Törtek törzse

A gyűrű elmélet , a hányadostest egy integritástartomány A a legkisebb kommutatív (akár izomorfizmus) tartalmazó A .

Felépítése a racionálisok testének a relatív egész számok gyűrűjéből való felépítésének gyűrűvé való általánosítása . A polinomok gyűrűjére alkalmazva lehetővé teszi racionális törtek mezőjének felépítését .

Ezt a konstrukciót tovább általánosítják a lokalizációs folyamatok .

Építkezés

Az E = A × A \ {0} oldalon két belső törvényt és egy ekvivalencia relációt határozunk meg, amely kompatibilis ezzel a két törvénnyel:

• egy ál-kívül: az összes (a, b) és (c, d) a E , (a, b) + (c, d) = (ad + cb, bd)  ;
• egy ál-szorzást: az összes (a, b) és (c, d) a E , (a, b). (c, d) = (ac, bd)  ;
• Egy kapcsolatban: minden (a, b) és (c, d) a E , (a, b) ~ (c, d) IFF ad = bc .

A két törvény létezése erősen alárendelődik annak a ténynek, hogy a gyűrű szerves, mert a bd szorzatnak nem nullának kell lennie. Ebben az esetben, a két törvény a belső készítmény jól definiált, kommutatív (a kommutativitás a terméket A ) és asszociatív.

Csak akkor van semleges elemük, ha a gyűrű egységes (ebben az esetben az (0, 1) az elsőre és (1, 1) a másodikra), és ebben az esetben is, ha a gyűrű még nem test, nincs inverz elem engedély épített törvények E . Végül a második törvény nem oszlik meg az első felett.

Az (a, b) ~ (c, d) által definiált ~ összefüggés , ha ad = bc az integritás feltételezése szerint valóban szimmetrikus, reflexív és transzitív. Ráadásul összeegyeztethető a két törvényrel, vagyis azzal, hogy az álszorzás (vagy az ál-összeadás) eredményének osztálya csak az operandusok osztályaitól függ. Más szavakkal, az összetétel törvényei alkalmazhatók az egyenértékűségi osztályokra anélkül, hogy figyelembe vennék a képviselő választását.

A pár osztályát (a, b) általában megjegyezzük, és töredéknek nevezzük . nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

A K (A) -val jelölt hányadoskészletet az összetétel (kiváltás és szorzás) indukált törvényei biztosítják.

Tulajdonságok

Test

K (A) van, akkor egy kommutatív területen , azaz a következő tulajdonságokkal rendelkezik (rögzítjük minden nem nulla elemet x az A ):

• a frakció egyszerűsítése  : minden c nulla esetén  ;vs.nál nélvs.b=nál nélb{\ displaystyle {\ frac {ca} {cb}} = {\ frac {a} {b}}}
• az indukált törvények kommutativitása és asszociativitása ;
• semleges létezése az első törvény számára0x{\ displaystyle {\ frac {0} {x}}}

nál nélb+0x=nál nélxbx=nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {0} {x}} = {\ frac {ax} {bx}} = {\ frac {a} {b}}}

• semleges egység megléte a másodikra;xx{\ displaystyle {\ frac {x} {x}}}

nál nélb×xx=nál nélxbx=nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ szor {\ frac {x} {x}} = {\ frac {ax} {bx}} = {\ frac {a} {b}}}

• bármelyik elem ellentéte létezik  ;-nál nélb{\ displaystyle {\ frac {-a} {b}}}nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

nál nélb+-nál nélb=0b{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {-a} {b}} = {\ frac {0} {b}}}

• inverz megléte bármely nem nulla elemre  ;bnál nél{\ displaystyle {\ frac {b} {a}}}nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

nál nélb×bnál nél=nál nélbnál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ szor {\ frac {b} {a}} = {\ frac {ab} {ab}}}

