Az absztrakt algebrában a racionális tört két formális polinom hányadosa, amely meghatározatlan felhasználásával készült . Kérdés, hogy két formális polinom hányadosa legyen. Két változó és nem határozatlan polinomiális függvény hányadosát racionális függvénynek nevezzük .
Legyen K kommutatív mező (általában vagy ). Megmutatjuk, hogy a beállított hivatalos polinomok egy határozatlan , és együtthatók egy jelölt szerves gyűrű . Ezután felépíthetjük a törtek mezőjét , megjegyezve : Az elempárok halmazán meghatározzuk:
Az összeadás és az indukált szorzat mellékelt ekvivalenciaosztályok összessége ekkor egy kommutatív mező, amelyet a racionális frakciók mezőjének nevezünk. Bármely pár (P, Q), ahol Q nem nulla polinom, akkor egy racionális frakció képviselője. A térkép, amely bármely P polinomhoz társítja a (P, 1) osztályt, egy injektív gyűrűmorfizmus, amelybe belemerül .
Redukálhatatlan frakció : egy olyan pár (P, Q), amelyből P és Q koprime, a (P, Q) osztály redukálhatatlan képviselőjének nevezzük, és ugyanannak az osztálynak bármely más képviselője (P ', Q') olyan, hogy ott létezik olyan skalár λ, hogy P '= λP és Q' = λQ. Ugyanannak az osztálynak több redukálhatatlan képviselője van, de csak egy olyan redukálhatatlan képviselő, amelyben Q egységes polinom: ez az osztályt reprezentálhatatlan egységes frakció.
Törvény mértéke : Bármely racionális F frakció esetén a deg (P) - deg (Q) által definiált elem (ahol (P, Q) az F képviselője) független az F képviselőjétől, és a F. A tört mértéke a következő tulajdonságokat elégíti ki:
Gyökér és pólus : Ha (P, Q) az F-et képviselő redukálhatatlan frakció:
A ℝ ( X ) mezőt megadhatjuk a következő sorrend-relációval : F ≤ G, ha F ( t ) ≤ G ( t ) van bármelyik elég nagy valós t-re . Ez a kapcsolat akkor teljes. Ezenkívül kompatibilis a pozitív elemekkel való összeadással és szorzással: ℝ ( X ) tehát rendezett mezőstruktúrával rendelkezik, és tartalmaz egy is izomorf részmezőt. Ez nem Archimédész : valóban van 0 <1 / X <1, de bármely természetes n szám esetén n ⋅ (1 / X ) <1.
Általánosságban: pózolva F | = Max (- F , F ), akkor azt mondják, hogy az F végtelenül kicsi összehasonlítva a G (jelöljük F « G ), ha minden természetes szám n , n ⋅ | F | ≤ | G |.
A fok ezután egy végtelenül kicsi és végtelenül nagy skálát ad a valósághoz képest: F ≪ G , és csak akkor, ha deg ( F ) ≤ deg ( G ).
Az ℝ ( X ) azon elemek halmaza, amelyek előtt a nem nulla valósok nem elhanyagolhatók, azaz 0-nál kisebb vagy azzal egyenlő fokúak , ℝ ( X ) részgyűrűt alkotnak .
Bármely racionális F törthez, redukálhatatlan reprezentánssal (P, Q) társíthatunk egy olyan racionális function függvényt, amely bármely x-re definiálva van, így Q ( x ) nem nulla . Ez a társulás azonban néhány kockázattal jár:
Az olyan mezők esetében azonban, mint a vagy , izomorfizmust alkothatunk a racionális törtek halmaza és a racionális függvények halmaza között a következő ekvivalencia összefüggést modulálva:
ƒ ~ g akkor és csak akkor, ha létezik olyan valós A, amely minden x esetében olyan, hogy | x | ≥ A, ƒ ( x ) = g ( x )Ez azt jelenti, hogy a racionális függvény folytonossága alapján választjuk ki a legnagyobb folytatást.
Ha K mező, akkor a több meghatározatlan polinom halmaza továbbra is integrált egységes kommutatív gyűrű marad, amelynek a racionális törtek mezőjének nevezett törtek mezőjét is megkereshetjük .
André Warusfel , François Moulin, Claude Deschamps, Matematika 1 -jén év: Tanfolyamok és javított gyakorlatokat , Éditions Dunod 1999 ( ISBN 9782100039319 )