontja a (nem egyedi) pontnak tekinthető . A Galois csoport komponensenként működik , és ezek pontjait azonosítják ennek a műveletnek a pályáival. $x$ $X ({\ bar {k}})$ $\ Gamma _ {k}$ $X ({\ bar {k}}) \ subseteq {\ bar {k}} ^ {n}$ $x$

Ha egy subextension az egy pont a les nevezzük -pont az vagy pont értékelik (megjegyzés azonban, hogy ez nem igazán egy pont a ). Mindezeket a pontokat megjegyezzük . Mikor találjuk meg a racionális pontok fogalmát. $K$ ${\ ugat}}$ $(a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ X-ben ({\ bar {k}})$ $a_ {i} \ K-ban$ $K$ $x$ $x$ $K$ $x$ $X (K)$ $K = k$

Ha Galois Galois csoportból származik , akkor működjön koordinátánként . A pályák halmazát a maradék test pontjainak halmazával azonosítjuk . $K / k$ $G$ $G$ $X (K)$ $G \ X (K)$ $x$ $x$ $k (x) \ subseteq K$

A terminológiáról

Az algebrai változat meghatározása a szerzők szerint változó. A bemutatott a lehető legnagyobb. Hagyományosan egy kvázi-projektív integrált algebrai elosztót jelöl ki (vagyis a projektív terek szorzatába merülve) egy algebrailag zárt mezőre. Később, André Weil be könyvében Foundations az algebrai geometria , absztrakt algebrai fajták (nem merül), annak érdekében, hogy algebrailag építésére Jacobians az algebrai görbék . Ezután a redukált algebrai fajtákat (vagyis a szabályos függvények gyűrűit lecsökkentettük), de nem feltétlenül redukálhatatlanná tettük. Megjegyezzük, hogy egy olyan egyszerű halmaz, mint az affin síkban két különálló vonal egyesülése, nem visszavonhatatlan, de meglehetősen érdekes. A nilpotenssel rendelkező fajták a kettős számok figyelembevételének szükségességével jelentek meg (például a deformációelméletben). Végül a számelmélet céljából befogadtuk azokat az alapmezőket, amelyek algebrailag nem feltétlenül zártak (például végesek). Az elmélet Alexander Grothendieck sémanyelvével tetőzött , egy algebrai változat tehát egy mező felett véges típusú séma. Az algebrai változat sokféle felhasználása azonban még mindig létezik.

Bibliográfia

A. Grothendieck és J. Dieudonné , Az algebrai geometria elemei , 1971. kiadás, I. fejezet, függelék.