• szorzás eloszlása az összeadás felett:

nál nélbef+vs.def=nál néledf+vs.ebfbfdf=(nál néld+vs.b)ebdf=(nál nélb+vs.d)ef{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} {\ frac {e} {f}} + {\ frac {c} {d}} {\ frac {e} {f}} = {\ frac {aedf + cebf} {bfdf}} = {\ frac {(ad + cb) e} {bdf}} = \ balra ({\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d}} \ jobbra ) {\ frac {e} {f}}}

Alámerítő

Ha a gyűrű egy egy egységet, a térkép azt a A , hogy a K (A) , amely, hogy az elem egy , társult egy injektív morfizmus , amely elmerül a gyűrűt A bele test frakciói. nál nél1{\ displaystyle {\ frac {a} {1}}}

Ha a gyűrű egy nem egységes, az egyik dönt egyik eleme e nem nulla A . A térkép i A A A K (A) , amely, hogy az elem egy társult, egy injektív morfizmus, amely elmerül a gyűrűt A bele hányadostest. Ez a térkép nem függ a választott nulla elemtől e . nál nélee{\ displaystyle {\ frac {ae} {e}}}

Univerzális tulajdon

Bármely L mező és bármilyen injektív gyűrű morfizmus esetén A-tól L-ig létezik egy egyedi test-morfizmus K (A) -tól L-ig, ígyf{\ displaystyle f \,}f~{\ displaystyle {\ tilde {f}}}f=f~∘én{\ displaystyle f = {\ tilde {f}} \ circ i}

Az egyetlen módja annak, hogy hozzon létre határozza meg , ahol e egy fix nem nulla eleme egy . Ezután elegendő bizonyítani, hogy ez a konstrukció független a választott képviselőtől, és hogy valóban injektív morfizmus. f~{\ displaystyle {\ tilde {f}}}f~(nál nélb){\ displaystyle {\ tilde {f}} \ balra ({\ frac {a} {b}} \ jobbra)}f~(nál nélee).(f~(bee))-1=f(nál nél)f(b){\ displaystyle {\ tilde {f}} \ balra ({\ frac {ae} {e}} \ jobbra). \ balra ({\ tilde {f}} \ balra ({\ frac {be} {e}} \ right) \ right) ^ {- 1} = {\ frac {f (a)} {f (b)}}}f~{\ displaystyle {\ tilde {f}}}

Egyediség

Szerint az univerzális tulajdonság, K (A) a legkisebb tartalmazó mezőt Egy , a következő értelemben: ha L jelentése egy másik területen tartalmazó A , létezik egy injektív morfizmus származó Egy be L ezért injektív morfizmus a K (A) a L .

Példák

• A racionális számok felépítése abból áll, hogy a racionális számok field mezõjét definiáljuk a relatív egész számok ℤ gyûrûjének törteként .
• Bármely kommutatív K mező esetében a K [ t ] polinomok gyűrűjének frakciói a racionális K ( t ) törtek mezője .
• A K [ t 2 , t 3 ] algyűrű frakcióinak mezője t = t 3 / t 2 -et tartalmaz, ezért szintén K ( t ).
• A meromorf függvények területe a holomorf funkciók gyűrűjének ℂ feletti, vagyis egész függvényekre eső részeinek mezője .

Általánosítás

Ha a gyűrű kommutatív, de nem integrál, akkor már nem a törtek mezője, hanem a frakciók teljes gyűrűje van . Ez a gyűrű a frakciók úgy definiáljuk, mint a lokalizált S -1 A A A A részhalmaza S az elemek, amelyek rendszeresen, vagyis amelyek nem osztója a nulla .

Ha a gyűrű nem kommutatív, hanem érc , akkor nem frakcionális mezővel rendelkezik.

Hivatkozások

• Matematika tanfolyam - (I. kötet) Jacqueline-Lelong Ferrand és Jean-Marie Arnaudiès . Bordas kiadások
• Bourbaki, A matematika elemei , kommutatív algebra , II. Fejezet, 2. bek

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">